2020高考數(shù)學二輪復習 分層特訓卷 主觀題專練 選考部分（13） 文

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1、選考部分(13) 1．[2019·湖北宜昌調考]在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝1. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)若曲線C1上恰好存在三個不同的點到曲線C2的距離相等，求這個點的極坐標． 解析：(1)由消去參數(shù)α，得x2＋y2＝4， 即曲線C1的普通方程為x2＋y2＝4. 由ρsin＝1得ρ＝1， 故曲線C2的直角坐標方程為x－y＋2＝0. (2)由(1)知，曲線C1為圓，設圓的半徑為r， ∵圓心O到曲線C2：x－y＋2＝

2、0的距離d＝＝1＝r， ∴直接x－y＋4＝0與曲線C1的切點A以及直線x－y＝0與圓的兩個交點B，C即為所求． 連接OA，則OA⊥BC，則kOA＝－，直線OA的傾斜角為， 即A點的極角為，所以B點的極角為－＝，C點的極角為＋＝， 故所求點的極坐標分別為，，. 2．[2019·益陽市，湘潭市高三9月調研考試]在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos＝.直線l與曲線C交于A，B兩點． (1)求直線l的直角坐標方程； (2)設點P(1,0)，求|PA|·|PB|的值． 解析：(1)由ρ

3、cos＝得 ρcosθcos－ρsinθsin＝， 又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，∴直線l的直角坐標方程為 x－y－1＝0. (2)由(α為參數(shù))得曲線C的普通方程為x2＋4y2＝4， ∵P(1,0)在直線l上，故可設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 將其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0， ∴t1·t2＝－， 故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝. 3．[2019·湖北省四校高三上學期第二次聯(lián)考試題]在平面直角坐標系xOy中，直線l過點P(1,0)且傾斜角為，在以O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin

4、. (1)求直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C的交點分別為M，N，求＋的值． 解析：(1)由題意知，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． ∵ρ＝4sin(θ＋)＝2sinθ＋2cosθ， ∴ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ. ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2＋y2＝2y＋2x， ∴曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－)2＝4. (2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入曲線C的直角坐標方程(x－1)2＋(y－)2＝4， 得t2－3t－1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝－1<0， ∴＋＝＋＝＝＝＝＝. 4．[2019·陜西榆林一模]在

5、平面直角坐標系xOy，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．M是曲線C1上的動點，將線段OM繞O點按順時針方向旋轉90°得到線段ON，設點N的軌跡為曲線C2.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C1，C2的極坐標方程； (2)若射線θ＝(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(除極點外)，且T(4,0)，求△TAB的面積． 解析：(1)由題意得，曲線C1的直角坐標方程為x2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－10y＝0， 故曲線C1的極坐標方程為ρ2＝10ρsin θ，即ρ＝10sin θ. 設點N(ρ，θ)(ρ≠0)，則由已知得M，將代入C1的極坐標方程

6、，得ρ＝10sin， 則曲線C2的極坐標方程為ρ＝10cos θ(ρ≠0)． (2)將θ＝代入C1，C2的極坐標方程，可得A，B， 又T(4,0)，所以S△TOA＝|OA|·|OT|sin＝15， S△TOB＝|OB|·|OT|sin＝5， 所以S△TAB＝S△TOA－S△TOB＝15－5. 5．[2019·黑龍江牡丹江模擬，數(shù)學抽象]在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＝. (1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知P是曲線C2上一點，求點P到曲線C1的最

7、小距離． 解析：(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得曲線C1的普通方程為x－y＋6＝0. 由曲線C2的極坐標方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，則3x2＋3y2－2x2＝3. 所以曲線C2的直角坐標方程為＋y2＝1. (2)設P(cos θ，sin θ)，則點P到曲線C1的距離d＝＝， 當cos＝－1時，d取得最小值，且dmin＝2. 故點P到曲線C1的最小距離為2. 6．[2019·安徽江淮六校聯(lián)考]在平面直角坐標系xOy中，先將曲線C1向左平移2個單位長度，再將得到的曲線上的每一個點的縱坐標縮短為原來的(橫坐標不變)，得到曲線C2，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，

8、建立極坐標系，C1的極坐標方程為ρ＝4cos α. (1)求曲線C2的參數(shù)方程； (2)已知點M在第一象限，四邊形MNPQ是曲線C2的內接矩形，求內接矩形MNPQ周長的最大值，并求周長最大時點M的坐標． 解析：(1)由ρ＝4cos α得ρ2＝4ρcos α， 將代入上式，整理得曲線C1的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4. 設曲線C1上變換前的點的坐標為(x′，y′)，變換后的點的坐標為(x，y)， 由題可知代入曲線C1的直角坐標方程， 整理得曲線C2的方程為＋y2＝1， ∴曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)設四邊形MNPQ的周長為l，點M(2cos θ，sin θ)， 則l＝8cos θ＋4sin θ＝4＝4sin(θ＋φ)， 且cos φ＝，sin φ＝， ∵0<θ<，∴φ<θ＋φ<＋φ， ∴sin≤sin(θ＋φ)≤1， ∴l(xiāng)max＝4，當且僅當θ＋φ＝時，l取最大值，此時θ＝－φ， 2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，故此時M. 4