2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓31 數(shù)列求和 理（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(三十一)　數(shù)列求和 (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達標 一、選擇題 1．等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋…＋a99＝50，則a2＋a4＋…＋a100＝(　　) A．50　　　B．75　　　C．100　　　D．125 B　[∵{an}是等差數(shù)列，公差d＝， ∴a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×＝75.] 2．1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋的值為(　　) A．18＋ B．20＋ C．22＋ D．18＋ B　[設(shè)an＝1＋＋＋…＋＝＝2. 則原式＝a1＋a2＋…＋a11 ＝2＋2＋…＋2 ＝2

2、＝2 ＝2 ＝2＝20＋.] 3．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則數(shù)列{nan}的前n項和為(　　) A．－3＋(n＋1)×2n B．3＋(n＋1)×2n C．1＋(n＋1)×2n D．1＋(n－1)×2n D　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵S3＝7，S6＝63，∴q≠1， ∴解得∴an＝2n－1， ∴nan＝n·2n－1， 設(shè)數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，∴Tn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1， 2Tn＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 兩式相減得

3、－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Tn＝1＋(n－1)×2n，故選 D．] 4．(2019·湘潭模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，設(shè)bn＝log2an，則＋＋…＋的值是(　　) A. B． C. D． B　[由Sn＋1＝2Sn可知，數(shù)列{Sn}是首項為S1＝a1＝2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝2n.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝當n≥2時，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.故選 B．] 5．已知函數(shù)f(x)＝x

4、a的圖像過點(4,2)，令an＝，n∈N*，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 019＝(　　) A.－1 B．－1 C.－1 D．＋1 C　[由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，則f(x)＝x. ∴an＝＝＝－， S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.] 二、填空題 6．設(shè)數(shù)列{an }的前n項和為Sn，且an＝sin，n∈N*，則S2 018＝__________. 1　[an＝sin，n∈N*，顯然每連續(xù)四項的和為0. S2 018＝S4×504＋a2 017＋a2 018＝0＋1＋0＝1.] 7．已知

5、數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 018＝________. 3·21 009－3　[∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n，① ∴n＝1時，a2＝2，n≥2時，an·an－1＝2n－1，② 由①÷②得＝2， ∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等比數(shù)列， ∴S2 018＝＋＝3·21 009－3.] 8．設(shè)Sn＝1－3＋5－7＋…＋(－1)n－1(2n－1)(n∈N*)，則Sn＝________. (－1)n－1n　[當n為偶數(shù)時，Sn＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(2n－3)－(2n－1)] ＝(－2－2－2－…－2)＝－2×＝

6、－n. 當n為奇數(shù)時，Sn＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(2n－5)－(2n－3)]＋(2n－1) ＝－2×＋(2n－1)＝n. ∴Sn＝(－1)n－1n.] 三、解答題 9．(2018·開封一模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且2nan＋1－2(n＋1)an＝n(n＋1)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解]　(1)由已知可得－＝， ∴數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列， ∴＝，an＝. (2)∵bn＝，∴bn＝＝2×， ∴Sn＝2× ＝2× ＝. 10．(2018·洛陽一模)已知各項均不為零的數(shù)列{an}

7、的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，滿足Sn＝a1(an－1)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足anbn＝log2an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜. [解]　(1)當n＝1時，a1＝S1＝a1(a1－1)＝a－a1， ∵a1≠0，∴a1＝4. ∴Sn＝(an－1)，∴當n≥2時，Sn－1＝(an－1－1)， 兩式相減得an＝4an－1(n≥2)， ∴數(shù)列{an}是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，∴an＝4n. (2)證明：∵anbn＝log2an＝2n，∴bn＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋， 兩式相減得Tn＝＋＋＋

8、＋…＋－＝2－＝2×－＝－－＝－. ∴Tn＝－＜. B組　能力提升 1．(2018·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x＝－1對稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則{an}的前100項的和為(　　) A．－200　　　B．－100　　　C．0　　　D．－50 B　[因為函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x＝－1對稱，又函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100，故選B．] 2．(2019

9、·鄭州模擬)在數(shù)列{an}中，若對任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，則數(shù)列{an}的前100項的和S100＝(　　) A．132 B．299 C．68 D．99 B　[因為在數(shù)列{an}中，若對任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，所以an＋3＝an，即數(shù)列{an}中各項是以3為周期呈周期變化的．因為a7＝2，a9＝3，a98＝a3×30＋8＝a8＝4，所以a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝2＋4＋3＝9，所以S100＝33×(a1＋a2＋a3)＋a100＝33×9＋a7＝299，故選B．] 3．(2019·濟南模擬)

10、如圖，將平面直角坐標系中的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)按如下規(guī)則標上標簽：原點處標數(shù)字0，記為a0；點(1,0)處標數(shù)字1，記為a1；點(1，－1)處標數(shù)字0，記為a2；點(0，－1)處標數(shù)字－1，記為a3；點(－1，－1)處標數(shù)字－2，記為a4；點(－1,0)處標數(shù)字－1，記為a5；點(－1,1)處標數(shù)字0，記為a6；點(0,1)處標數(shù)字1，記為a7；……以此類推，格點坐標為(i，j)的點處所標的數(shù)字為i＋j(i，j均為整數(shù))，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則S2 018＝________. －249　[設(shè)an的坐標為(x，y)，則an＝x＋y.第一圈從點(1,0)到點(1,1)共8個點

11、，由對稱性可知a1＋a2＋…＋a8＝0；第二圈從點(2,1)到點(2,2)共16個點，由對稱性可知a9＋a10＋…＋a24＝0，……以此類推，可得第n圈的8n個點對應的這8n項的和也為0.設(shè)a2 018在第k圈，則8＋16＋…＋8k＝4k(k＋1)，由此可知前22圈共有2 024個數(shù)，故S2 024＝0，則S2 018＝S2 024－(a2 024＋a2 023＋…＋a2 019)，a2 024所在點的坐標為(22,22)，a2 024＝22＋22，a2 023所在點的坐標為(21,22)，a2 023＝21＋22，以此類推，可得a2 022＝20＋22，a2 021＝19＋22，a2 020

12、＝18＋22，a2 019＝17＋22，所以a2 024＋a2 023＋…＋a2 019＝249，故S2 018＝－249.] 4．各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1＝，前n項和為Sn，且Sn＋1＋Sn＝λa. (1)求{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝λnan，求{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)因為Sn＋1＋Sn＝λa，① 所以當n≥2時，Sn＋Sn－1＝λa，② ①－②得，an＋1＋an＝λa－λa，即an＋1＋an＝λ(an＋1＋an)·(an＋1－an)， 因為{an}的各項均為正數(shù)，所以an＋1＋an＞0，且λ＞0， 所以an＋1－an＝(

13、n≥2)． 由①知，S2＋S1＝λa，即2a1＋a2＝λa，又a1＝，所以a2＝. 所以a2－a1＝. 故an＋1－an＝(n∈N*)， 所以數(shù)列{an}是首項為，公差為的等差數(shù)列， 所以an＝＋(n－1)·＝. (2)由(1)得an＝，所以bn＝n·λn－1， 所以Tn＝1＋2λ＋3λ2＋…＋(n－1)λn－2＋nλn－1，③ λTn＝λ＋2λ2＋3λ3＋…＋(n－1)λn－1＋nλn，④ ③－④得(1－λ)Tn＝1＋λ＋λ2＋…＋λn－1－nλn， 當λ＞0且λ≠1時，(1－λ)Tn＝－nλn， 得Tn＝－， 當λ＝1時，由③得Tn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝＝. 綜上，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝ - 6 -