（新課標）2020高考數學大一輪復習 第九章 解析幾何 題組層級快練63 直線與圓錐曲線的位置關系 文（含解析）

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1、題組層級快練(六十三) 1．若過原點的直線l與雙曲線－＝1有兩個不同交點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A．(－，]　　　　 B．(－，) C．[－，] D．(－∞，－]∪[，＋∞) 答案　B 解析　∵－＝1，其兩條漸近線的斜率分別為k1＝－，k2＝，要使過原點的直線l與雙曲線有兩個不同的交點，畫圖可知，直線l的斜率的取值范圍應是[0，)∪(－，0]． 2．已知橢圓x2＋2y2＝4，則以(1，1)為中點的弦的長度為(　　) A．3　　　　　　　　　 B．2 C. D. 答案　C 解析　設y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k. 代入橢圓方程，得x2＋2(k

2、x＋1－k)2＝4. ∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0. 由x1＋x2＝＝2，得k＝－，x1x2＝. ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝. ∴|AB|＝·＝. 3．(2019·遼寧師大附中期中)過點M(－2，0)的直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　D 解析　設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，則 兩式相減，得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

3、 即＋2y(y1－y2)＝0. ∴k1＝－，又∵k2＝. ∴k1·k2＝－. 4．(2019·衡水中學調研)過拋物線x2＝4y的焦點作兩條互相垂直的弦AB，CD，則＋＝(　　) A．2 B．4 C. D. 答案　D 解析　根據題意，拋物線的焦點為(0，1)，設直線AB的方程為y＝kx＋1(k≠0)，直線CD的方程為y＝－x＋1，由得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，由根與系數的關系得yA＋yB＝2＋4k2，所以|AB|＝y(tǒng)A＋yB＋2＝4＋4k2，同理|CD|＝y(tǒng)C＋yD＋2＝4＋，所以＋＝＋＝，故選D. 5．(2019·福州外國語學校適應性考試)已知雙曲線C：－＝1(a

4、>0，b>0)的焦距為2，拋物線y＝x2＋與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 答案　D 解析　由題意可得c＝，即a2＋b2＝5，雙曲線的漸近線方程為y＝±x.將漸近線方程和拋物線方程y＝x2＋聯(lián)立，可得x2±x＋＝0，由漸近線和拋物線相切可得Δ＝－4××＝0，即有a2＝4b2，又a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，可得雙曲線的方程為－y2＝1.故選D. 6．(2019·濰坊考試)已知拋物線y2＝4x與直線2x－y－3＝0相交于A，B兩點，O為坐標原點，設OA，OB的斜率分別為k1，k2，則＋的值為(　　)

5、 A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　設A(，y1)，B(，y2)，易知y1y2≠0，則k1＝，k2＝，所以＋＝，將x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，＋＝. 7．(2019·石家莊質量檢測一)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作傾斜角為60°的直線與y軸和雙曲線的右支分別交于A，B兩點，若點A平分線段F1B，則該雙曲線的離心率是(　　) A. B．2＋ C．2 D.＋1 答案　B 解析　由題意可知A是F1B的中點，O是F1F2的中點(O為坐標原點)，連接BF2，則OA是△F1BF2的中位線．故

6、OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝4c，|BF2|＝2c，∴2a＝4c－2c，∴e＝＝2＋，故選B. 8．(2019·滄州七校聯(lián)考)已知直線l1：y＝kx＋2(k>0)與橢圓C：＋＝1相切，且切點為M，F是橢圓C的左焦點，直線l2過點M且垂直于直線l1，交橢圓于另一點N，則△MNF的面積是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 因為直線l1與橢圓C相切于點M，所以Δ＝(16k)2－4(3＋4k2)×4＝48(4k2－1)＝0， 又k>0，所以k＝，M(－1，)

7、， 故l2：y＝－2(x＋1)＋＝－2x－， 代入橢圓方程得19x2＋8x－11＝0， 解得x1＝－1，x2＝，則y1＝，y2＝－， 設l2與x軸的交點為A，則A(－，0)， 又F(－1，0)，所以△MNF的面積S＝|AF|·|y2－y1|＝××|－－|＝.故選D. 9．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F(－c，0)關于直線bx＋cy＝0的對稱點P在橢圓上，則橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設焦點F(－c，0)關于直線bx＋cy＝0的對稱點為P(m，n)， 則所以 所以m＝＝＝(1－2e2)c，n＝＝＝2be2. 因為點P(

