2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 概率 第2講 古典概型分層演練 文

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1、第2講 古典概型 1．(2017·高考天津卷)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：選C.從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝＝. 2．“微信搶紅包”自2015年以來(lái)異?；鸨?，在

2、某個(gè)微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，若所發(fā)紅包的總金額為9元，被隨機(jī)分配為1.49元，1.31元，2.19 元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人搶?zhuān)咳酥荒軗屢淮危?則甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是(　　) A. B. C. D． 解析：選B.設(shè)事件A為“甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元”，甲、乙兩人搶到紅包的所有結(jié)果為{1.49，1.31}，{1.49，2.19}，{1.49，3.40}，{1.49，0.61}，{1.31，2.19}，{1.31，3.40}，{1.31，0.61}，{2.19，3.40}，{2.19，0.61}，{3.40，0.61}，共

3、10種情況．其中事件A的結(jié)果一共有4種情況，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，得P(A)＝＝，即甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是.故選B. 3．在正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為(　　) A. B. C. D． 解析：選B.如圖， 在正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P＝＝. 4．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

4、直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是(　　) A. B. C. D． 解析：選C.易知過(guò)點(diǎn)(0，0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無(wú)需考慮)，集合N中共有16個(gè)元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4個(gè)，由古典概型知概率為＝. 5．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：選C.從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1，2，3

5、)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股數(shù)只有(3，4，5)，所以概率為.故選C. 6．從2名男生和2名女生中，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天一人，則星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率為_(kāi)_______． 解析：將2名男生記為A1，A2，2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，A2A1共12種情況，而星期六安排一

6、名男生，星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2這4種情況，則其發(fā)生的概率為＝. 答案： 7．(2016·高考四川卷)從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是__________． 解析：從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，(a，b)的所有可能結(jié)果有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12種，其中l(wèi)og28＝3，log39＝2為整數(shù)，所以logab為整數(shù)的概率為. 答案： 8．(2019·福州模擬)某商店隨機(jī)將三幅

7、分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫(huà)并排貼在同一面墻上，則角梳與油紙傘的宣傳畫(huà)相鄰的概率是________． 解析：記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫(huà)分別為a，b，c，則并排貼的情況有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6種，其中b，c相鄰的情況有abc，acb，bca，cba，共4種，故由古典概型的概率計(jì)算公式，得所求概率P＝＝. 答案： 9．一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；

8、(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率． 解：(1)由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27種． 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A

9、， 則事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3種． 所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3種． 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為. 10．全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo)．根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2017年某全國(guó)性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù)，對(duì)名列前20名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，

10、結(jié)果如表所示． 組號(hào) 分組 頻數(shù) 1 [4，5) 2 2 [5，6) 8 3 [6，7) 7 4 [7，8] 3 (1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4，5)和[7，8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研，求至少有1家的融合指數(shù)在[7，8]內(nèi)的概率； (2)根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù)． 解：(1)法一：融合指數(shù)在[7，8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1，A2，A3；融合指數(shù)在[4，5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1，B2.從融合指數(shù)在[4，5)和[7，8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A

11、1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10個(gè)． 其中，至少有1家融合指數(shù)在[7，8]內(nèi)的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9個(gè)． 所以所求的概率P＝. 法二：融合指數(shù)在[7，8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1，A2，A3；融合指數(shù)在[4，5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1，B2.從融合指數(shù)在[4，5)和[7，8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件是

12、：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10個(gè)． 其中，沒(méi)有1家融合指數(shù)在[7，8]內(nèi)的基本事件是{B1，B2}共1個(gè)． 所以所求的概率P＝1－＝. (2)這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù)等于4.5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05. 1．若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：選D.記事件A：甲或乙被錄用．從五人中

13、錄用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)，(甲、丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對(duì)立事件僅有(丙，丁，戊)一種可能，所以A的對(duì)立事件A的概率為P()＝，所以P(A)＝1－P()＝.選D. 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D． 解析：選D.f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有Δ＝(2a)2

14、－4b2＞0，即a2＞b2.由題意知所有的基本事件有9個(gè)，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．滿足a2＞b2的有6個(gè)基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率為＝. 3．一個(gè)三位數(shù)的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b，b

15、 D． 解析：選C.由1，2，3組成的三位數(shù)有123，132，213，231，312，321，共6個(gè)；由1，2，4組成的三位數(shù)有124，142，214，241，412，421，共6個(gè)；由1，3，4組成的三位數(shù)有134，143，314，341，413，431，共6個(gè)；由2，3，4組成的三位數(shù)有234，243，324，342，432，423，共6個(gè)． 所以共有6＋6＋6＋6＝24個(gè)三位數(shù)． 當(dāng)b＝1時(shí)，有214，213，314，412，312，413，共6個(gè)“凹數(shù)”； 當(dāng)b＝2時(shí)，有324，423，共2個(gè)“凹數(shù)”． 所以這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是＝. 4．(2019·廣州綜合測(cè)試(

