《（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型練8 大題專項(xiàng)（六）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型練8 大題專項(xiàng)（六）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、題型練8 大題專項(xiàng)(六) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題
題型練第62頁(yè) ?
1.設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a;
(2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.
解:(1)因?yàn)閒(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,
所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex(x∈R).
f'(1)=(1-a)e.
由題設(shè)知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.
此時(shí)f(1)=3e≠0,所以a的
2、值為1.
(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.
若a>12,則當(dāng)x∈1a,2時(shí),f'(x)<0;
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f'(x)>0.
所以f(x)在x=2處取得極小值.
若a≤12,則當(dāng)x∈(0,2)時(shí),x-2<0,ax-1≤12x-1<0,
所以f'(x)>0.
所以2不是f(x)的極小值點(diǎn).
綜上可知,a的取值范圍是12,+∞.
2.已知f(x)=ax-ln(-x),x∈[-e,0),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),證明:f(x)+ln(-x)x>12.
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)
3、的最小值為3?如果存在,求出a的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)證明由題意可知,所證不等式為f(x)>12-ln(-x)x,x∈[-e,0).
因?yàn)閒'(x)=-1-1x=-x+1x,
所以當(dāng)-e≤x<-1時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)-10,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增.
所以f(x)在區(qū)間[-e,0)內(nèi)有唯一極小值f(-1)=1,
即f(x)在區(qū)間[-e,0)內(nèi)的最小值為1;
令h(x)=12-ln(-x)x,x∈[-e,0),
則h'(x)=ln(-x)-1x2,
當(dāng)-e≤x<0時(shí),h'(x)≤0,故h(x)在區(qū)間[-e,0)內(nèi)單調(diào)遞
4、減,
所以h(x)max=h(-e)=1e+12<12+12=1=f(x)min.
所以當(dāng)a=-1時(shí),f(x)+ln(-x)x>12.
(2)解假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)=ax-ln(-x)的最小值為3,f'(x)=a-1x,x∈[-e,0).
①若a≥-1e,由于x∈[-e,0),則f'(x)=a-1x≥0,
所以函數(shù)f(x)=ax-ln(-x)在區(qū)間[-e,0)內(nèi)是增函數(shù),
所以f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,
解得a=-4e<-1e,與a≥-1e矛盾,舍去.
②若a<-1e,則當(dāng)-e≤x<1a時(shí),f'(x)=a-1x<0,
此時(shí)f(x)=ax-ln(-x)是
5、減函數(shù),
當(dāng)1a0,
此時(shí)f(x)=ax-ln(-x)是增函數(shù),
所以f(x)min=f1a=1-ln-1a=3,解得a=-e2.
綜上①②知,存在實(shí)數(shù)a=-e2,使f(x)的最小值為3.
3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)試討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若b=c-a(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-∞,-3)∪1,32∪32,+∞,求c的值.
解:(1)f'(x)=3x2+2ax,
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-2a3.
當(dāng)a=0時(shí),因?yàn)閒'(x)=3
6、x2>0(x≠0),
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),x∈-∞,-2a3∪(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,x∈-2a3,0時(shí),f'(x)<0,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-∞,-2a3,(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間-2a3,0內(nèi)單調(diào)遞減;
當(dāng)a<0時(shí),x∈(-∞,0)∪-2a3,+∞時(shí),f'(x)>0,x∈0,-2a3時(shí),f'(x)<0,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0),-2a3,+∞內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間0,-2a3內(nèi)單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)=b,f-2a3=427a3+b,
則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0
7、)·f-2a3=b427a3+b<0,從而a>0,-427a30時(shí),427a3-a+c>0或當(dāng)a<0時(shí),427a3-a+c<0.
設(shè)g(a)=427a3-a+c,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-∞,-3)∪1,32∪32,+∞,
則在(-∞,-3)內(nèi)g(a)<0,且在1,32∪32,+∞內(nèi)g(a)>0均恒成立,從而g(-3)=c-1≤0,且g32=c-1≥0,因此c=1.
此時(shí),f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],
因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則x2+(a-1)x+1-a
8、=0有兩個(gè)異于-1的不等實(shí)根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,
解得a∈(-∞,-3)∪1,32∪32,+∞.
