2020屆高考數學總復習 課時跟蹤練（六十五）坐標系 文（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(六十五) A組　基礎鞏固 1．在極坐標系中，已知曲線C1：ρ＝2與C2：ρcos＝交于兩點A，B. (1)求兩交點的極坐標； (2)求線段AB的垂直平分線l的極坐標方程． 解：(1)C1：ρ＝2的直角坐標方程為x2＋y2＝4， C2：ρcos＝的方程即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 化為直角坐標方程得x＋y－2＝0. 由解得或 所以兩交點為(0，2)，(2，0)，化為極坐標為，(2，0)． (2)易知直線l經過點(0，0)及線段AB的中點(1，1)，所以其方程為y＝x，化為極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． 2．(2018·江蘇卷)在極坐標系中，直線l的方程為ρs

2、in(－θ)＝2，曲線C的方程為ρ＝4cos θ，求直線l被曲線C截得的弦長． 解：因為曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ，所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓． 因為直線l的極坐標方程為ρsin(－θ)＝2， 則直線l過A(4，0)，傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個交點． 設另一個交點為B，則∠OAB＝. 如圖，連接OB. 因為OA為直徑，從而∠OBA＝， 所以AB＝4cos ＝2. 因此，直線l被曲線C截得的弦長為2. 3．以直角坐標系中的原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線的極坐標方程為ρ＝. (1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方

3、程； (2)過極點O作直線l交曲線于點P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直線l的極坐標方程． 解：(1)因為ρ＝，ρsin θ＝y(tǒng)， 所以ρ＝化為ρ－ρsin θ＝2， 所以曲線的直角坐標方程為x2＝4y＋4. (2)設直線l的極坐標方程為θ＝θ0(ρ∈R)， 根據題意＝3·， 解得θ0＝或θ0＝， 所以直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)． 4．(2019·安徽聯(lián)合質檢)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin－2＝0，曲線C2的極坐標方程為θ＝，C1與C2相交于A，B兩點． (1)

4、把C1和C2的極坐標方程化為直角坐標方程，并求點A，B的直角坐標； (2)若P為C1上的動點，求|PA|2＋|PB|2的取值范圍． 解：(1)由題意知，曲線C1與曲線C2的直角坐標方程分別為C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0. 聯(lián)立得或 即A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1)． (2)設P(－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨設A(－1，－1)，B(1，1)， 則|PA|2＋|PB|2 ＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2 ＝16＋8sin α－8cos α＝16＋8sin

5、， 所以|PA|2＋|PB|2的取值范圍為[16－8，16＋8 ]． 5．(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解：(1)消去參數t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1

6、的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上． 所以a＝1. B組　素養(yǎng)提升 6．(2018·衡水中學檢測)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標方程； (2)已知圓C與x軸相

7、交于A，B兩點，直線l：y＝2x關于點M(0，m)(m≠0)對稱的直線為l′.若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數m的最大值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0， 即圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)直線l：y＝2x關于點M(0，m)的對稱直線l′的方程為y＝2x＋2m， 而AB為圓C的直徑， 故直線l′上存在點P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點， 故≤2，解得－2－≤m≤－2， 所以實數m的最大值為－2. 7．(2019·長郡中學調研)已知極坐標系的極點為平面直角坐標系xOy的原點，極軸

8、為x軸正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，曲線C的參數方程為(α為參數)，直線l過點(－1，0)，且斜率為，射線OM的極坐標方程為θ＝. (1)求曲線C和直線l的極坐標方程； (2)已知射線OM與曲線C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長． 解：(1)因為曲線C的參數方程為(α為參數)， 所以曲線C的普通方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0， 即曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin. 因為直線l過點(－1，0)，且斜率為， 所以直線l的方程為y＝(x＋1)， 所以直線l的極坐標方程為

9、ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. (2)當θ＝時，|OP|＝2sin＝2， |OQ|＝＝， 故線段PQ的長為2－＝. 8．(2019·華南師大附中月考)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程是(α為參數)，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系． (1)求曲線C的極坐標方程； (2)設l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2與曲線C分別交于異于原點的A，B兩點，求△AOB的面積． 解：(1)因為曲線C的參數方程是(α為參數)， 所以曲線C的普通方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25， 即x2＋y2－6x－8y＝0. 所以曲線C的極坐標方程為ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3， 所以A. 把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4， 所以B. 所以S△AOB＝ρ1ρ2sin ∠AOB ＝×(4＋3)×(3＋4)sin＝12＋. 5