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1、 數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典習(xí)題 出題人：李老師A、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題一、數(shù)列由與的關(guān)系求由求時(shí)，要分n=1和n2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為。例根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：（1）可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解；（2）可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解；（3）將無(wú)理問(wèn)題有理化，而后利用與的關(guān)系求解。解答：（1）（2）累乘可得，故（3）二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（一）等差數(shù)列的判定1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，第二種是利用等差中項(xiàng)，即。2、解選擇題、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷。（1）通項(xiàng)法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為n的一
2、次函數(shù)，即=An+B,則是等差數(shù)列；（2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和是的形式（A，B是常數(shù)），則是等差數(shù)列。注：若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說(shuō)明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可。例已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達(dá)式。分析：（1）與的關(guān)系結(jié)論；（2）由的關(guān)系式的關(guān)系式解答：（1）等式兩邊同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以=2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,=,當(dāng)n2時(shí)，=2=。又，不適合上式，故?！纠恳阎獢?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11.其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn2paanp(pR)，則an的通項(xiàng)
3、公式為_(kāi)a11，2a12paa1p，即22p1p，得p1.于是2Sn2aan1.當(dāng)n2時(shí)，有2Sn12aan11，兩式相減，得2an2a2aanan1，整理，得2(anan1)(anan1)0.又an0，anan1，于是an是等差數(shù)列，故an1(n1).（二）等差數(shù)列的基本運(yùn)算1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+（n-1）d及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，d,n, ,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題；2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。注：因?yàn)?，故?shù)列是等差數(shù)列。例已知數(shù)列的首項(xiàng)=3，通項(xiàng)，且，成等差數(shù)列。求：（1
4、）的值；（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式。分析：（1）由=3與，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；（2）通過(guò)利用條件分成兩個(gè)可求和的數(shù)列分別求和。解答：（1）由=3得又，得由聯(lián)立得。（2）由（1）得，（三）等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列公差為d，若d0,則數(shù)列遞增；若d0,d0,且滿足，前n項(xiàng)和最大；（2）若a10，且滿足，前n項(xiàng)和最??；（3）除上面方法外，還可將的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問(wèn)題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意。例已知數(shù)列是等差數(shù)列。（1）若（2）若解答：設(shè)首項(xiàng)為，公差為，（1）由，（2）由已知可得解得【例】已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和
5、，對(duì)于任意的nN*，滿足關(guān)系式2Sn3an3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn，前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有Tn1.(1)解當(dāng)n1時(shí)，由2Sn3an3得，2a13a13，a13.當(dāng)n2時(shí)，由2Sn3an3得，2Sn13an13.兩式相減得：2(SnSn1)3an3an1，即2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比數(shù)列，an3n.驗(yàn)證：當(dāng)n1時(shí)，a13也適合an3n.an的通項(xiàng)公式為an3n.(2)證明bn，Tnb1b2bn(1)()()1Sn，得，最小正整數(shù)n=15【其他考點(diǎn)題】1、設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，
6、且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（C）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值解析：由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由題設(shè)a7=0，a80，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。2、（C）(A) 2 (B) 4 (C) (D)03、已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b和b、y、c都成等差數(shù)列，且xy0，那么的值為（B ）。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）44、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求q的值；（）若a1與a5的等差中項(xiàng)為18，bn滿足，求數(shù)列的bn前n項(xiàng)和。()解法一：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),.是等差數(shù)列, , 4分解法二：當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.又,所以,得.4分()解：,.又, , 8分又得.,即是等比數(shù)列。所以數(shù)列的前項(xiàng)和.13
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