（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題一 三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第4講 平面向量練習

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1、第4講 平面向量 A級——高考保分練 1．(2019·南通調(diào)研)已知向量a＝(1，λ)，b＝(λ，2)，若(a＋b)∥(a－b)，則λ＝________. 解析：由題知a＋b＝(1＋λ，λ＋2)，a－b＝(1－λ，λ－2)．因為(a＋b)∥(a－b)，所以(1＋λ)(λ－2)＝(λ＋2)(1－λ)，解得λ＝±. 答案：± 2．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A，B，C三點滿足＝＋，則＝________. 解析：因為＝＋，所以＝－＝－＋＝(－)，所以＝，所以＝. 答案： 3．向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影為________． 解析：∵向量a＝(3,4

2、)，b＝(1，－1)， ∴向量a在向量b方向上的投影為 |a|cos θ＝＝＝－. 答案：－ 4．已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝3e1＋2e2，b＝2e1－ke2(k∈R)，且a·(a－b)＝8，則實數(shù)k的值為________． 解析：a＝3e1＋2e2，a－b＝e1＋(2＋k)e2，則a·(a－b)＝(3e1＋2e2)·[e1＋(2＋k)e2]＝3e＋[2＋3(2＋k)]e1·e2＋2(2＋k)e＝3＋[2＋3(2＋k)]cos ＋2(2＋k)＝8，解得k＝－. 答案：－ 5．在△ABC中，O為△ABC的重心，AB＝2，AC＝3，A＝60°，則·＝________.

3、 解析：設(shè)BC邊中點為D，則＝ ，＝(＋)，∴ ·＝(＋)·＝×(3×2×cos 60°＋32)＝4. 答案：4 6．在?ABCD中，點E是邊AD的中點，BE與AC相交于點F，若＝m＋n (m，n∈R)，則＝________. 解析：∵ ＝2，＝m＋n，∴＝＋＝m＋(2n＋1)，∵F，E，B三點共線，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2. 答案：－2 7．在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是線段BD上的任意一點，則·＝________. 解析：如圖所示，由條件知△ABC為正三角形，AC⊥BP， 所以·＝(＋)· ＝·＋· ＝·＝×cos 60° ＝2×2×

4、＝2. 答案：2 8．已知Rt△ABC，點D為斜邊BC的中點，||＝6，||＝6，＝，則·＝________. 解析：如圖，以A為坐標原點，以AC為x軸，AB為y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(0,6)，C(6,0)，D(3,3)．因為＝，所以＝＝(3，3)＝(1，)，E(1，)，＝(－1，5)，所以·＝(1，)·(－1,5)＝14. 答案：14 9．(2019·海門中學期中)已知點O是△ABC內(nèi)部一點，且滿足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，則△OBC的面積為________． 解析：因為＋＋＝0，所以O(shè)為△ABC的重心，所以△OBC的面積是△ABC面積的， 因為

5、·＝2， 所以||·||cos∠BAC＝2， 因為∠BAC＝60°，所以||·||＝4， 所以S△ABC＝||·||sin∠BAC＝3， 所以△OBC的面積為1. 答案：1 10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，·＝9，S△ABC＝6，P為線段AB上的點，且＝x·＋y·，則xy的最大值為________． 解析：因為∠C＝90°，所以·＝2＝9，所以||＝3，即AC＝3.因為S△ABC＝×AC×BC＝6，所以BC＝4.又P為線段AB上的點，且＝＋，故＋＝1≥2，即xy≤3，當且僅當＝＝，即x＝，y＝2時取等號． 答案：3 11．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2si

6、n θ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值． 解：(1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝. (2)由|a|＝|b|知sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5， 從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin＝－. 又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜， 所以2θ＋＝或2θ＋＝， 因此θ＝或θ＝. 12．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為

7、a，b，c.向量m＝，n＝(sin B，－cos A)，且m⊥n. (1)求A的大??； (2)若|n|＝，求cos C的值． 解：(1)因為m⊥n，所以m·n＝0， 即asin B－bcos A＝0. 由正弦定理得，＝， 所以sin Asin B－sin Bcos A＝0. 在△ABC中，B∈(0，π)，sin B＞0， 所以sin A＝cos A. 若cos A＝0，則sin A＝0，矛盾． 若cos A≠0，則tan A＝＝. 在△ABC中，A∈(0，π)，所以A＝. (2)由(1)知，A＝，所以n＝. 因為|n|＝，所以 ＝. 解得sin B＝(舍去負值)．

8、 因為sin B＝＜，所以0＜B＜或＜B＜π. 在△ABC中，又A＝，故0＜B＜，所以cos B＞0. 因為sin2B＋cos2B＝1，所以cos B＝. 從而cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B ＝－×＋×＝. B級——難點突破練 1．(2019·泰州期末)已知點P為平行四邊形ABCD所在平面上一點，且滿足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，則λμ＝________. 解析：如圖，因為＋＋2＝0， 所以＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋)＝0， 即＋＋2(＋－)＝0， 所以3－＋2＝0， 即－＋＝0， 所以λ＝，μ＝－，λμ＝－. 答案：－

9、 2．已知A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，動點P滿足·＝2||2，則|＋|的最大值為________． 解析：設(shè)動點P(x，y)，因為A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，·＝2||2，所以(x，y－1)(x，y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝1.因為|＋|＝2，所以|＋|表示圓(x－2)2＋y2＝1上的點到原點距離的2倍，所以|＋|的最大值為2×(2＋1)＝6. 答案：6 3．(2019·啟東期末)設(shè)α∈，已知向量a＝(sin α，)，b＝，且a⊥b. (1)求tan的值； (2)求cos的值． 解： (1)因為a＝(sin α，)，b

10、＝，且a⊥b， 所以sin α＋cos α＝，所以sin＝. 因為α∈，所以α＋∈， 所以cos＝， 所以tan＝. (2)由(1)得cos＝2cos2－1＝2×2－1＝. 因為α∈，所以2α＋∈， 所以sin＝， 所以cos＝cos ＝coscos－sinsin ＝. 4．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2acos B＝2c－b. (1)若cos(A＋C)＝－，求cos C的值； (2)若b＝5，·＝－5，求△ABC的面積； (3)若O是△ABC外接圓的圓心，且·＋·＝m，求m的值． 解：由2acos B＝2c－b，得2sin Aco

11、s B＝2sin C－sin B， 即2sin Acos B＝2sin(A＋B)－sin B， 化簡得cos A＝，則A＝60°. (1)由cos(A＋C)＝－cos B＝－， 得cos B＝，所以sin B＝. 所以cos C＝cos(120°－B)＝－cos B＋sin B＝. (2)因為·＝·(－)＝·－2＝||·||·cos A－||2＝bc－b2＝－5， 又b＝5，解得c＝8， 所以△ABC的面積為bcsin A＝10. (3)由·＋·＝m， 可得··＋··＝m2.(*) 因為O是△ABC外接圓的圓心， 所以·＝2，·＝2， 又||＝， 所以(*)可化為·c2＋·b2＝m·， 所以m＝2(cos Bsin C＋sin Bcos C)＝2sin(B＋C)＝2sin A＝. - 8 -