2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練（六十六）參數(shù)方程 文（含解析）新人教A版

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1、課時(shí)跟蹤練(六十六) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．(2019·新鄉(xiāng)模擬)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，曲線M的直角坐標(biāo)方程為x－2y＋2＝0(x>0)． (1)以曲線M上的點(diǎn)與點(diǎn)O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程； (2)設(shè)曲線C與曲線M的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和． 解：(1)由得 故曲線M的參數(shù)方程為(k為參數(shù)，且k>)． (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x. 將代入x2＋y2＝4x，整理得k2－4k＋3＝0， 所以k1＋k2＝4. 故直線OA與直線

2、OB的斜率之和為4. 2．(2019·廣州調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝6sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)若點(diǎn)P(1，2)，設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，求證：|PA|·|PB|為定值． (1)解：由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－6y＝0. (2)證明：把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2＋y2－6y＝0中， 整理得t2＋2t(cos α－sin α)－7＝0， 設(shè)A，B對應(yīng)的

3、參數(shù)分別為t1，t2， 則t1·t2＝－7， 所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝|－7|＝7，為定值． 3．(2018·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率． 解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1. 當(dāng)cos α≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tan α·x＋2－tan α， 當(dāng)cos α＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2 α)t2＋

4、4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. 4．(2019·荊州調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)求曲線C的普通方程； (2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin＋＝0，已知直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|. 解：(1)由(α為參數(shù))得sin α＝，cos α＝， 將兩式平方相加得1＝＋， 化簡得x2＋y2＝

5、2. 故曲線C的普通方程為x2＋y2＝2. (2)由ρsin＋＝0，知ρ(cos θ－sin θ)＋＝0， 化為直角坐標(biāo)方程為x－y＋＝0， 圓心到直線l的距離d＝，由垂徑定理得|AB|＝. 5．(2019·長沙質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：x2＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2sin θ. (1)求出曲線C2，C3的參數(shù)方程； (2)若P，Q分別是曲線C2，C3上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值． 解：(1)曲線C1：x2＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C2， 所以曲線C2的方程為＋y2

6、＝1， 所以曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． 因?yàn)榍€C3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2sin θ， 即ρ2＝－2ρsin θ， 所以曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y， 即x2＋(y＋1)2＝1， 所以曲線C3的參數(shù)方程為(β為參數(shù))． (2)設(shè)P(2cos α，sin α)，則P到曲線C3的圓心(0，－1)的距離d＝＝ . 因?yàn)閟in α∈[－1，1]， 所以當(dāng)sin α＝時(shí)，dmax＝. 所以|PQ|max＝dmax＋r＝＋1＝. B組　素養(yǎng)提升 6．(2019·濰坊一中檢測)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2cos θ，若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的

7、正半軸，且取相同的單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，則直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程； (2)設(shè)點(diǎn)P(m，0)，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|·|PB|＝1，求非負(fù)實(shí)數(shù)m的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1， 由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))， 可得其普通方程為x－y－m＝0. (2)將(t為參數(shù))代入圓(x－1)2＋y2＝1， 可得t2＋(m－1)t＋m2－2m＝0， 由Δ＝3(m－1)2－4(m2－2m)>0，可得－1

8、， 由m為非負(fù)數(shù)，可得0≤m<3. 設(shè)t1，t2是方程的兩根，則t1t2＝m2－2m， 由|PA|·|PB|＝1，可得|m2－2m|＝1， 解得m＝1或1±， 因?yàn)?≤m<3，所以m＝1或m＝1＋. 7．(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． 解：(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時(shí)，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<－1或k

9、>1，即α∈(，)或a∈(，)． 綜上，α的取值范圍是(，)． (2)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，<α<)． 設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)，<α<)． 8．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)已知直線l上一點(diǎn)M(3，2)，若直線l與圓C交

10、于不同兩點(diǎn)A，B，求＋的取值范圍． 解：(1)直線l的參數(shù)方程為 得普通方程為xsin α－ycos α＋2cos α－3sin α＝0， 將ρ＝，cos θ＝代入圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝2cos θ中，得圓C的普通方程為x2＋y2－2x＝0. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2－2x＝0， 得t2＋(4cos α＋4sin α)t＋7＝0，(*) 設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)值分別為t1，t2， 由題意t1＋t2＝－4(cos α＋sin α)，t1·t2＝7. ＋＝＝ ＝|sin α＋cos α|. 因?yàn)榉匠?*)有兩個(gè)不同的實(shí)根， 所以Δ＝16(cos α＋sin α)2－28>0， 則|sin α＋cos α|>. 又sin α＋cos α＝sin∈[－， ]， 所以|sin α＋cos α|∈. 所以|sin α＋cos α|∈. 所以<＋≤. 6