（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 第6講 立體幾何中的計(jì)算練習(xí)

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1、第6講 立體幾何中的計(jì)算 A級(jí)——高考保分練 1．若圓錐底面半徑為1，高為2，則圓錐的側(cè)面積為________． 解析：由題意，得圓錐的母線長(zhǎng)l＝＝，所以S圓錐側(cè)＝πrl＝π×1×＝π. 答案：π 2．已知正六棱柱的側(cè)面積為72 cm2，高為6 cm，那么它的體積為________cm3. 解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x cm， 由題意得6x×6＝72，所以x＝2， 于是其體積V＝×22×6×6＝36 (cm)3. 答案：36 3．(2019·南京學(xué)情調(diào)研)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，則四棱錐A1-B1C1CB的體積是________．

2、 解析：如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連結(jié)A1E，易證A1E⊥平面BB1C1C，所以A1E為四棱錐A1B1C1CB的高，所以V四棱錐A1-B1C1CB＝S矩形BB1C1C×A1E＝×(2×3)×＝2. 答案： 2 4．(2019·常州期末)已知圓錐SO，過SO的中點(diǎn)P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為________． 解析：設(shè)圓錐底面半徑為2r，高為2h，則圓柱底面圓半徑為r，高為h，所以＝＝. 答案： 5．(2019·蘇州期末)如圖，某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐構(gòu)成

3、的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點(diǎn)在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為________． 解析：正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2×2×cos 30°＝2，底面正三角形的面積S＝×2×2×sin 60°＝3，三棱錐的高h(yuǎn)＝2.所以正三棱錐的體積V＝×3×2＝2. 答案：2 6．已知球O與棱長(zhǎng)為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為________． 解析：將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對(duì)角線，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4，所以正方體的棱長(zhǎng)為2.因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑2R＝2，則球O的體積V＝πR3＝π.

4、 答案：π 7．(2019·姜堰中學(xué)檢測(cè))已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝，E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE，CE將△ABE，△DCE翻折，使點(diǎn)A，D重合，記為點(diǎn)P，則幾何體PBCE的外接球表面積為________． 解析：在幾何體PBCE中，PB⊥PC，PB⊥PE，PC⊥PE，即三棱錐可以補(bǔ)成以PB，PC，PE為邊的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線為外接球的直徑，即2r＝＝，故r＝，外接球的表面積為4×π×＝. 答案： 8．已知圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為________． 解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則l＝，0

5、＝4π≤2π[r2＋(1－r2)]＝2π，當(dāng)且僅當(dāng)r2＝1－r2，即r＝時(shí)取“＝”，所以這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為2π. 答案：2π 9．有一個(gè)體積為2的長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)、寬、高依次為a，b,1.現(xiàn)將它的長(zhǎng)增加1，寬增加2，且體積不變，則所得新長(zhǎng)方體高的最大值為________． 解析：設(shè)所得新長(zhǎng)方體的高為h.根據(jù)題意，得所以h＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b，即a＝1，b＝2時(shí)取等號(hào)．故所得新長(zhǎng)方體高的最大值為. 答案： 10.(2019·蘇州期末)魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根等長(zhǎng)的正四棱

6、柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái)．若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為________(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π)． 解析：設(shè)球形容器的最小半徑為R，則“十字立方體”的24個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為R的球面上，所以兩根并排的四棱柱體組成的長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)球面上．球的直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度，所以2R＝＝，得4R2＝30.從而S球面＝4πR2＝30π. 答案：30π 11．已知等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)的表面積為S，求其內(nèi)接正四棱柱的體積． 解：設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝2r. 因?yàn)镾＝S側(cè)＋2S底＝

7、2πrh＋2πr2＝6πr2， 所以r＝， 所以內(nèi)接正四棱柱的底面邊長(zhǎng)a＝2rsin 45°＝r， 所以內(nèi)接正四棱柱的體積V＝S底·h＝(r)2·2r＝4r3＝. 12.如圖，在五面體ABCDFE中，底面ABCD為矩形，EF∥AB，BC⊥FD，過BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q. (1)證明：PQ∥平面ABCD； (2)若CD⊥BE，EF＝EC＝1，CD＝2EF＝BC，求五面體ABCDFE的體積． 解：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AD∥BC.又AD?平面ADF，BC?平面ADF， 所以BC∥平面ADF. 又BC?平面 BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，

8、所以BC∥PQ. 又PQ?平面ABCD，BC?平面ABCD， 所以PQ∥平面ABCD. (2)由CD⊥BE，CD⊥CB， 易證CD⊥CE. 由BC⊥CD，BC⊥FD， 易證BC⊥平面CDFE， 所以CB⊥CE，即CD，CE，CB兩兩垂直． 如圖，連接FB，F(xiàn)C，因?yàn)镋F＝EC＝1，CD＝2EF＝BC，所以CD＝2，BC＝3， V四棱錐F-ABCD＝×(2×3)×1＝2， V三棱錐F-BCE＝××1＝， 所以VABCDFE＝V四棱錐F-ABCD＋V三棱錐F-BCE ＝2＋＝. B級(jí)——難點(diǎn)突破練 1．已知底面半徑為1，高為的圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上，則

9、球O的表面積為________． 解析：如圖，△ABC為圓錐的軸截面，O為其外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為R，連接OB，OA，并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，則AD⊥BC，由題意知，AO＝BO＝R，BD＝1，AD＝，則在Rt△BOD中，有R2＝(－R)2＋12，解得R＝，所以外接球O的表面積 S＝4πR2＝. 答案： 2. 底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為 cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切．現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水________cm3. 解析：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為O1，O2，O3，O4，其中O1，O2為下層兩球的球心，O1O

10、2O3O4為正四面體，棱O1O2到棱O3O4的距離為，所以注水高為1＋.故應(yīng)注水體積為π－4×π×3＝＋π. 答案：π 3．如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE＝4.如圖②所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)． (1)求證：DE⊥平面BCD； (2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B-DEG的體積． 解：(1)證明：在題圖①中， 因?yàn)锳C＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°. 因?yàn)镃D為∠ACB的平分線

11、， 所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝2. 又因?yàn)镃E＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2. 則CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD. 在題圖②中，因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD， 所以DE⊥平面BCD. (2)在題圖②中，因?yàn)镋F∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG. 因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AC上，CE＝4，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)， 所以AE＝EG＝CG＝2. 過點(diǎn)B作BH⊥CD交于點(diǎn)H. 因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，BH?平面BCD， 所以BH⊥平面ACD. 由條

12、件得BH＝. 又S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝， 所以三棱錐B-DEG的體積為V＝S△DEG·BH＝××＝. 4.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD. (1)證明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積，求該三棱錐E-ACD的側(cè)面積． 解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD. 因?yàn)锽E⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， 所以BE⊥AC. 因?yàn)锽D∩BE＝B，BD ?平面BED，BE ?平面BED， 所以AC⊥平面BED. 又AC?平面AEC， 所以平面AEC⊥平面BED. (2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝. 因?yàn)锳E⊥EC， 所以在Rt△AEC中，可得EG＝x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形， 可得BE＝x. 由已知得，三棱錐E-ACD的體積 V三棱錐E-ACD＝·AC·GD·BE＝x3＝， 故x＝2. 從而可得AE＝EC＝ED＝. 所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為. 故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2. - 7 -