2020屆高考數(shù)學大二輪復習 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第15講 概率與統(tǒng)計練習 文

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1、第15講　概率與統(tǒng)計 [考情分析]　統(tǒng)計的主要內(nèi)容包括隨機抽樣、用樣本估計總體、變量的相關關系；概率部分以考查古典(幾何)概型、互斥事件、對立事件等為主，主要以選擇或填空的方式呈現(xiàn)，多為低、中檔題目． 熱點題型分析 熱點1　抽樣方法與用樣本估計總體 1.抽樣方法 2．樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)； (2)中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的一個或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，是樣本數(shù)據(jù)的“中心點”； (3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即＝(x1＋x2＋…＋xn)，是樣本數(shù)據(jù)的平均水平； (4)方差與標準差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一

2、種平均距離，表示樣本數(shù)據(jù)的離散程度，標準差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。? 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]； 標準差：s＝. 3．直方圖的兩個結(jié)論 (1)小長方形的面積＝組距×＝頻率； (2)各小長方形的面積之和等于1. 4．直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關系 (1)眾數(shù)：是直方圖中最高矩形的底邊中點橫坐標； (2)中位數(shù)：是直方圖中平分所有矩形面積和，且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標； (3)平均數(shù)：是每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和． 1．(2019·東三省三校一模)如圖是某居

3、民小區(qū)年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列，且年齡在[30,35)的頻率為0.3，則由此頻率分布直方圖估計該小區(qū)在20歲到45歲的居民上網(wǎng)年齡的(　　) A．平均數(shù)為32.5 B．眾數(shù)為32.25 C．中位數(shù)為 D．在[40,45]的頻率為0.15 答案　C 解析　由題意可知[20,25)，[25,30)，[30,35)的頻率分別為0.05,0.35,0.3.設[35,40)，[40,45]的頻率分別為a，b.因為已知年齡在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上網(wǎng)人

4、數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列，所以他們的頻率也成遞減的等差數(shù)列，則有a＋b＝0.3且2a＝b＋0.3，解得a＝0.2，b＝0.1，故選項D不正確；居民上網(wǎng)年齡的平均數(shù)為22.5×0.05＋27.5×0.35＋32.5×0.3＋37.5×0.2＋42.5×0.1＝32.25，所以A不正確；根據(jù)眾數(shù)和直方圖的關系，可得上網(wǎng)年齡的眾數(shù)為27.5，故B不正確；由前面計算可知中位數(shù)在[30,35)組中，設中位數(shù)為x，則＝，解得x＝，故選C． 2．一個總體中的100個個體的號碼分別為0,1,2，…，99，并依次將其分為10個小組，組號為0,1,2，…，9.要用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第0

5、組隨機抽取的號碼為m，那么依次錯位地得到后面各組的號碼，即第k組(k＝1,2，…，9)中抽取的號碼個位數(shù)字為m＋k或m＋k－10(如果m＋k≥10)，當m＝5時，第8組抽取的號碼為________． 答案　83 解析　因為m＝5，k＝8，則m＋k＝13，則第8組中抽取號碼的個位數(shù)字為m＋k－10＝3，所以第8組抽取的號碼為83. 3．(2019·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________． 答案　 解析　這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，故方差為s2＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝. 1．

6、對于以統(tǒng)計圖為載體的概率與統(tǒng)計問題，認真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)是解題關鍵．特別是利用頻率直方圖解題時，常把直方圖的高誤認為是頻率而導致錯誤．因此，應注意每個小矩形的面積為頻率，所有面積和為1.對于第1題這類，利用直方圖考查眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的問題，關鍵在于相應的計算公式是否掌握，特別是中位數(shù)問題，找準中位數(shù)所在的區(qū)間是解題關鍵； 2．對于抽樣方法的問題，要明確總體的基本特征符合哪種抽樣特點．對于系統(tǒng)抽樣通常是等距抽樣，但也有例外情況，如第2題給出的規(guī)則即為每組號碼錯后一位，如果還按照等距原則計算，就會出現(xiàn)錯解85.因此解決系統(tǒng)抽樣的問題時，要認真審題，分析題目給出的抽取規(guī)則，按照

7、規(guī)則進行抽樣； 3．對于樣本的數(shù)字特征的一系列問題(如第3題)，解題關鍵在于計算公式的準確使用和計算準確，應掌握簡便運算的方法，減小計算量，提高準確率． 熱點2　統(tǒng)計案例 1．線性回歸方程 方程＝x＋稱為線性回歸方程，利用最小二乘法估計公式斜率和截距分別為＝＝，＝－ ，其中(，)是樣本點的中心，且回歸直線恒過該點． 2．相關系數(shù) r＝，當r>0時，表明變量x與y正相關，r<0時，表明變量x與y負相關．若|r|∈[0.75,1]時，相關性很強；|r|∈[0.3,0.75)時，相關性一般；|r|∈[0,0.25]時，相關性較弱． 3．殘差分析 R2＝1－，當R2越大時，殘差平方

