13、，BE＝1，CE＝，
∴sin∠BCE＝＝＝.
(2)∵∠CED＝B＝，∴∠DEA＝∠BCE，
∴cos∠DEA＝＝＝＝.
∵A＝，∴△AED為直角三角形，又AE＝5，
∴ED＝＝＝2.
在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49.
∴CD＝7.
利用正、余弦定理求解平面幾何中的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)圖形特征及已知條件，將所給量及待求量放在同一個(gè)三角形中，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、外角和定理及正、余弦定理求解．
(2019·廣東江門(mén)高三一模)平面四邊形ABCD中，邊AB＝BC＝5，CD＝8，對(duì)角線BD＝7.
(1)求內(nèi)角C的大小
14、；
(2)若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求邊AD的長(zhǎng)．
解 (1)在△BCD中，cosC＝＝，C＝.
(2)因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以A＝π－C＝，
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA，
49＝25＋AD2＋5AD，解得AD＝3或AD＝－8，
又AD>0，所以AD＝3.
真題押題
『真題模擬』
1．(2019·山東聊城高三一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，若對(duì)于任意的x∈R，都有f(2θ－x)＝f(x)，則sin＝( )
A. B．－
C． D．－
答案 B
解析 f(x)＝sinx－cosx＝sin，由f(2θ－x)＝f(x)，
15、得x＝θ是函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，得θ－＝＋kπ，k∈Z，得θ＝＋kπ，k∈Z.∴sin＝sin＝sin＝－.故選B.
2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝( )
A. B．
C． D．
答案 C
解析 由題可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC.由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC.∵C∈(0，π)，∴C＝.故選C.
3．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，則sinα＝( )
A. B．
C． D．
答案 B
解析 由2
16、sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.
又∵α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故選B.
4．(2019·河南頂級(jí)名校高三四模)已知α∈，β∈，sin(2α＋β)＝sinβ，cosβ的最小值為( )
A. B．
C． D．
答案 A
解析 因?yàn)閟in(2α＋β)＝sinβ，即sin[(α＋β)＋α]＝sin[(α＋β)－α]，則sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]，有sin(α＋β)cosα＝5cos(α＋β)sinα?tan(α＋β)＝5tanα，即＝5tanα，那么tanβ＝＝，∵α
17、∈，β∈，∴tanα>0，tanβ>0，∴tanβ≤＝，當(dāng)5tanα＝即tanα＝時(shí)等號(hào)成立．因此tan2β＝＝≤，即cos2β≥，又β∈，cosβ>0?cosβ≥.故選A.
5．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝______.
答案 －
解析 解法一：因?yàn)閟inα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，所以sinα＝，cosβ＝，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－.
解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα
18、＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－.
6．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D在線段AC上．若∠BDC＝45°，則BD＝________，cos∠ABD＝________.
答案
解析 如圖，易知sin∠C＝，
cos∠C＝.在△BDC中，由正弦定理可得＝，
∴BD＝＝＝.由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC＝×＋×
19、＝.
『金版押題』
7．已知sinx＋cosx＝，則cos＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 B
解析 sinx＋cosx＝2＝2＝2cos＝，
即cos＝.
8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若＝，則cosB＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 B
解析 在△ABC中，由正弦定理，得＝＝1，
∴tanB＝，又B∈(0，π)，∴B＝，cosB＝.故選B.
配套作業(yè)
一、選擇題
1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，1)，則cos的值是( )
A．－
20、B．0
C． D．1
答案 B
解析 由已知得sinα＝，cosα＝，所以cos＝cosα－sinα＝0.
2. (2019·貴州凱里第一中學(xué)模擬)如圖，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積為225，小正方形的面積為9，直角三角形較小的銳角為α，則sin2α＝( )
A. B．
C． D．
答案 D
解析 ∵大正方形的面積為225，小正方形的面積為9，∴大正方形的邊長(zhǎng)為15，小正方形的邊長(zhǎng)為3.設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為x，則短直角邊為x－3，由勾股定理得x2＋(x－3)2＝152，解得x＝12
21、，α為直角三角形較小的銳角，所以sinα＝，cosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝.
