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1、專題33 拋物線及其性質
一、考綱要求：
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).
2.理解數(shù)形結合思想.
3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用．
二、概念掌握和解題上注意點：
1.應用拋物線定義的兩個關鍵點
(1）)由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉化.
(2）)注意靈活運用拋物線上一點P(x，y)到焦點F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
2.求拋物線的標準方程的方法
(1）)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可.
(2）)拋物線方程有四種標
2、準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量.
3.研究拋物線的焦點坐標或準線方程，必須把拋物線化成標準方程，正確的求出p.
4.解決直線與拋物線位置關系問題的三種常用方法
(1）)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系.
(2）)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用弦長公式.
(3）)涉及拋物線的弦長、弦中點等相關問題時，一般采用“設而不求，整體代入”的解法.
提醒：涉及弦的中點、弦所在直線的斜率時一般用“點差法”求解.
三、高考考題題例分析
3、
例1.（2018課標卷I）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（﹣2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則?=（ ?。?
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
例2.（2018課標卷II）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．
【答案】（1）y=x﹣1；（2）（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．
【解析】：（1）方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），當直線的斜率不存在時，|AB|=4，不滿足；
設直線AB的方程為：y=k（x
4、﹣1），設A（x1，y1），B（x2，y2），
則，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，則k=1，
∴直線l的方程y=x﹣1；
方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），設直線AB的傾斜角為θ，由拋物線的弦長公式|AB|===8，解得：sin2θ=，
∴θ=，則直線的斜率k=1，
∴直線l的方程y=x﹣1；
（2）過A，B分別向準線x=﹣1作垂線，垂足分別為A1，B1，設AB的中點為D，過D作DD1⊥準線l，垂足為D，則|DD1|=（|AA1|+|BB1|）
由拋物線的定義可
5、知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4，
以AB為直徑的圓與x=﹣1相切，且該圓的圓心為AB的中點D，
由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，
則D（3，2），
過點A，B且與C的準線相切的圓的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．
例7.(2017課標卷II)已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點。若為的中點，則。
【答案】6
【解析】試題分析：
點A，
例8.(2017北京卷)已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）.過點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直
6、線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點.
【答案】（Ⅰ）方程為，拋物線C的焦點坐標為（，0），準線方程為.（Ⅱ）詳見解析.
，
所以.
故A為線段BM的中點.
例9.(2017浙江卷)如圖，已知拋物線，點A，，拋物線上的點．過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．
（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
試題解析：
（Ⅰ）設直線AP的斜率為k，則，∵，∴直線AP斜率的取值范圍是．
（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程
解得點
7、Q的橫坐標是，因為|PA|==
|PQ|=，所以|PA||PQ|=
令，因為，所以f(k)在區(qū)間上單調遞增，上單調遞減，因此當k=時，取得最大值．
15．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線y2－x2＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝__________.
【答案】2
16．已知直線l：y＝kx＋t與圓：x2＋(y＋1)2＝1相切，且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是________________．
【答案】t>0或t<－3
【解析】因為直線l與圓相切，所以＝1?k2＝t2＋2t.再把直線l的方程代入拋
8、物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0，
于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，
解得t>0或t<－3.
三、解答題
17.如圖所示，已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點．
(1)若線段AB的中點在直線y＝2上，求直線l的方程；
(2)若線段|AB|＝20，求直線l的方程．
【答案】(1) y＝x－1；(2) x±2y－1＝0.
【解析】 (1)由已知得拋物線的焦點為F(1,0)．因為線段AB的中點在直線y＝2上，所以直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y
9、0)，
則由得
(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直線l的方程是y＝x－1.
18．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點C(－2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，·＝12.
(1)求拋物線的方程；
(2)當以|AB|為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程.
【答案】(1) y2＝4x；(2) x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【解析】 (1)設l：x＝my－2，代入y2＝2px中，
得y2－2pmy＋4p＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，
10、則x1x2＝＝4，
因為·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，
則拋物線的方程為y2＝4x.
(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
設AB的中點為M，
則|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①
又|AB|＝|y1－y2|＝.②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±，
所以直線l的方程為
x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
19.在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連
11、接ON并延長交C于點H.
(1)求；
(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由．
【答案】(1)2；(2)見解析
【解析】(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.
20.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積.
【答案】(1) y2＝8x；(2) 24.
【解析】 (1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，
12、
∴2p＝8，
∴拋物線方程為y2＝8x.
21．如圖所示，已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點．
(1)若線段AB的中點在直線y＝2上，求直線l的方程；
(2)若線段|AB|＝20，求直線l的方程．
【答案】(1) y＝x－1；(2) x±2y－1＝0.
【解析】(1)由已知得拋物線的焦點為F(1，0)．因為線段AB的中點在直線y＝2上，所以直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，
則由得
(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.
又y0＝
13、2，所以k＝1，故直線l的方程是y＝x－1.
即x±2y－1＝0.
22．拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．
(1)若＝2 ，求直線AB的斜率；
(2)設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值.
【答案】(1) ±2；(2)4
【解析】 (1)依題意知F(1,0)，設直線AB的方程為x＝my＋1.
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得
y2－4my－4＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因為＝2 ，
所以y1＝－2y2.
聯(lián)立上述三式，消去y1，y2得m＝±.
所以直線AB的斜率是±2.
(2)由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點，
所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4.
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2019年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題33 拋物線及其性質 理
