初中數(shù)學(xué)論文：中考數(shù)學(xué)“新定義”試題淺析.doc

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1、中考數(shù)學(xué)“新定義”試題淺析隨著新課改的深入，中考試題中考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的創(chuàng)新型試題不斷地涌現(xiàn)。而“新定義”試題是創(chuàng)新型試題的主要表現(xiàn)之一，也是2009年中考數(shù)學(xué)試題中的一個(gè)熱點(diǎn)?！靶露x”試題具有新穎公平的問(wèn)題背景，且與已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)基礎(chǔ)，能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力和運(yùn)用已學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合能力，在中考試題中有較好地效度?，F(xiàn)舉例說(shuō)明如下：考點(diǎn)一：利用“新定義”構(gòu)建數(shù)、式模型例1、（2009年紹興市）李老師從油條的制作受到啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，在數(shù)軸上截取從原點(diǎn)到1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段，對(duì)折后（點(diǎn)與重合）再均勻地拉成1個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，這一過(guò)程稱

2、為一次操作（如在第一次操作后，原線段上的，均變成，變成1，等）那么在線段上（除，）的點(diǎn)中，在第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)之和是_AB（例3圖）解：在第一次操作后，原線段上的，均變成，變成1， 在第二次操作后，原線段上的，均變成1，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)之和是?！酒饰觥勘绢}是一道PISA型試題，以學(xué)生已學(xué)的數(shù)軸和已有的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)某種操作進(jìn)行了新的定義。解答本題，關(guān)鍵是要讀懂新定義中“一次操作”的真正含義：先對(duì)折再拉長(zhǎng)到與原線段長(zhǎng)度相等的線段即為1個(gè)單位長(zhǎng)度。第一次操作后，在處為對(duì)折點(diǎn)，均勻拉長(zhǎng)后變成1，原線段AB上的，均變成，這在題目中已有提示。第二次操作后，在線段處有兩個(gè)數(shù)和為

3、對(duì)折點(diǎn)，均勻拉長(zhǎng)后這兩個(gè)數(shù)都江堰市變?yōu)?，根據(jù)題意，在第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為和，這樣馬上可以得出結(jié)論。解：。本題是對(duì)學(xué)生的抽象概括、空間想象能力要求較高。例2、（2009年臺(tái)州市）若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式，如就是完全對(duì)稱式.下列三個(gè)代數(shù)式：；其中是完全對(duì)稱式的是(A )A B C D解：由新定義“完全對(duì)稱式”知，所以是完全對(duì)稱式；若將、字母交換，則變?yōu)椋?，是完全對(duì)稱式；若將、字母交換，則變?yōu)?，不是完全?duì)稱式。所以答案應(yīng)選擇為（A）【剖析】本題是以已學(xué)的整式的乘除、乘法公式為知識(shí)為基礎(chǔ)，對(duì)代數(shù)式的變換進(jìn)行了新的定義。解答本題

4、，關(guān)鍵是要讀懂新定義中數(shù)學(xué)的本質(zhì)含義，在理解“新定義”的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行具體的代入、計(jì)算、判斷，就能把問(wèn)題解決?？键c(diǎn)二：利用“新定義”構(gòu)建方程、函數(shù)模型例3、（2009年孝感）對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d），規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)ac且bd時(shí)， （a，b）=（c，d）定義運(yùn)算“”：（a，b）（c，d）=（acbd，adbc）若（1，2）（p，q）=（5，0），則p ，q 解：由新定義“”運(yùn)算規(guī)定得：（a，b）（c，d）=（acbd，adbc），（1，2）（p，q）=， ， 解得：， 所以答案為：1，2; 【剖析】本題是以學(xué)生已學(xué)的實(shí)數(shù)運(yùn)算和二元一次方程組為知識(shí)基礎(chǔ)，給出了一個(gè)新定義的運(yùn)算法則，

5、學(xué)生在閱讀和理解新運(yùn)算的基礎(chǔ)上，來(lái)解決與新運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題。這類試題考查了學(xué)生的邏輯推理能力，由一般到特殊地讀懂新運(yùn)算的本質(zhì)，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解新符號(hào)的數(shù)學(xué)意義。例4、（2009年杭州市）某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案如下：第k棵樹(shù)種植在點(diǎn)處，其中，當(dāng)k2時(shí)，表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如2.6=2，0.2=0。按此方案，第2009棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)為A.（5，2009） B.（6，2010） C.（3，401） D（4，402）解：從特殊點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)，來(lái)探求它的變化周期性，從而來(lái)得出一般性的結(jié)論。，同理可得：，得出五個(gè)數(shù)的循環(huán)。所以，所以，因此得結(jié)論?！酒饰觥勘绢}是一道探索

6、性試題，以學(xué)生已學(xué)的點(diǎn)的坐標(biāo)和已有的探究經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行了新的定義, 即：表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分。解答本題，關(guān)鍵是要讀懂新定義中“”的真正含義，先通過(guò)對(duì)特殊和簡(jiǎn)單數(shù)的探索對(duì)折再拉長(zhǎng)到與原線段長(zhǎng)度相等的線段即為1個(gè)單位長(zhǎng)度。第一次操作后，在處為對(duì)折點(diǎn)，均例5、（2009年義烏市）已知點(diǎn)A、B分別是軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)圖像的其中一個(gè)伴侶正方形。（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)，求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，