8、和(yi－i)2越小，擬合效果越好；當R2越小時，殘差平方和越大，擬合效果越差． 4．獨立性檢驗 隨機變量K2＝(K2也可以表示為χ2)，當K2>3.841時，則有95%的把握說兩個事件有關；當K2>6.635時，則有99%的把握說兩個事件有關． 1．(2019·衡水中學調(diào)研)已知變量x，y之間的線性回歸方程為＝－0.7x＋10.3，且變量x，y之間的一組相關數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯誤的是(　　) x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．變量x，y之間呈負相關關系 B．可以預測，當x＝20時，＝－3.7 C．m＝4 D．該回歸直線必過點(9,4

9、) 答案　C 解析　由題意得，由－0.7<0，得變量x，y之間呈負相關，故A正確；當x＝20時，則＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正確；由數(shù)據(jù)表格可知＝×(6＋8＋10＋12)＝9，＝×(6＋m＋3＋2)＝，則＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C錯誤；由數(shù)據(jù)表易知，樣本點中心為(9,4)，故D正確．故選C． 2．為了判斷高中三年級學生選修文科是否與性別有關，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如圖所示2×2列聯(lián)表： 理科 文科 總計 男 13 10 23 女 7 20 27 總計 20 30 50 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥

10、5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝≈4.844，則有________的把握認為選修文科與性別有關． 答案　95% 解析　由題意，K2＝≈4.844，因為4.844>3.841，所以有95%的把握認為選修文科與性別有關． 1．線性回歸分析是對有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義；同時，根據(jù)回歸方程預測僅是一個預測值，而不是真實發(fā)生的值． 2．獨立檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表．在分析問題時一定要注意不可對某個問題下確定性結(jié)論，

11、否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果做出錯誤的解釋． 熱點3　古典概型、幾何概型 1．古典概型 P(A)＝. 2．幾何概型 P(A)＝. 1．(2019·全國卷Ⅲ)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　設兩位男同學分別為A，B，兩位女同學分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示． 由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學相鄰的結(jié)果(畫“”的情況)共有12種，故所求概率為＝.故選D． 2．(2019·西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，e]上隨機取一個

12、實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A． B．1－ C． D． 答案　B 解析　當0≤x<1時，恒有f(x)＝ex

13、角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 答案　A 解析　不妨取AB＝AC＝2，則BC＝2，所以區(qū)域Ⅰ的面積為S△ABC＝2；區(qū)域Ⅲ的面積為π－2；區(qū)域Ⅱ的面積為π－(π－2)＝2，所以根據(jù)幾何概型的概率公式，易得p1＝p2，故選A． 2．(2018·全國卷Ⅱ)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30

14、＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有45種方法，因為7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為＝，選C． 3．(2019·全國卷Ⅱ)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　設5只兔子中測量過某

15、項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標的概率為＝.故選B． 4．(2019·江蘇高考)從3名男

16、同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是________． 答案　 解析　解法一：設3名男同學分別為A，B，C,2名女同學分別為a，b，則所有等可能事件分別為AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本事件分別為Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個，故所求概率為. 解法二：同解法一，得所有等可能事件共10個，選出的2名同學中沒有女同學包含的基本事件分別為AB，AC，BC，共3個，故所求概率為1－＝. 專題作業(yè) 一、選擇題 1．(2019·銀川二模)某對夫婦

17、計劃生育3個孩子，則這個家庭中有2個女孩和1個男孩的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　分別用1,2來表示男孩與女孩，用(1,1,1)表示三個小孩均為男孩，則所有的基本事件有(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8個，而有2個女孩和1個男孩的基本事件有(1,2,2)，(2,1,2)，(2,2,1)，共3個，所以所求的概率為P＝.故選B． 2．(2019·宣城模擬)一支田徑隊共有運動員98人，其中女運動員42人，用分層抽樣的方法抽取一個樣本，每名運動員被抽到的概率都是

18、，則男運動員應抽取(　　) A．18人 B．16人 C．14人 D．12人 答案　B 解析　∵田徑隊共有運動員98人，其中女運動員有42人，∴男運動員有56人，∵每名運動員被抽到的概率都是，∴男運動員應抽取56×＝16(人)，故選B． 3．右面莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名同學在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x和y的值分別為(　　) A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8 答案　C 解析　由莖葉圖及甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，得x＝5，又乙組的平均數(shù)為16.8，所以＝16.8，解得y＝8，