3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若 a＝b，A＝2B，則cosB＝( )
A. B．
C． D．
答案 B
解析 ∵a＝b，由正弦定理，得sinA＝sinB.①
又∵A＝2B，∴sinA＝sin2B，sinA＝2sinBcosB.②
由①②且角B為△ABC的內(nèi)角得cosB＝.
4．(2019·內(nèi)蒙古呼和浩特市3月質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中，角α的終邊過(guò)P(－2,1)，則cos2α－sin2α的值為( )
A. B．
C． D．
答案 B
解析 ∵在平面
22、直角坐標(biāo)系中，角α的終邊過(guò)P(－2,1)，∴tanα＝＝－，則cos2α－sin2α＝＝＝，故選B.
5．(2019·四川德陽(yáng)第二次模擬)在△ABC中，BD是AC邊上的高，A＝，cos∠ABC＝－，則＝( )
A. B．
C． D．
答案 A
解析 ∵cos∠ABC＝－，∴sin∠ABC＝＝，sinC＝sin＝(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝，∵BD是AC邊上的高，∴BD＝BCsinC＝BC，
如圖，由正弦定理可知＝，即AC＝BC，∴＝＝，故選A.
6．如圖，在△ABC中，B＝45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB＝( )
A. B．
23、C． D．
答案 A
解析 在△ACD中，由余弦定理可得cosC＝＝，則sinC＝.在△ABC中，由正弦定理可得＝，則AB＝，選A.
7．(2019·河南信陽(yáng)高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1，且y＝f(x)的圖象沿x軸方向平移m個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則|m|的最小值為( )
A. B．
C． D．
答案 C
解析 f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝2sin，將y＝f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位(若m<0，則為向右平移－m個(gè)單位)，得到g(x)＝2sin，因?yàn)槠揭坪髨D象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，將(0
24、,0)代入g(x)，得sin＝0，可得2m－＝kπ，k∈Z，m＝＋，k∈Z，則|m|的最小值為.故選C.
二、填空題
8．已知cos＋sinα＝，則cos的值是________．
答案?。?
解析 ∵cos＋sinα＝cos＝，
∴cos＝2cos2－1＝－.
9．(2019·遼寧遼南協(xié)作體高三一模)已知cosα＝，α∈，則的值為_(kāi)_______．
答案?。?
解析 由cosα＝，α∈，得sinα＝－＝－，∴＝＝＝＝－.
10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若sin2A－sin2B＝sinBsinC，sinC＝2sinB，則A＝________.
答案 3
25、0°
解析 根據(jù)正弦定理可得a2－b2＝bc，c＝2b，解得a＝b.根據(jù)余弦定理cosA＝
＝＝，得A＝30°.
11．已知不等式3sincos＋cos2－－m≤0對(duì)任意的－≤x≤恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案 [，＋∞)
解析 依題意得，3sincos＋cos2－－m＝sin＋cos－m＝sin－m≤0在上恒成立，∴m≥sin在上恒成立，由于－≤＋≤，
∴－≤ sin≤ ，故m≥ .
三、解答題
12．(2019·上海金山區(qū)第二學(xué)期質(zhì)檢)已知△ABC中，tanA＝，tanB＝，AB＝.求：
(1)角C的大??；
(2)△ABC中最小邊的邊長(zhǎng)．
解 (
26、1)tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－1，所以C＝.
(2)因?yàn)閠anA
27、ab＝196，由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，即a＝2b，聯(lián)立解得b＝2，a＝4.
所以S△ABC＝absinC＝14.
14．(2019·湖南永州高三三模)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB＋cosB＝0，a＝1，c＝2.
(1)求b；
(2)如圖，D為AC邊上一點(diǎn)，且BD⊥BC，求△ABD的面積．
解 (1)由sinB＋cosB＝0得，tanB＝－，
又0
28、C＝.
在Rt△BDC中，BD＝BC·tanC＝1×＝，
∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝－＝，
所以S△ABD＝×AB×BDsin∠ABD＝×2××＝.
15．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝1，A＝.
(1)求sin∠ADB；
(2)若∠BDC＝，求四邊形ABCD的面積．
解 (1)如圖，在△ABD中，
AB＝2，AD＝1，A＝，
由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA，
即BD2＝4＋1－2×2×1×cos，
解得BD＝.
在△ABD中，由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin∠ADB＝.