7、他的圖像的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m 2）在反比例函數(shù)圖像上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)，它的圖像的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）.寫(xiě)出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) ，寫(xiě)出符合題意的其中一條拋物線解析式 ，并判斷你寫(xiě)出的拋物線的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 。(本小題只需直接寫(xiě)出答案)簡(jiǎn)解：（1）如圖（1），正方形邊長(zhǎng)為；（2）如圖（2），ADEBADCBF，解得反比例函數(shù)為；（3），對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，?！酒饰觥勘绢}以正方形和一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)為知識(shí)基礎(chǔ)和問(wèn)題背景，給出了“函數(shù)圖像的伴侶正方形”的新定義，解答本

8、題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”，看懂函數(shù)圖象。本題主要考查了全等三角形、點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)圖象等相關(guān)知識(shí)和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例6、（2009年益陽(yáng)市）閱讀材料：如圖1，過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.BC鉛垂高水平寬h a xCOyABD11解答下列問(wèn)題：如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交y軸于點(diǎn)B.（1）求拋物線和直線AB的解析式；

9、（2）點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求CAB的鉛垂高CD及； （3）是否存在一點(diǎn)P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.簡(jiǎn)解：解：(1) (2)CD4-22(平方單位)(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，PAB的鉛垂高為h，則鉛垂高由SPAB=SCAB，得：化簡(jiǎn)得：，解得，將代入中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為【剖析】本題以閱讀材料的形式提出了新定義：ABC的“水平寬”、“鉛垂高(h)”，從而得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.運(yùn)用新定義中的新方法，可解答一類在以拋物線為背

10、景下的斜三角形的最大面積問(wèn)題，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和理解運(yùn)用新公式。本題主要考查學(xué)生閱讀理解能力和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。以考點(diǎn)三：利用“新定義”構(gòu)建四邊形、相似形模型（第23題）圖3圖2圖4FEDCBAPGHJI例7、（2009年臺(tái)州市）定義：到凸四邊形一組對(duì)邊距離相等，到另一組對(duì)邊距離也相等的點(diǎn)叫凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)如圖1，則點(diǎn)就是四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)BJIHGDCAP圖1（1）如圖2， 與的角平分線相交于點(diǎn)求證：點(diǎn)是四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)（2）分別畫(huà)出圖3平行四邊形和圖4梯形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)（作圖工具不限，不寫(xiě)作法，但要有必要的說(shuō)明）（3）判斷下列命題的真假，在括號(hào)內(nèi)填“真”或“假” 任意凸四邊形一定存在準(zhǔn)

11、內(nèi)點(diǎn)（ ）任意凸四邊形一定只有一個(gè)準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)（ ）若是任意凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，則或( ) 簡(jiǎn)解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)作， 平分， 同理 ，是四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)圖3（1）圖4圖3（2）（2） 平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，如圖3（1）.或者取平行四邊形兩對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，如圖3（2）；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)如圖4.（3）真；真；假 【剖析】本題以四邊形、特殊四邊和角平分線的性質(zhì)為知識(shí)基礎(chǔ)，給出了“四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和看懂幾何圖形，理解點(diǎn)到直線的距離和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力、邏輯推理能力和畫(huà)

12、圖操作能力。例8、（2009年紹興市）若從矩形一邊上的點(diǎn)到對(duì)邊的視角是直角，則稱該點(diǎn)為直角點(diǎn)例如，如圖的矩形中，點(diǎn)在邊上，連，則點(diǎn)為直角點(diǎn)DBCAM（例8圖）（1）若矩形一邊上的直角點(diǎn)為中點(diǎn)，問(wèn)該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)分別為矩形邊，上的直角點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)解：（1）AB=2AD，如圖（1） 直角點(diǎn)M為CD邊的中點(diǎn)， MD=MC，AD=BC ，D=C=Rt, ADMADM，AMD=BMCAMB=Rt, AMD+BMC=90AMD=BMC=45， AD=DM，AB=2AD如圖（2），作MHAB于點(diǎn)H，連結(jié)MN，AMB=90，AMD+BMC=90，AMD+DAM=90，DA

13、M=BMC，又D=C，ADMMCB，既，或。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，【剖析】本題以全等三角形、矩形和相似三角形為知識(shí)基礎(chǔ)，給出了“直角點(diǎn)”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和看懂幾何中的基本圖形。本題主要考查學(xué)生邏輯推理能力和分類討論思想的運(yùn)用，以及解方程和計(jì)算能力。解答本題，可從不同角度和思路來(lái)解答，是一道解法多樣性的試題。例9、（2009年湖州市）若為所在平面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)叫做的費(fèi)馬點(diǎn).ACB第（25）題（1） 若點(diǎn)為銳角的費(fèi)馬點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)；（2）如圖，在銳角外側(cè)作等邊連結(jié).求證：過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)，且=.ACBPE例9題25（1）2.（2）證明：在上取點(diǎn)，使，連結(jié)，再在上截取，連結(jié)為正三角形

14、， =，為正三角形，=，=，為的費(fèi)馬點(diǎn)，過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)，且=+2分【剖析】本題有一定的難度和能力要求較高，它以特殊三角形和全等三角形為知識(shí)基礎(chǔ)，給出了“的費(fèi)馬點(diǎn)”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和添加輔助線，并運(yùn)用特殊三角形和全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決。本題主要考查學(xué)生邏輯推理能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。新定義試題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)全新的問(wèn)題情景，通過(guò)以新帶舊的表現(xiàn)形式，來(lái)考查學(xué)生的知識(shí)和能力。在解決“新定義”中的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)，更多地是需要閱讀理解能力和分析綜合、推理論證能力，。因而，這類試題對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的考查可抽象到課程標(biāo)準(zhǔn)高層次水平，其命題方式也值得借鑒、研究和開(kāi)發(fā)。7