（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題三 解析幾何 第12講 圓錐曲線中探索性問題及創(chuàng)新型問題練習

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1、第12講 圓錐曲線中探索性問題及創(chuàng)新型問題 1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長軸是短軸的兩倍，點A在橢圓C上．不過原點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)直線OA，l，OB的斜率分別為k1，k，k2，且k1，k，k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列． (1)求橢圓C的方程． (2)試判斷OA2＋OB2是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由． 解：(1)由題意知a＝2b且＋＝1， 所以a2＝4，b2＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，m≠0， A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立 整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0

2、， 所以x1＋x2＝，x1·x2＝，且Δ＝16(1＋4k2－m2)>0. 因為k1，k，k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列， 所以k2＝k1k2＝＝， 即k2＝k2＋＋， 所以－4k2m2＋m2＝0，因為m≠0， 所以k2＝，解得k＝±， 此時Δ＝16(2－m2)>0，即m∈(－，)， 所以 又OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝(x＋x)＋2＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋2＝5， 所以O(shè)A2＋OB2是定值，且為5. 2．(2019·全國卷Ⅰ)已知點A，B關(guān)于坐標原點O對稱，|AB|＝4，⊙M過點A，B且與直線x＋2＝0相切． (1)若A在直線x＋y＝0上，求⊙M的半徑． (2)

3、是否存在定點P，使得當A運動時，|MA|－|MP|為定值？并說明理由． 解：(1)因為⊙M過點A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上．由已知A在直線x＋y＝0上，且A，B關(guān)于坐標原點O對稱，所以M在直線y＝x上，故可設(shè)M(a，a)． 因為⊙M與直線x＋2＝0相切， 所以⊙M的半徑為r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO， 故可得2a2＋4＝(a＋2)2， 解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半徑r＝2或r＝6. (2)存在定點P(1,0)，使得|MA|－|MP|為定值． 理由如下： 設(shè)M(x，y)，由已知得⊙M的半徑為r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO

4、，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2， 化簡得M的軌跡方程為y2＝4x. 因為曲線C：y2＝4x是以點P(1,0)為焦點， 以直線x＝－1為準線的拋物線，所以|MP|＝x＋1. 因為|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在滿足條件的定點P. 3.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P(－2,3)是橢圓C上一點，且PF1⊥x軸． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)圓M：(x－m)2＋y2＝r2(r>0)． ①設(shè)圓M與線段PF2交于A，B兩點，若＋＝＋，且AB＝2，求r的值； ②設(shè)m＝－2，過點P作圓M的兩條切線分別交

5、橢圓C于G，H兩點(均異于點P)．試問：是否存在這樣的正數(shù)r，使得G，H兩點恰好關(guān)于坐標原點O對稱？若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)因為點P(－2,3)是橢圓C上一點，且PF1⊥x軸， 所以橢圓的半焦距c＝2， 由＋＝1，得y＝±，所以＝＝3， 化簡得a2－3a－4＝0，解得a＝4，所以b2＝12， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)①因為＋＝＋， 所以－＝－，即＝. 所以線段PF2與線段AB的中點重合(記為點Q)， 由(1)知Q. 因為圓M與線段PF2交于A，B兩點， 所以kMQ·kAB＝kMQ·kPF2＝－1， 即·＝－1，解得m＝－， 所以

6、MQ＝ ＝， 又AB＝2，所以r＝ ＝. ②假設(shè)存在正數(shù)r滿足題意． 由G，H兩點恰好關(guān)于原點對稱，設(shè)G(x0，y0)， 則H(－x0，－y0)，不妨設(shè)x0<0. 因為P(－2,3)，m＝－2，所以兩條切線的斜率均存在， 設(shè)過點P與圓M相切的直線的斜率為k， 則切線方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 由該直線與圓M相切，得r＝，即k＝± ， 所以兩條切線的斜率互為相反數(shù)，即kPG＝－kPH， 所以＝－，化簡得x0y0＝－6，即y0＝， 代入＋＝1，化簡得x－16x＋48＝0， 解得x0＝－2(舍去)或x0＝－2， 所以y0＝， 所以G(－2，)，

7、H(2，－)， 所以kPG＝＝， 所以r＝＝. 故存在滿足條件的正數(shù)r，且r＝. 4.如圖，點T為圓O：x2＋y2＝1上一動點，過點T分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，連結(jié)BA并延長至點P，使得＝，點P的軌跡記為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)若點A，B分別位于x軸與y軸的正半軸上，直線AB與曲線C相交于M，N兩點，試問：在曲線C上是否存在點Q，使得四邊形OMQN為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由． 解： (1)設(shè)P(x，y)，T(x0，y0)，則A(x0,0)，B(0，y0)， 由題意知＝，所以A為PB中點， 由中點坐標公式得即

8、 又因為點T在圓O：x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1, 從而＋y2＝1.故曲線C的方程為＋y2＝1. (2)假設(shè)存在滿足題意的點Q，由題意知直線l的斜率存在且不為零， 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋t， 因為AB＝OT＝1，故2＋t2＝1，即＋t2＝1，① 聯(lián)立消去y，得(4k2＋1)x2＋8ktx＋4(t2－1)＝0, 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝k＋2t＝， 因為OMQN為平行四邊形，故Q， 因為點Q在橢圓上，所以＋2＝1， 整理得4t2＝4k2＋1，② 將①代入②，得4k4＋k2＋1＝0，該方程無解， 故不存在滿足題意的點Q. - 5 -