(2)設(shè)∠CBD＝α，
因?yàn)?/p>
29、AD∥BC，所以∠ADB＝∠CBD＝α，所以sinα＝.
因?yàn)?<α<，所以cosα＝，因?yàn)椤螧DC＝，
所以sinC＝sin＝sincosα－cossinα＝.
在△BCD中，由正弦定理得
＝，即＝，解得BC＝7.
所以S△BCD＝BD·BC·sinα＝××7×＝，
S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝×2×1×sin＝.
所以四邊形ABCD的面積S＝S△BCD＋S△ABD＝＋＝4.
16. 如圖，已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosC＋asinC－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD為BC邊上的中線，cosB＝，AD＝，求△ABC
30、的面積．
解 (1)acosC＋asinC－b－c＝0，
由正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，
即sinAcosC＋sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，
又sinC≠0，所以化簡(jiǎn)得sinA－cosA＝1，
所以sin(A－30°)＝.
在△ABC中，0°0)，則在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，即＝25x2＋
31、×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，故S△ABC＝acsinB＝10.
三角函數(shù)與解三角形類(lèi)解答題
(12分)已知函數(shù)f(x)＝sinωxcosωx－sin2ωx＋1(ω>0)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且滿足a＝，f(A)＝1，求△ABC面積S的最大值．
解題思路 (1)首先將函數(shù)解析式化為“一角一函數(shù)”的形式，然后利用函數(shù)圖象中對(duì)稱(chēng)軸之間的距離確定函數(shù)的周期，從而求得ω的值，最后利用換元法求得函數(shù)的遞減區(qū)間；(2)根據(jù)第(1)問(wèn)所得，利用
32、f(A)＝1求得角A，再根據(jù)余弦定理建立b，c的關(guān)系式，利用基本不等式求得bc的最大值，將其代入面積公式即可．
解 (1)f(x)＝sin2ωx－＋1＝sin＋.(3分)
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.(4分)
所以f(x)＝sin＋.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．(6分)
(2)由f(A)＝1得sin＝.因?yàn)?A＋∈，
所以2A＋＝，得A＝.(8分)
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即()2＝b2＋c2－2bccos，
33、(9分)
所以bc＋3＝b2＋c2≥2bc，解得bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立．(11分)
所以S△ABC＝bcsinA≤×3×＝.
故△ABC面積S的最大值為.(12分)
1．化簡(jiǎn)：用誘導(dǎo)公式、和角公式、差角公式和倍角公式化簡(jiǎn)給3分．
2．求ω值：運(yùn)用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及周期性求ω值給1分．
3．求單調(diào)區(qū)間：利用三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求f(x)的單調(diào)區(qū)間給2分．
4．求角：已知三角函數(shù)值求角給2分．
5．建立關(guān)系式：利用余弦定理得出b，c的關(guān)系式給1分．
6．求最值：利用基本不等式求出bc的最大值給2分．
7．求面積最值：代入面積公式求最大值給1分．
1．發(fā)現(xiàn)差異
34、：觀察角、函數(shù)運(yùn)算的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”．
2．尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系．
3．合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓酱偈共町惖霓D(zhuǎn)化．
4．挖掘隱含：如定義域、銳角、三角函數(shù)值的正負(fù)對(duì)角的范圍的影響，將已知的三角函數(shù)值與特殊角的三角函數(shù)值比較、縮小角的范圍等等．
[跟蹤訓(xùn)練]
(2019·天津九校聯(lián)考)(12分)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若b＝c，且2sinB＝sinA.
(1)求sinB的值；
(2)求cos的值；
(3)若b＝2，求△ABC的面積．
解 (1)因?yàn)?sinB＝sinA，
所以2b＝a，即a＝b，(1分)
所以cosB＝＝＝，(3分)
因?yàn)锽∈(0，π)，所以sinB＝.(4分)
(2)由(1)可知cosB＝.(5分)
因?yàn)閟in2B＝2sinBcosB＝2××＝，
cos2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝－.(6分)
所以cos＝cos2Bcos－sin2Bsin
＝－×－×＝－.(8分)
(3)因?yàn)閎＝2，所以c＝2，a＝，(10分)
所以S△ABC＝acsinB＝××2×＝.(12分)
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（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題提分教程 第二編 專(zhuān)題二 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí) 理