綜上c=1.
4.(2019全國(guó)Ⅱ,理20)已知函數(shù)f(x)=ln x-x+1x-1.
(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),證明曲線y=ln x在點(diǎn)A(x0,ln x0)處的切線也是曲線y=ex的切線.
(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).
因?yàn)閒'(x)=1x+2(x-1)2>0,所以f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增
9、.
因?yàn)閒(e)=1-e+1e-1<0,f(e2)=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0,
所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x1,即f(x1)=0.
又0<1x1<1,f1x1=-lnx1+x1+1x1-1=-f(x1)=0,
故f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1x1.
綜上,f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)證明因?yàn)?x0=e-lnx0,故點(diǎn)B-lnx0,1x0在曲線y=ex上.
由題設(shè)知f(x0)=0,即lnx0=x0+1x0-1,
故直線AB的斜率k=1x0-lnx0-lnx0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.
曲線y
10、=ex在點(diǎn)B-lnx0,1x0處切線的斜率是1x0,曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處切線的斜率也是1x0,所以曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.
5.(2019山東煙臺(tái)一模)已知函數(shù)f(x)=ex-2ax+3a2e-x(a∈R),其中e=2.718 28…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex(x-a)+3a2e-x-x2-a2+10>f(x)恒成立,求a的取值范圍.
解:(1)由題意可知,f'(x)=ex-2a-3a2e-x=e2x-2aex-3a2ex=(ex-3a)(ex+a)ex.
當(dāng)a=
11、0時(shí),f'(x)=ex>0,此時(shí)f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,
解得x=ln(3a),
當(dāng)x∈(-∞,ln(3a))時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(ln(3a),+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時(shí),令f'(x)=0,
解得x=ln(-a),
當(dāng)x∈(-∞,ln(-a))時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(ln(-a),+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
綜上可知,當(dāng)a=0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),x∈(-∞,ln(3a))時(shí),f(x)單調(diào)遞減,
x∈(ln(3a),+∞)
12、時(shí),f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時(shí),x∈(-∞,ln(-a))時(shí),f(x)單調(diào)遞減,x∈(ln(-a),+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.
(2)由ex(x-a)+3a2e-x-x2-a2+10>f(x),
可得,ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10>0,
令g(x)=ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10,
只需在x∈(0,+∞)時(shí)使g(x)min>0即可.
g'(x)=ex(x-a-1)+ex-2x+2a=(ex-2)(x-a),
①當(dāng)a≤0時(shí),x-a>0.當(dāng)0ln2時(shí),g'(x)>0,
所以g(x)在區(qū)間(0,ln2)內(nèi)是
13、減函數(shù),在區(qū)間(ln2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),
只需g(ln2)=-a2+(2ln2-2)a-(ln2)2+2ln2+8>0,
解得ln2-40,g(0)≥0,
解得00成立;
④當(dāng)a>ln2時(shí),g(x)在區(qū)間(0,ln2)內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間(ln2,a)內(nèi)是減函數(shù),在
14、區(qū)間(a,+∞)內(nèi)是增函數(shù),
則g(a)=-ea+10>0,g(0)=9-a-a2≥0,
解得ln2
15、,∴b=e.
(2)令h(x)=x[f(x)-g(x)]=12x2-(a+e)x+aelnx,則任意x∈1e,+∞,f(x)與g(x)有且只有兩個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)h(x)在區(qū)間1e,+∞有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
由h(x)=12x2-(a+e)x+aelnx,
得h'(x)=(x-a)(x-e)x,
①當(dāng)a≤1e時(shí),由h'(x)>0得x>e;
由h'(x)<0得1e
16、a)≥12e(e-2)·e2-2e>0(或當(dāng)x→+∞時(shí),h(x)>0亦可),
所以要使得h(x)在區(qū)間1e,+∞內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),
則只需h1e=12e2-a+ee+aeln1e=(1-2e2)-2e(1+e2)a2e2≥0,
即a≤1-2e22e(1+e2).
②當(dāng)1e0得1ee;
由h'(x)<0得ae時(shí),由h'(x)>0得1ea,由h'(x)<0得e
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