8、m，n)在橢圓上，所以＋＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2－1＝0，將各選項代入知e＝符合，故選D. 10．(2019·福州質檢)已知圓C：(x－5)2＋(y－)2＝8，拋物線E：x2＝2py(p>0)上兩點A(－2，y1)與B(4，y2)，若存在與直線AB平行的一條直線和C與E都相切，則E的準線方程為(　　) A．x＝－ B．y＝－1 C．y＝－ D．x＝－1 答案　C 解析　由題意知，A(－2，)，B(4，)，∴kAB＝＝，設拋物線E上的切點為(x0，y0)， 由y＝，得y′＝，∴＝，∴x0＝1，∴切點為(1，)， ∴切線方程為y－＝(x－1)，

9、即2x－2py－1＝0， ∵切線2x－2py－1＝0與圓C相切，∴圓心C(5，)到切線的距離為2，即＝2， ∴31p2＋18p－49＝0，∴(p－1)(31p＋49)＝0，∵p>0，∴p＝1. ∴拋物線x2＝2y的準線方程為y＝－，故選C. 11．(2019·廣東七校聯(lián)考)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，若|AF|＝3，則|BF|＝________． 答案　 解析　∵p＝2，＋＝， ∴＋＝1，∴|BF|＝. 12．(2019·武漢市武昌高三調考)過拋物線C：y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，與準線交于點M，且＝3，則||＝_______

10、_． 答案　 解析　過點P作PP1垂直準線于P1， 由＝3，得|PM|＝2|PF|. 又由拋物線的定義知|PF|＝|PP1|，所以|PM|＝2|PP1|. 由三角形相似，得＝＝＝，所以|PP1|＝，所以||＝. 13．(2019·天星聯(lián)考二)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，其準線與x軸交于點A，過A作直線l與拋物線交于M，N兩點，則|FM|2＋|FN|2的取值范圍為________． 答案　(8，＋∞) 解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，其準線x＝－1與x軸交于A(－1，0)，顯然直線l的斜率存在且不為0，設l的方程為y＝k(x＋1)，k≠0，與y2＝4x聯(lián)立并化簡整

11、理得x2＋(2－)x＋1＝0，Δ＝(2－)2－4>0，即>1，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，x1x2＝1. 方法一：由拋物線的定義知，|FM|＝x1＋1，|FN|＝x2＋1，則|FM|2＋|FN|2＝(x1＋1)2＋(x2＋1)2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝(－2)2＋2(－2)＝(－1)2－1>8，即|FM|2＋|FN|2的取值范圍為(8，＋∞)． 方法二：由兩點間的距離公式，知|FM|2＋|FN|2＝(x1－1)2＋y12＋(x2－1)2＋y22＝(x1－1)2＋4x1＋(x2－1)2＋4x2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1

12、＋x2)＋2＝(－2)2＋2(－2)＝(－1)2－1>8，即|FM|2＋|FN|2的取值范圍為(8，＋∞)． 14．(2019·河南洛陽第一次統(tǒng)考)已知拋物線C：x2＝2py(y>0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點． (1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線C的方程； (2)設M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N，證明：直線AN與拋物線相切． 答案　(1)x2＝2y　(2)略 解析　(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p. ∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1. ∴拋物線C的方程為x2＝2y. (2)證明：設直線AB的方程為y

13、＝kx＋， 聯(lián)立得x2－2kpx－p2＝0.① 設方程①的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2. 設A(x1，)，B(x2，)． 設M(kp，k2p＋)，N(kp，－)． ∴kAN＝＝＝＝＝. 又∵x2＝2py，∴y′＝. ∴拋物線x2＝2py在點A處的切線斜率k＝. ∴直線AN與拋物線相切． 15．拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點． (1)若＝2，求直線AB的斜率； (2)設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值． 答案　(1)±2　(2)4 解析　(1)依題意知F(1，0)

14、，設直線AB的方程為x＝my＋1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x，得 y2－4my－4＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.① 因為＝2，所以y1＝－2y2.② 聯(lián)立①和②，消去y1，y2，得m＝±. 所以直線AB的斜率是±2. (2)由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點． 從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因為2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2| ＝＝4， 所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4. 16．(2019·河北唐山一中期

15、末)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，圓O：x2＋y2＝1. (1)若拋物線C的焦點F在圓上，且A為C和圓O的一個交點，求|AF|； (2)若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點M，N，求|MN|的最小值及相應p的值． 答案　(1)－1　(2)2　 解析　(1)由題意得F(0，1)，∴C：x2＝4y. 解方程組得yA＝－2，∴|AF|＝－1. (2)設M(x0，y0)，則切線l：y＝(x－x0)＋y0，整理得x0x－py－py0＝0. 由|ON|＝1，得|py0|＝＝. ∴p＝且y02－1>0. ∴|MN|2＝|OM|2－1＝x02＋y02－1＝2py0＋y02－1＝＋y02－1＝4＋＋(y02－1)≥8，當且僅當y0＝時等號成立． ∴|MN|的最小值為2，此時p＝. 8