（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第10講 圓錐曲線中定點、定值問題練習(xí)

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1、第10講 圓錐曲線中定點、定值問題 1.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過點P(2，－1)． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點Q在橢圓C上，且PQ與x軸平行，過點P作兩條直線分別交橢圓C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若直線PQ平分∠APB，求證：直線AB的斜率是定值，并求出這個定值． 解：(1)由e＝＝，得a＝2b， 所以橢圓C的方程為＋＝1. 把P(2，－1)的坐標(biāo)代入，得b2＝2， 所以橢圓C的方程是＋＝1. (2)證明：由已知得PA，PB的斜率存在，且互為相反數(shù)． 設(shè)直線PA的方程為y＋1＝k(x－2)，其中k≠0. 由消去y，

2、得x2＋4[kx－(2k＋1)]2＝8， 即(1＋4k2)x2－8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－8＝0. 因為該方程的兩根為2，xA，所以2xA＝， 即xA＝.從而yA＝. 把k換成－k，得xB＝，yB＝. 計算，得kAB＝＝＝－，是定值． 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為M，△MF1F2為等腰直角三角形，且其面積為1. (1)求橢圓C的方程； (2)過點M分別作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點，設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝2，證明：直線AB過定點． 解：(1)由題意得a2＝1，∴a＝， 又b＝c，a2

3、＝b2＋c2，∴b＝1， ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：由(1)得M(0,1)．當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)A(x0，y0)，則B(x0，－y0)， 由k1＋k2＝2得＋＝2，得x0＝－1. 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 則Δ＝8(2k2－m2＋1)>0， x1＋x2＝，x1·x2＝. 由k1＋k2＝2，得＋＝2， 即＝2， (2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)， (2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)， 由m

4、≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km，∴m＝k－1， 即y＝kx＋m＝kx＋k－1＝k(x＋1)－1， 故直線AB過定點(－1，－1)， 經(jīng)檢驗，當(dāng)k>0或k<－2時，直線AB與橢圓C有兩個交點，滿足題意． 綜上所述，直線AB過定點(－1，－1)． 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2：＋＝1(a>b>0)，C2與C1的長軸長之比為∶1，離心率相同． (1)求橢圓C2的標(biāo)準方程； (2)設(shè)點P為橢圓C2上的一點． ①射線PO與橢圓C1依次交于點A，B，求證：為定值； ②過點P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C

5、1均有且只有一個公共點，求證k1·k2為定值． 解：(1)設(shè)橢圓C2的焦距為2c， 由題意，a＝2，＝，a2＝b2＋c2，解得b＝， 因此橢圓C2的標(biāo)準方程為＋＝1. (2)證明：①當(dāng)直線OP斜率不存在時， PA＝－1，PB＝＋1，則＝＝3－2. 當(dāng)直線OP斜率存在時， 設(shè)直線OP的方程為y＝kx， 代入橢圓C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4， 所以x＝，同理x＝. 所以x＝2x，由題意，xP與xA同號，所以xP＝xA， 從而＝＝＝＝3－2. 所以＝3－2為定值． ②設(shè)P(x0，y0)，所以直線l1的方程為y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋

6、y0， 記t＝－k1x0＋y0，則l1的方程為y＝k1x＋t， 代入橢圓C1的方程，消去y，得(4k＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0， 因為直線l1與橢圓C1有且只有一個公共點， 所以Δ＝(8k1t)2－4(4k＋1)(4t2－4)＝0， 即4k－t2＋1＝0， 將t＝－k1x0＋y0代入上式， 整理得，(x－4)k－2x0y0k1＋y－1＝0， 同理可得，(x－4)k－2x0y0k2＋y－1＝0， 所以k1，k2為關(guān)于k的方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－1＝0的兩根，從而k1·k2＝. 又點P(x0，y0)在橢圓C2：＋＝1上， 所以y＝2－x， 所以k1

7、·k2＝＝－為定值． 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上的點到兩個焦點的距離之和為4，橢圓C的離心率為，A為橢圓C的左頂點． (1)求橢圓C的方程； (2)圓M：x2＋(y－2)2＝r2(0＜r＜2)． ①當(dāng)r＝1時，過點A作直線l與圓M相交于P，Q兩點，且PQ＝，求直線l的方程； ②當(dāng)r變化時，過點A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于點B和點D，證明直線BD恒過定點． 解：(1)由題意，得解得 所以b2＝a2－c2＝1. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)由題意知，A(－2,0)． ①當(dāng)r＝1時，圓M：x2＋(y－2)2＝1， 易知直線

8、l的斜率存在且不等于0， 設(shè)直線l：y＝kl(x＋2)(kl≠0)， 則圓心M到直線l的距離d＝， PQ＝2＝2＝， 化簡得2k－5kl＋2＝0，解得kl＝2或kl＝. 所以直線l的方程為y＝2x＋4或y＝x＋1. ②證明：由題意可設(shè)過點A的圓M的切線方程為y＝k(x＋2)(k≠0)， 則圓心M到切線的距離為＝r， 得(4－r2)k2－8k＋4－r2＝0， 設(shè)切線AB，AD的斜率分別為k1，k2， 則k1,2＝，k1k2＝1. 由得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0， 解得x＝或x＝－2. 設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＝，y1＝， x2

9、＝＝，y2＝＝， 則kBD＝＝. 所以直線BD的方程為 y－＝， 化簡得y＝， 所以直線BD恒過定點. 5．已知橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點M(－2,1)，且右焦點F(，0)． (1)求橢圓Γ的標(biāo)準方程； (2)過N(1,0)且斜率存在的直線AB交橢圓Γ于A，B兩點，記t＝M·M，若t的最大值和最小值分別為t1，t2，證明t1＋t2為定值． 解：(1)由橢圓＋＝1的右焦點為(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3， 則＋＝1，a2>3. 又橢圓過點M(－2,1)，∴＋＝1， ∵a2>3，∴a2＝6. ∴橢圓Γ的標(biāo)準方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)直線AB的方

10、程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0， ∵點N(1,0)在橢圓內(nèi)部，∴Δ>0， ∴ 則t＝M·M＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1) ＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5，③ 將①②代入③得， t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5， ∴t＝，∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R， 則Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0， ∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0， 由題意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的兩根， ∴t1＋t2＝. ∴t1＋t2為定值． - 6 -