19、故選C． 4．(2019·新鄉(xiāng)模擬)從區(qū)間[0，π]內(nèi)任取一個實數(shù)x，則sinx＋cosx>1的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由sinx＋cosx>1，得sin>，因為x∈[0，π]，所以sinx＋cosx>1的解集為，由幾何概型可知所求概率P＝＝，故選B． 5．2021年某省新高考將實行“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．某同學已選了物理，記事件A：“他選擇政治和地理”，事件B：“他選擇化學和地理”，則事件A與事件B(　　) A．是互斥事件，不是對立事件 B．是對立事

20、件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是對立事件 D．既不是互斥事件也不是對立事件 答案　A 解析　事件A與事件B不能同時發(fā)生，是互斥事件，該同學還可以有其他選擇，例如他還可以選擇化學和政治，所以事件A與事件B不是對立事件．故選A． 6．如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設被污損的數(shù)字為x，則甲＝×(88＋89＋90＋91＋92)＝90，乙＝×(83＋83＋87＋99＋90＋x)，若甲＝乙，則x＝8.若甲>乙，則x可以為0,1,2,3

21、,4,5,6,7，故P＝＝. 7．(2019·蘭州實戰(zhàn)考試)采用系統(tǒng)抽樣的方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，將他們隨機編號1,2，…，1000.適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.若抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,400]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[401,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中做問卷C的人數(shù)為(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　A 解析　根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點可知，所有做問卷調(diào)查的人的編號構(gòu)成首項為8，公差d＝＝20的等差數(shù)列{an}，所以an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12

22、≤1000，解得≤n≤，又n∈N*，所以39≤n≤50，則做問卷C的共有12人，故選A． 8．(2019·蘭州一模)已知某種商品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m 70 根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5，則表中m的值為(　　) A．45 B．50 C．55 D．60 答案　D 解析　由回歸直線恒過(，)，可得＝＝5，＝＝38＋，即38＋＝6.5×5＋17.5，解得m＝60，故選D． 9．法國學者貝特朗發(fā)現(xiàn)，在研究

23、事件A“在半徑為1的圓內(nèi)隨機地取一條弦，其長度超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”的概念的過程中，基于對“隨機地取一條弦”的含義的不同理解，事件A的概率P(A)存在不同的答案，該問題被稱為“貝特朗悖論”．現(xiàn)給出一種解釋：若固定弦的一個端點，另一個端點在圓周上隨機選取，則P(A)＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　設固定弦的一個端點為A，則另一個端點在圓周上且在BC劣弧上隨機選取，即可滿足題意，則P(A)＝＝，故選B． 10．(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上

24、的數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，所以所求概率P＝＝.故選D． 11．已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP－ABC

25、C的概率是________． 答案　 解析　由題意得e＝ >，即b>2a.同時拋擲兩顆骰子，得到的點數(shù)a，b滿足b>2a的情況有：當a＝1時，b＝3,4,5,6，共4種情況；當a＝2時，b＝5,6，共2種情況，所以滿足題意的情況共有6種，又同時擲兩顆骰子有36種情況，∴所求概率為＝. 13．從2,3,4,5,8,9這6個數(shù)中一次取出兩個數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則得到的對數(shù)是整數(shù)的概率為________． 答案　 解析　設取得的第一個數(shù)為對數(shù)

26、的底數(shù)，第二個數(shù)為對數(shù)的真數(shù)，則從2,3,4,5,8,9這六個數(shù)中一次取出兩個數(shù)的基本事件有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,8)，(4,9)，(5,8)，(5,9)，(8,9)，共15個，其中得到的對數(shù)是整數(shù)的有(2,4)，(2,8)，(3,9)，共3個，故所求事件概率為＝. 14．按文獻記載，《百家姓》成文于北宋初年，表1記錄了《百家姓》開頭的24大姓氏． 表1 趙 錢 孫 李 周 吳 鄭 王 馮 陳 褚 衛(wèi) 蔣 沈 韓 楊 朱 秦 尤 許 何 呂

27、施 張 表2記錄了2018年中國人口最多的前10大姓氏． 表2 1李 2王 3張 4劉 5陳 6楊 7趙 8黃 9周 10吳 從《百家姓》開頭的24大姓氏中隨機選取1個姓氏，則這個姓氏是2018年中國人口最多的前10大姓氏的概率為________． 答案　 解析　2018年中國人口最多的前10大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是趙、李、周、吳、王、陳、楊、張，共8個，故所求概率為＝. 15．在平面區(qū)域內(nèi)隨機取一點(a，b)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為________． 答案　 解析　不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的△AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則S△AOB＝×4×4＝8.函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則應滿足a>0，且x＝≤1，即滿足可得對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由解得a＝，b＝，即點C坐標為，所以S△COB＝×4×＝.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可知所求的概率為＝. - 14 -