2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第九單元 解析幾何 第63講 橢圓練習 理（含解析）新人教A版

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1、第63講　橢　圓 1．已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1、F2，M是橢圓上的一點，N是MF1的中點，若|ON|＝1，則|MF1|的長等于(C) A．2 B．4 C．6 D．5 因為|ON|＝1，所以|MF2|＝2， 又|MF1|＋|MF2|＝8， 所以|MF1|＝6.選C. 2．(2017·江蘇五校聯(lián)考)一個橢圓中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為(A) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． 由點(2，)在橢圓上知＋＝

2、1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列， 則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|， 即2a＝2·2c，即＝， 又c2＝a2－b2，聯(lián)立解得a2＝8，b2＝6. 3．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(A) A. B. C. D. 由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， 所以圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， 所以＝， 所以e＝＝＝ ＝＝. 4．(2018·江西

3、第一次診斷)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為(B) A．20 B．15 C．10 D．5 因為P在橢圓上， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， 所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15， 當P在MF2的延長線上時取等號． 5．(2019·廣州市二模)已知中心在坐標原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，點F關于直線y＝x的對稱點在橢圓C上，則橢圓C的方程為?。?　. 設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)， 因

4、為c＝1，則a2＝b2＋c2＝b2＋1， 所以橢圓方程為＋＝1. 設F(1,0)關于直線l：y＝x的對稱點為M(x1，y1)， 則解得即M(，)． 又M在橢圓上，所以＋＝1，解得b2＝， 則a2＝，所以橢圓的方程為＋＝1. 6．(2018·株洲醴陵第三次月考)橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍為　(－，)　. 由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 設P(x0，y0)， 則1＝(－－x0，－y0)，2＝(－x0，－y0)， 所以1·2＝x－5＋y<0.① 又＋＝1，② 由①②得x<，所以－

5、. 則點P的橫坐標x0的取值范圍為(－，)． 7．已知F1、F2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限的一點，若·＝0，橢圓的離心率為，△AOF2的面積為2，求橢圓的方程． 因為·＝0，所以AF2⊥x軸． 設點A的坐標為(c，y)(y>0)， 將(c，y)代入＋＝1得y＝， 所以S△AOF2＝·c·＝2， 又e＝＝，所以b2＝2，所以b2＝8. 由＝，設c＝k，a＝2k(k>0)，則4k2＝8＋2k2， 所以k＝2，所以a＝4，b2＝8， 所以橢圓方程為＋＝1. 8．(2018·鄭州三模)已知P為橢圓＋＝1上一個動點，過點P作圓(

6、x＋1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別是A，B，則·的取值范圍為(C) A．[，＋∞) B．[，] C．[2－3，] D．[2－3，＋∞) (方法1)直接法(選擇|PF|＝t作為自變量建立函數(shù)) 設|PF|＝t，則1≤|PF|≤3. 所以|PA|＝|PB|＝＝， 設∠FPA＝α，則sin α＝＝， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－， 所以·＝(t2－1)·cos 2α＝(t2－1)·(1－) ＝t2＋－3. 令g(t)＝t2＋－3，t∈[1，3]． 所以g(t)≥2－3＝2－3. 當且僅當t2＝，即t＝∈[1，3]時取“＝”． 又當t＝1時，g(1)＝

7、0，t＝3時，g(3)＝，所以g(t)max＝. 所以g(t)的取值范圍為[2－3，]． 即·的取值范圍為[2－3，]． (方法2)直接法(選擇∠FPA作為自變量建立函數(shù)) 設∠FPA＝α，則與的夾角為2α， |PA|＝|PB|＝， 所以·＝||||cos 2α ＝·cos 2α＝·cos 2α， 設cos 2α＝t，則 g(t)＝·＝＝(1－t)＋－3≥2－3. 當P為橢圓的右頂點時，sin α＝，所以cos 2α＝， 所以·的最大值為×＝. 所以·的取值范圍為[2－3，]． (方法3)特例法(選取兩個特殊位置處理) 當P為右頂點時，|PA|＝|PB|＝，

8、設∠FPA＝α，則sin α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝， 此時·＝××＝，排除A，D. 當P為左頂點時，此時·＝0，排除B，選C. (方法4)排除法(定性排除)， 因為P在橢圓上運動，所以·有范圍，由此排除A，D， 當P在橢圓上所引兩切線的夾角為鈍角時，·為負，故排除B，選C. 9．(2018·長沙模擬)已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點A(－a，0)作直線l交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，則橢圓的離心率為____． 因為△AOP是等腰三角形，A(－a，0)，所以P(0，a)， 設Q(x0，y0)，因為＝2， 所以(x0，y0－

9、a)＝2(－a－x0，－y0)， 所以解得 代入橢圓方程化簡，得＝， 所以e＝＝. 10．已知橢圓C：＋＝1(a>)的離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)若P是橢圓C上任意一點，Q為圓E：x2＋(y－2)2＝1上任意一點，求PQ的最大值． (1)由題設知e＝， 所以e2＝＝＝＝＝，解得a2＝6. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)圓E：x2＋(y－2)2＝1的圓心為E(0,2)，點Q在圓E上， 所以PQ≤EP＋EQ＝EP＋1(當且僅當直線PQ過點E時取等號)． 設P(x0，y0)是橢圓C上的任意一點， 則＋＝1，即x＝6－3y. 所以EP2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12. 因為y0∈[－，]，所以當y0＝－1時，EP2取得最大值12，即PQ≤2＋1. 所以PQ的最大值為2＋1. 7