《（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練41 雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練41 雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)（含解析）新人教A版（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)規(guī)范練41 雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)
一、基礎(chǔ)鞏固
1.(2018浙江,2)雙曲線(xiàn)x23-y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)
2.“k<9”是“方程x225-k+y2k-9=1表示雙曲線(xiàn)”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.(2018全國(guó)Ⅱ,理5)若雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3,則其漸近線(xiàn)方程為( )
A.y=±2x B.y=±3x C.y=±22x D.y=±32x
4.已
2、知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)上,C的焦點(diǎn)為F,則直線(xiàn)AF的斜率為( )
A.-43 B.-1 C.-34 D.-12
5.已知F是雙曲線(xiàn)C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為( )
A.13 B.12 C.23 D.32
6.(2018全國(guó)Ⅲ,理11)設(shè)F1,F2是雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)F2作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為P.若|PF1|=6|OP|,則C的離心率為( )
A.5 B.2 C.3 D.2
7.已知雙曲線(xiàn)x2a2
3、-y2b2=1(a>0,b>0)上存在一點(diǎn)P,點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)O、右焦點(diǎn)F2構(gòu)成正三角形,則雙曲線(xiàn)的離心率為 .?
8.已知F是拋物線(xiàn)C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N,若M為FN的中點(diǎn),則|FN|= .?
9.已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為2,且過(guò)點(diǎn)(4,-10),點(diǎn)M(3,m)在雙曲線(xiàn)上.
(1)求雙曲線(xiàn)的方程;
(2)求證:MF1·MF2=0;
(3)求△F1MF2的面積.
10.已知過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<
4、x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.
(1)求該拋物線(xiàn)的方程;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),若OC=OA+λOB,求λ的值.
二、能力提升
11.(2018全國(guó)Ⅰ,理8)設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線(xiàn)與C交于M,N兩點(diǎn),則FM·FN=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
12.已知點(diǎn)F1,F2是雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C的右支上,且滿(mǎn)足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為( )
A.(
5、1,+∞) B.102,+∞
C.1,102 D.1,52
13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 .?
14.已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)F1,F2,且|F1F2|=213,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求橢圓和雙曲線(xiàn)的方程;
(2)若P為這兩條曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),求cos∠F1PF2的值.
15.(2018全國(guó)Ⅱ,理19)設(shè)拋物線(xiàn)C:
6、y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.
(1)求l的方程.
(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程.
三、高考預(yù)測(cè)
16.已知拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1,過(guò)點(diǎn)P(0,p)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),其中x1>x2.
(1)若直線(xiàn)AB的斜率為12,過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線(xiàn)在點(diǎn)A處有共同的切線(xiàn),求圓C的方程;
(2)若AP=λPB,是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q,使得對(duì)任意λ,都有QP⊥(QA-λQB)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
7、考點(diǎn)規(guī)范練41 雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)
1.B 解析∵a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=3+1=4.
∴c=2.
又焦點(diǎn)在x軸上,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).
2.A 解析∵方程x225-k+y2k-9=1表示雙曲線(xiàn),∴(25-k)·(k-9)<0,∴k<9或k>25,∴“k<9”是“方程x225-k+y2k-9=1表示雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件,故選A.
3.A 解析∵e=ca=3,∴c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.
∴ba=2.
∵雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上,∴漸近線(xiàn)方程為y=±bax,
∴漸近線(xiàn)方程為y=±2x.
4.C 解析由已知得準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2,所以F
8、的坐標(biāo)為(2,0).又A(-2,3),所以直線(xiàn)AF的斜率為k=3-0-2-2=-34.
5.D 解析由題意可知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F(2,0),將x=2代入雙曲線(xiàn)C的方程,得4-y23=1,解得y=±3.不妨取點(diǎn)P(2,3),因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3),所以AP∥x軸,又PF⊥x軸,所以AP⊥PF,所以S△APF=12|PF|·|AP|=12×3×1=32.
6. C 解析由題意畫(huà)圖,如圖所示,|PF2|=b,|OP|=a,由題意,得|PF1|=6a.
設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)OP的傾斜角為θ.
∴在△OPF1中,由余弦定理知cos(180°-θ)=a2+c2-(6a)22ac=c2-5a22ac=-
9、cosθ.
又cosθ=ac,∴c2-5a22ac=-ac,
解得c2=3a2.∴e=3.
