2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)7 二次函數(shù)與冪函數(shù) 理（含解析）北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(七)　二次函數(shù)與冪函數(shù) (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．(2019·西安質(zhì)檢)函數(shù)y＝的圖像大致是(　　) 　　 　　　 A　　　　　　　 B 　　 　　　 C　　　　　　　 D C　[∵y＝x，∴該函數(shù)是偶函數(shù)，且在第一象限內(nèi)是上凸的，故選C.] 2．設(shè)α∈，則使冪函數(shù)y＝xα為奇函數(shù)且在(0，＋∞)上遞增的α值的個(gè)數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 A　[因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝xα在(0，＋∞)上遞增，所以α＞0.又冪函數(shù)y＝xα為奇函數(shù)，可知α≠2

2、.當(dāng)α＝時(shí)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，應(yīng)排除．當(dāng)α＝，1,3時(shí)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f(－x)＝－f(x)．故α＝，1,3時(shí)，滿足條件．故滿足條件的α的值的個(gè)數(shù)為3.故選A.] 3．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)g(x)＝(2x－1)f(x)在區(qū)間上的最小值是(　　) A．－1 B．0 C．－2 D. B　[由已知得3α＝，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1， ∴g(x)＝＝2－在區(qū)間上遞增，則g(x)min＝g＝0.] 4．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　

3、) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) C　[由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸為x＝＝2，又函數(shù)f(x)在[0,2]上遞增，則拋物線開(kāi)口向下，且f(x)在[2,4]上是減函數(shù)， 所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.] 5．若f(x)＝ax2＋ax－1在R上滿足f(x)＜0恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)＜－4 C．－4＜a＜0 D．－4＜a≤0 D　[①當(dāng)a＝0時(shí)，得到－1＜0，顯然不等式的解集為R； ②當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋ax－1開(kāi)口向下，由不等式的

4、解集為R，得二次函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，即Δ＝a2＋4a＜0，即a(a＋4)＜0，解得－4＜a＜0； ③當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋ax－1開(kāi)口向上，函數(shù)值y不恒小于0，故解集為R不可能．] 二、填空題 6．已知點(diǎn)在冪函數(shù)y＝f(x)的圖像上，點(diǎn)在冪函數(shù)y＝g(x)的圖像上，則f(2)＋g(－1)＝________. 　[設(shè)f(x)＝xm，g(x)＝xn，則由2＝m得m＝－1，由＝(－2)n，得n＝－2， 所以f(2)＋g(－1)＝2－1＋(－1)－2＝.] 7．已知二次函數(shù)y＝x2＋2kx＋3－2k，則其圖像的頂點(diǎn)位置最高時(shí)對(duì)應(yīng)的解析式為_(kāi)_______． y＝x2－2x

5、＋5　[y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－k，－k2－2k＋3)． 因?yàn)椋璳2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以當(dāng)k＝－1時(shí)，頂點(diǎn)位置最高．此時(shí)拋物線的解析式為y＝x2－2x＋5.] 8．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為_(kāi)_______． 1　[當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2. ∵x∈， ∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m－n≥1，∴m－n的最小值是1.] 三、解答

6、題 9．若函數(shù)y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　 作出函數(shù)y＝x2－2x＋3的圖像如圖． 由圖像可知，要使函數(shù)在[0，m]上取得最小值2，則1∈[0，m]，從而m≥1， 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3， 所以要使函數(shù)取得最大值3，則m≤2， 故所求m的取值范圍為[1,2]． 10．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖像恒在函數(shù)y＝2x＋m的圖像的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　(1)設(shè)f(x)

7、＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 因此f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1. (2)因?yàn)楫?dāng)x∈[－1,1]時(shí)，y＝f(x)的圖像恒在y＝2x＋m的圖像上方， 所以在[－1,1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立， 即x2－3x＋1＞m在區(qū)間[－1,1]上恒成立． 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝2－， 因?yàn)間(x)在[－1,1]上的最小值為g(1)＝－1， 所以m＜－1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)． B組　能力提升 1．設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax

8、2＋bx＋c的圖像可能是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　　B 　　　　　　 C　　　　　　　　D D　[由A，C，D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴對(duì)稱軸x＝－＞0，知A，C錯(cuò)誤，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B錯(cuò)誤．故選D.] 2．(2017·浙江高考)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān) C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān) D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān) B　[法一：設(shè)x1，

9、x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b. ∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無(wú)關(guān)． 故選B. 法二：由題意可知，函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為固定值，則二次函數(shù)圖像的形狀一定．隨著b的變動(dòng)，相當(dāng)于圖像上下移動(dòng)，若b增大k個(gè)單位，則最大值與最小值分別變?yōu)镸＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故與b無(wú)關(guān)．隨著a的變動(dòng)，相當(dāng)于圖像左右移動(dòng)，則M－m的值在變化，故與a有關(guān)． 故選B.] 3．已知對(duì)于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______

10、__． (1,5]　[Δ＝4(a－2)2－4a＝4a2－20a＋16＝4(a－1)(a－4)． (1)若Δ＜0，即1＜a＜4時(shí)，x2－2(a－2)x＋a＞0在R上恒成立，符合題意； (2)若Δ＝0，即a＝1或a＝4時(shí)，方程x2－2(a－2)x＋a＞0的解為x≠a－2， 顯然當(dāng)a＝1時(shí)，不符合題意，當(dāng)a＝4時(shí)，符合題意； (3)當(dāng)Δ＞0，即a＜1或a＞4時(shí)，因?yàn)閤2－2(a－2)x＋a＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立， 所以解得3＜a≤5， 又a＜1或a＞4，所以4＜a≤5. 綜上，a的取值范圍是(1,5]．] 4．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f

11、(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖像，如圖所示． (1)請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖像并根據(jù)圖像寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間； (2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式； (3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函數(shù)g(x)的最小值． [解]　(1)f(x)在區(qū)間(－1,0)，(1，＋∞)上遞增． (2)設(shè)x＞0，則－x＜0，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)， 所以f(x)＝ (3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，對(duì)稱軸方程為x＝a＋1， 當(dāng)a＋1≤1，即a≤0時(shí)，g(1)＝1－2a為最小值； 當(dāng)1＜a＋1≤2，即0＜a≤1時(shí)，g(a＋1)＝－a2－2a＋1為最小值； 當(dāng)a＋1＞2，即a＞1時(shí)，g(2)＝2－4a為最小值． 綜上，g(x)min＝ - 6 -