2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)43 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 理(含解析)新人教版

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1、課時(shí)作業(yè)43空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1在下列命題中,不是公理的是(A)A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線解析:選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理,是由公理推證出來(lái)的,而公理是不需要證明的2若空間三條直線a,b,c滿足ab,bc,則直線a與c(D)A一定平行 B一定相交C一定是異面直線 D一定垂直解析:兩條平行線中一條與第三條直線垂直,另一條直線也與第三條直線垂直故選D.3空間四邊形兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別為

2、6和8,所成的角為45,連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是(A)A6 B12C12 D24解析:如圖,已知空間四邊形ABCD,對(duì)角線AC6,BD8,易證四邊形EFGH為平行四邊形,EFG或FGH為AC與BD所成的角,大小為45,故S四邊形EFGH34sin456.故選A.4(2019南寧市摸底聯(lián)考)在如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱B1B,AD的中點(diǎn),異面直線BF與D1E所成角的余弦值為(D)A. B.C. D.解析:如圖,過(guò)點(diǎn)E作EMAB,過(guò)M點(diǎn)作MNAD,取MN的中點(diǎn)G,連接NE,D1G,所以平面EMN平面ABCD,易知EGBF,所以異面直線BF與D1E的夾角為D1E

3、G,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則GE,D1G,D1E3,在D1EG中,cosD1EG,故選D.5已知異面直線a,b分別在平面,內(nèi),且c,那么直線c一定(C)A與a,b都相交 B只能與a,b中的一條相交C至少與a,b中的一條相交 D與a,b都平行解析:如果c與a、b都平行,那么由平行線的傳遞性知a、b平行,與異面矛盾故選C.6到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為(C)A1 B4C7 D8解析:當(dāng)空間四點(diǎn)不共面時(shí),則四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐當(dāng)平面一側(cè)有一點(diǎn),另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí),如圖1.令截面與四棱錐的四個(gè)面之一平行,第四個(gè)頂點(diǎn)到這個(gè)截面的距離與其相對(duì)的面到此截面的距離相等,這樣的平面有4個(gè);當(dāng)平面一側(cè)有兩

4、點(diǎn),另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí),如圖2,當(dāng)平面過(guò)AB,BD,CD,AC的中點(diǎn)時(shí),滿足條件因?yàn)槿忮F的相對(duì)棱有三對(duì),則此時(shí)滿足條件的平面有3個(gè)所以滿足條件的平面共有7個(gè),故選C.二、填空題7三條直線可以確定三個(gè)平面,這三條直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是0或1.解析:因三條直線可以確定三個(gè)平面,所以這三條直線有兩種情況:一是兩兩相交,有1個(gè)交點(diǎn);二是互相平行,沒(méi)有交點(diǎn)8(2019武漢調(diào)研)在正四面體ABCD中,M,N分別是BC和DA的中點(diǎn),則異面直線MN和CD所成角的余弦值為.解析:取AC的中點(diǎn)E,連接NE,ME,由E,N分別為AC,AD的中點(diǎn),知NECD,故MN與CD所成的角即MN與NE的夾角,即MNE.設(shè)正四面體的棱

5、長(zhǎng)為2,可得NE1,ME1,MN,故cosMNE.9.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別是邊BC,CD上的點(diǎn),且,則下列說(shuō)法正確的是.(填寫(xiě)所有正確說(shuō)法的序號(hào))EF與GH平行;EF與GH異面;EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上,也可能不在直線AC上;EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上解析:連接EH,F(xiàn)G(圖略),依題意,可得EHBD,F(xiàn)GBD,故EHFG,所以E,F(xiàn),G,H共面因?yàn)镋HBD,F(xiàn)GBD,故EHFG,所以EFGH是梯形,EF與GH必相交,設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上,故點(diǎn)M在平面ACB上同理,點(diǎn)M在平面ACD上,點(diǎn)M是平面ACB與平面A

6、CD的交點(diǎn),又AC是這兩個(gè)平面的交線,所以點(diǎn)M一定在直線AC上三、解答題10.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn)問(wèn):(1)AM與CN是否是異面直線?說(shuō)明理由;(2)D1B與CC1是否是異面直線?說(shuō)明理由解:(1)AM與CN不是異面直線理由如下:如圖,連接MN,A1C1,AC.因?yàn)镸,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),所以MNA1C1.又因?yàn)锳1A綊C1C,所以四邊形A1ACC1為平行四邊形,所以A1C1AC,所以MNAC,所以A,M,N,C在同一平面內(nèi),故AM和CN不是異面直線(2)D1B與CC1是異面直線理由如下:因?yàn)锳BCDA1B1C1D1是