7.3+1 解析由題意可知要使三角形OPF2為正三角形,則P12c,32c.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,所以c24a2-3c24b2=1,結(jié)合b2=c2-a2及e=ca,化簡(jiǎn)得e4-8e2+4=0,解得e2=4+23或e2=4-23.因?yàn)閑>1,所以e2=4+23,所以e=4+23=3+1.
8.6 解析設(shè)N(0,a),由題意可知F(2,0).
又M為FN的中點(diǎn),則M1,a2.
因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線(xiàn)C上,
所以a24=8,即a2=32,即a=±42.
所以N(0,±42).
所以|FN|=(2-0
10、)2+(0±42)2=6.
9.(1)解∵e=2,∴a=b.
∴可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2-y2=λ(λ≠0).
∵雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4,-10),
∴16-10=λ,即λ=6.
∴雙曲線(xiàn)的方程為x2-y2=6.
(2)證明由題意知c=23,不妨設(shè)F1(-23,0),F2(23,0),則MF1=(-23-3,-m),MF2=(23-3,-m).
∴MF1·MF2=(3+23)×(3-23)+m2=-3+m2.
∵點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上,
∴9-m2=6,即m2=3,
∴MF1·MF2=0.
(3)解∵△F1MF2的底邊長(zhǎng)|F1F2|=43,
由(2)知m=±3,
∴△F1MF2的高h(yuǎn)=|
11、m|=3,
∴S△F1MF2=12×43×3=6.
10.解(1)由題意得直線(xiàn)AB的方程為y=22·x-p2,與y2=2px聯(lián)立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.
由拋物線(xiàn)定義得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,從而該拋物線(xiàn)的方程為y2=8x.
(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,
即x2-5x+4=0,則x1=1,x2=4,
于是y1=-22,y2=42,
從而A(1,-22),B(4,42).
設(shè)C(x3,y3),
則OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22).
又y32=8x3,
12、所以[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
11.D 解析由題意知F(1,0),過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線(xiàn)方程為y=23(x+2).與拋物線(xiàn)方程y2=4x聯(lián)立,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.
不妨設(shè)M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FM·FN=8.
12.C 解析由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,則△PF1F2為直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.由雙曲線(xiàn)定義可得|PF1|-|PF2|=2a,
13、
又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,
所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,
化為(|PF2|+a)2=2c2-a2,
即有2c2-a2≤4a2,可得c≤102a,
由e=ca>1,可得1
14、2y+a2b2=0.
所以y1+y2=2pb2a2=p,
所以b2a2=12.
所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±22x.
14.解(1)由題意知c=13,設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線(xiàn)方程為x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),
則a-m=4,7·13a=3·13m,解得a=7,m=3.
所以b=6,n=2.
所以橢圓方程為x249+y236=1,
雙曲線(xiàn)方程為x29-y24=1.
(2)不妨設(shè)F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,
所以|PF1|=10,|PF2|=4.
15、
又|F1F2|=213,
所以cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|=102+42-(213)22×10×4=45.
15.解(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.
由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程為y=x-1.
(
16、2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線(xiàn)的方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),
則y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16,
解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.
因此所求圓的方程為
(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
16.解(1)由已知得p=2,直線(xiàn)和y軸交于點(diǎn)(0,2),
則直線(xiàn)AB的方程為y-2=12x,即x-2y+4=0.
由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐標(biāo)分別為(4,4),(-2,1).
又x2=4y,可得y=14
17、x2,故y'=12x,
故拋物線(xiàn)在點(diǎn)A處切線(xiàn)的斜率為2.
設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
則b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2,
解得a=-1,b=132,r2=1254,
故圓的方程為(x+1)2+y-1322=1254,
即為x2+y2+2x-13x+12=0.
(2)存在.依題意可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+2,代入拋物線(xiàn)方程x2=4y,得x2-4kx-8=0,
故x1x2=-8.①
由已知AP=λPB,得-x1=λx2.
若k=0,這時(shí)λ=1,要使QP⊥(QA-λQB),點(diǎn)Q必在y軸上.
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,m),從而QP=(0,2-m),
QA-λQB=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m)=(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)),
故QP·(QA-λQB)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0,
即y1-λy2-m(1-λ)=0,
即x124+x1x2·x224-m1+x1x2=0,
即14x2(x1+x2)(x1x2-4m)=0,將①代入得m=-2.
所以存在點(diǎn)Q(0,-2)使得QP⊥(QA-λQB).
10
（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練41 雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)（含解析）新人教A版