16、一))四個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的一枚硬幣，所有人同時(shí)拋出自己的硬幣．若落在圓桌上時(shí)硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來(lái)；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人繼續(xù)坐著．那么，沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為(　　) A. B. C. D． 解析：選B. 拋四枚硬幣，總的結(jié)果有16種，“沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站進(jìn)來(lái)”記為事件A，可分為三類(lèi)：一是沒(méi)有人站起來(lái)，只有1種結(jié)果；二是有1人站起來(lái)，有4種結(jié)果；三是有2人站起來(lái)，可以是AC或BD，有2種結(jié)果．所以滿足題意的結(jié)果共有1＋4＋2＝7種結(jié)果，P(A)＝.故選B. 5．根據(jù)我國(guó)頒布的《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定》：空氣質(zhì)量指數(shù)劃分

17、為0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六級(jí)，對(duì)應(yīng)空氣質(zhì)量指數(shù)的六個(gè)級(jí)別，指數(shù)越大，級(jí)別越高，說(shuō)明污染越嚴(yán)重，對(duì)人體健康的影響也越明顯．專(zhuān)家建議：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)小于等于150時(shí)，可以進(jìn)行戶外運(yùn)動(dòng)；空氣質(zhì)量指數(shù)為151及以上時(shí)，不適合進(jìn)行旅游等戶外活動(dòng)，下表是濟(jì)南市2017年10月上旬的空氣質(zhì)量指數(shù)情況： 時(shí)間 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269 (1)求10月上旬市民不適合進(jìn)行戶外活動(dòng)的概率；

18、 (2)一外地游客在10月上旬來(lái)濟(jì)南旅游，想連續(xù)游玩兩天，求適合連續(xù)旅游兩天的概率． 解：(1)該試驗(yàn)的基本事件空間Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件總數(shù)n＝10. 設(shè)事件A為“市民不適合進(jìn)行戶外活動(dòng)”，則A＝{3，4，9，10}，包含基本事件數(shù)m＝4.所以P(A)＝＝， 即10月上旬市民不適合進(jìn)行戶外活動(dòng)的概率為. (2)該試驗(yàn)的基本事件空間Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件總數(shù)n＝9， 設(shè)事件B為“適合連續(xù)旅游兩天的日期”，則B＝{(1，2)，(5，6)，(6，7

19、)，(7，8)}，包含基本事件數(shù)m＝4， 所以P(B)＝，所以適合連續(xù)旅游兩天的概率為. 6．“頂香居”食品有限公司對(duì)生產(chǎn)的某種面包按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)不同等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為A，B，C，D，E.現(xiàn)從該種面包中隨機(jī)抽取20件樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下： X A B C D E 頻率 0.1 0.2 0.45 0.15 0.1 從等級(jí)系數(shù)為A，D，E的樣品中一次性任取兩件(假定每件樣品被取出的可能性相同)． (1)求取出的兩件樣品是等級(jí)系數(shù)為A與D的概率； (2)求取出的兩件樣品是不同等級(jí)的概率． 解：(1)A級(jí)所取的樣品數(shù)

20、為20×0.1＝2，D級(jí)所取的樣品數(shù)為20×0.15＝3，E級(jí)所取的樣品數(shù)為20×0.1＝2. 將等級(jí)系數(shù)為A的2件樣品分別記為a1，a2；等級(jí)系數(shù)為D的3件樣品分別記為x1，x2，x3；等級(jí)系數(shù)為E的2件樣品分別記為y1，y2. 現(xiàn)從a1，a2，x1，x2，x3，y1，y2這7件樣品中一次性任取兩件，共有21種不同的結(jié)果，分別為 {a1，a2}，{a1，x1}，{a1，x2}，{a1，x3}，{a1，y1}，{a1，y2}，{a2，x1}，{a2，x2}，{a2，x3}，{a2，y1}，{a2，y2}，{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x

21、2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}． 記事件M為“取出的兩件樣品是等級(jí)系數(shù)為A與D”，則事件M所包含的基本事件有6種，分別為{a1，x1}，{a1，x2}，{a1，x3}，{a2，x1}，{a2，x2}，{a2，x3}． 所以事件M的概率P(M)＝＝. (2)記事件L為“取出的兩件樣品是不同等級(jí)”，則事件L為“取出的兩件樣品是同等級(jí)”，所以事件L所含的基本事件有5種，分別為{a1，a2}，{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，所以事件的概率P()＝， 所以P(L)＝1－P()＝1－＝， 即取出的兩件樣品是不同等級(jí)的概率為. 8