7、正方體,所以B,C,C1,D1不共面假設(shè)D1B與CC1不是異面直線,則存在平面,使D1B平面,CC1平面,所以D1,B,C,C1,這與B,C,C1,D1不共面矛盾所以假設(shè)不成立,即D1B與CC1是異面直線11如圖,在三棱錐PABC中,PA底面ABC,D是PC的中點(diǎn)已知BAC,AB2,AC2,PA2.求:(1)三棱錐PABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解:(1)SABC222,三棱錐PABC的體積為VSABCPA22.(2)如圖,取PB的中點(diǎn)E,連接DE,AE,則EDBC,所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中,DE2,AE,AD2,cosADE.故異面直

8、線BC與AD所成角的余弦值為.12如圖是三棱錐DABC的三視圖,點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn),則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于(A)A. B.C. D.解析:由三視圖及題意得如圖所示的直觀圖,從A出發(fā)的三條線段AB,AC,AD兩兩垂直且ABAC2,AD1,O是BC中點(diǎn),取AC中點(diǎn)E,連接DE,DO,OE,則OE1,又可知AE1,由于OEAB,故DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補(bǔ)角在直角三角形DAE中,DE,由于O是BC的中點(diǎn),在直角三角形ABC中可以求得AO,在直角三角形DAO中可以求得DO.在三角形DOE中,由余弦定理得cosDOE,故所求異面直線DO與AB所成角的余弦值為.1

9、3正方體ABCDA1B1C1D1中,E為線段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是(填序號(hào))ACBE;B1E平面ABCD;三棱錐EABC的體積為定值;直線B1E直線BC1.解析:因AC平面BDD1B1,故正確;因B1D1平面ABCD,故正確;記正方體的體積為V,則VEABCV,為定值,故正確;B1E與BC1不垂直,故錯(cuò)誤14.如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)棱A1A底面ABC,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱CC1,BB1上的點(diǎn),點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),EC2FB2.(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí),BM平面AEF?(2)若BM平面AEF,判斷BM與EF的位置關(guān)系,說(shuō)明理由;并求

10、BM與EF所成的角的余弦值解:(1)解法1:如圖所示,取AE的中點(diǎn)O,連接OF,過(guò)點(diǎn)O作OMAC于點(diǎn)M.因?yàn)閭?cè)棱A1A底面ABC,所以側(cè)面A1ACC1底面ABC.又因?yàn)镋C2FB2,所以O(shè)MECFB且OMECFB,所以四邊形OMBF為矩形,BMOF.因?yàn)镺F平面AEF,BM平面AEF,故BM平面AEF,此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)解法2:如圖所示,取EC的中點(diǎn)P,AC的中點(diǎn)Q,連接PQ,PB,BQ.因?yàn)镋C2FB2,所以PE綊BF,所以PQAE,PBEF,所以PQ平面AFE,PB平面AEF,因?yàn)镻BPQP,PB平面PBQ,PQ平面PBQ,所以平面PBQ平面AEF.又因?yàn)锽Q平面PBQ,所以BQ平面AE

11、F.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M,此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)(2)由(1)知,BM與EF異面,OFE(或MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角易求AFEF,MBOF,OFAE,所以cosOFE,所以BM與EF所成的角的余弦值為.15平面過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面ABB1A1n,則m,n所成角的正弦值為(A)A. B.C. D.解析:如圖所示,設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1,因?yàn)槠矫鍯B1D1,所以m1m,又平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1,所以B1D1m1,故B1D1m.因?yàn)槠矫鍭BB1A1平面DCC

12、1D1,且平面CB1D1平面DCC1D1CD1,同理可證CD1n.故m,n所成角即直線B1D1與CD1所成角,在正方體ABCDA1B1C1D1中,CB1D1是正三角形,故直線B1D1與CD1所成角為60,其正弦值為.16(2019成都診斷性檢測(cè))在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,已知底面ABCD為正方形,P為A1D1的中點(diǎn),AD2,AA1,點(diǎn)Q是正方形ABCD所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且QCQP,則線段BQ的長(zhǎng)度的最大值為6.解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則P(1,0,),C(0,2,0),B(2,2,0),Q(x,y,0),因?yàn)镼CQP,所以(x2)2(y2)24,所以(y2)24(x2)24|y2|24y0,BQ,根據(jù)4y0可得448y36,所以2BQ6,故線段BQ的長(zhǎng)度的最大值為6.8

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