2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練（六十三）幾何概型 文（含解析）新人教A版

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1、課時(shí)跟蹤練(六十三) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．(2019·銀川質(zhì)檢)在區(qū)間[－1，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則實(shí)數(shù)m為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因?yàn)閨x|≤m，所以－m≤x≤m，由題意得＝，解得m＝1，故選B. 答案：B 2.(2019·三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考)已知以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓以及函數(shù)y＝x3的圖象如圖所示，則向圓內(nèi)任意投擲一粒小米(視為質(zhì)點(diǎn))，該小米落入陰影部分的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：由圖形的對稱性知，所求概率為＝.故選B. 答案：B 3．(2019·深圳二調(diào))設(shè)實(shí)

2、數(shù)a∈(0，1)，則函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：由函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點(diǎn)，可得Δ＝[－(2a＋1)]2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥，即有≤a＜1，結(jié)合幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求的概率為P＝＝，故選D. 答案：D 4.(2019·安慶模擬)中國人民銀行發(fā)行了2018中國戊戌(狗)年金銀紀(jì)念幣一套，如圖所示是一枚3克圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑為18 mm，小米同學(xué)為了測算圖中裝飾狗的面積，他用1枚針向紀(jì)念幣上投擲500次，其中針尖恰有150次落在裝飾狗的身體上，據(jù)此可估計(jì)

3、裝飾狗的面積大約是 (　　) A. mm2 B. mm2 C. mm2 D. mm2 解析：設(shè)裝飾狗的面積為S mm2. 由題意得＝，所以S＝ mm2，故選B. 答案：B 5．(2019·湖北調(diào)研)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝x，則圓C上任取一點(diǎn)A到直線l的距離小于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，設(shè)與y＝x平行的兩直線AD，BF交圓C于點(diǎn)A，D，B，F(xiàn)，且它們到直線y＝x的距離相等，過點(diǎn)A作AE垂直于直線y＝x，垂足為E，當(dāng)點(diǎn)A到直線y＝x的距離為1時(shí)，AE＝1，又CA＝2，則∠ACE＝，所以∠ACB＝∠FCD＝

4、，所以所求概率P＝＝，故選D. 答案：D 6．(2019·安陽模擬)在邊長為a的正三角形內(nèi)任取一點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q到三個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于的概率是(　　) A.－π B．1－π C. D. 解析：設(shè)邊長為a的正三角形為三角形ABC，如圖所示： 因?yàn)锳B＝a，所以S△ABC＝·a2·sin ＝a2，滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離至少有一個(gè)小于或等于的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，各部分組合起來構(gòu)成一個(gè)半徑為的半圓， 所以S陰影＝·π·＝， 所以使點(diǎn)Q到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于的概率為P＝1－＝1－π.故選B. 答案：B 7．(2019·惠州

5、模擬)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：40－8：00之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)小張和小王到校的時(shí)間分別為7時(shí)x分和7時(shí)y分，則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示． 故所求概率P＝＝. 答案：A 8．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋π B.＋ C.－ D.－ 解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1， 即

6、點(diǎn)(x，y)在以(1，0)為圓心、1為半徑的圓上及其內(nèi)部，而y≥x表示直線y＝x左上方的部分(圖中陰影弓形)，所以所求概率為弓形的面積與圓的面積之比， 即P＝＝－. 答案：D 9.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________． 解析：如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為＝. 答案： 10．一只蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________． 解析：由已

7、知條件，可知蜜蜂只能在一個(gè)棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P＝＝. 答案： 11.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自寶馬汽車標(biāo)的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點(diǎn)連線成軸對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是________． 解析：設(shè)正方形邊長為2，則正方形面積為4，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分的面積S＝×π×12＝.所以在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率P＝＝. 答案： 12.如圖，正四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)取自正四棱錐內(nèi)的概率為

8、________． 解析：設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝＝＝. 答案： B組　素養(yǎng)提升 13.(2019·煙臺(tái)模擬) 七巧板是我國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析：不妨設(shè)小正方形的邊長為1，則兩個(gè)小等腰直角三角形的邊長分別為1，1，，兩個(gè)大等腰直角三角形的邊長為2，2，2，即最大正方形的邊長為2，則較大等腰直角三角形的邊長分別為，，2，故所求概率P＝1－＝，故選B. 答案：B

9、 14．[一題多解](2019·太原模擬)如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(陰影部分)圍成一個(gè)大正方形，中間空出一個(gè)小正方形組成的圖形，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形的概率為，則圖中直角三角形中較大銳角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：法一　設(shè)大正方形邊長為a，直角三角形中較大銳角為θ，θ∈，則小正方形的面積為a2－4××acos θ×asin θ＝a2－a2sin 2θ，則由題意，得＝，解得sin 2θ＝.因?yàn)棣取?，所以sin θ＋cos θ＝＝，① sin θ－cos θ＝＝ .② 由①＋②解得sin θ＝，故選B. 法二　

10、設(shè)大正方形面積為5，則小正方形面積為1，則大正方形邊長為，小正方形邊長為1，設(shè)四個(gè)全等的直角三角形較短的直角邊長為x，則有x2＋(x＋1)2＝()2，解得x＝1，所以四個(gè)全等的直角三角形的邊長為1，2，，所以直角三角形中較大銳角的正弦值sin θ＝＝，故選B. 答案：B 15．(2019·長沙模擬)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，D為棱BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PD與平面ABC所成的角為θ，則θ不大于45°的概率為________． 解析：因?yàn)閠an θ＝＝≤1，所以AD≥1.在等腰三角形ABC中，當(dāng)BD≤1或CD≤1時(shí)，AD≥1，又BC＝3，故所求概率為. 答案： 16．小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________． 解析：因?yàn)槿タ措娪暗母怕蔖1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， 所以不在家看書的概率為P＝＋＝. 答案： 7