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1、線性代數(shù)試題庫（1）答案題號一二三四五六總分得分評卷人一、選擇題：（37=21分）1.n 階行列式D的元素a的余子式M與a的代數(shù)余子式A的關(guān)系是（ C ）A A=M B。 A=(-1) M C。A=(-1)M D。A=-M2設(shè)A是數(shù)域F上m x n矩陣，則齊次線性方程組AX=O （ A ）A 當(dāng)m n時(shí)，無解C當(dāng)m=n 時(shí)，只有零解D當(dāng)m=n 時(shí)，只有非零解3在n維向量空間V中，如果，L（V）關(guān)于V的一個(gè)基的矩陣分別為A，B.那么對于a，bF，a+b關(guān)于基的矩陣是（ C ）AA+B BaA+B CaA+bB DA+Bb4已知數(shù)域F上的向量 線性無關(guān)，下列不正確的是（ D ）A，線性無關(guān) B線性
2、無關(guān) C線性無關(guān) D中必有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。5R中下列子集，哪個(gè)不是子空間（ C ）AR B C D06兩個(gè)二次型等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們的矩陣（ A ）A 。相似 B合同 C相等 D互為逆矩陣7向量空間R的如下變換中，為線性變換的是（ C ）A B C D二填空題（3X10=30分）1當(dāng)且僅當(dāng)k=（-1或3）時(shí)，齊次線性方程組有非零解2設(shè)A=,則秩（AB）為（1）。3向量（x，y，z）關(guān)于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐標(biāo)為 。4設(shè)向量空間F2的線性變換（2x1,x2）。5已知V=，則dimV=（3）。6已知實(shí)矩陣A= 是正交陣，則b=（0）。7設(shè)三、計(jì)算
3、題1求矩陣方程的解 ， （10分）解:x=2設(shè) (10分)解：由 分別單位化，得 , ,所以3設(shè)二次型,回答下列問題：（1）將它化為典范型。（2）二次型的秩為何？（3）二次型的正、負(fù)慣性指標(biāo)及符號差為何？（4）二次型是否是正定二次型？ （10分）解：（1） ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=60，是正定二次型 。四、證明題1設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)一維向量空間。證明V的變換是線性變換的充要條件是：對于任意V，都有（）=a，a為F中一個(gè)定數(shù)。（10分）證明：所以；2。行列式 ，（10分）證：原式=線性代數(shù)試題庫（2 ）答案20052006學(xué)年 第一學(xué)期 考試時(shí)間 120分鐘題號一二三
4、四五六總分得分評卷人一、選擇題：（3X5=15分）1.n 階行列式D的元素a的余子式M與a的代數(shù)余子式A的關(guān)系是（ C ）A A=M B。 A=(-1) M C。A=(-1)M D。A=-M2設(shè)A是數(shù)域F上m x n矩陣，則齊次線性方程組AX=O （ A ）A 當(dāng)m n時(shí)，無解C當(dāng)m=n 時(shí)，只有零解D當(dāng)m=n 時(shí)，只有非零解3已知n維向量 線性無關(guān)，下列不正確的是（ D）A，線性無關(guān) B線性無關(guān) C線性無關(guān) D中必有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。4若A是mxn矩陣，且r（A）=r，則A中（ D）A. 至少有一個(gè)r階子式不等于0，但沒有等于0的r-1階子式；B. 必有等于0的r-1階子式，有不
5、等于0的r階子式；C. 有等于0的r-1階子式，沒有等于0的r階子式；D. 有不等于0的r階子式，所有r+1階子式均等于0。54設(shè)A是三階矩陣，|A|=1，則|2A|=（ A）A2，B，1，C8 ，D 4二填空題（3X6=18分）1當(dāng)且僅當(dāng)k=（-1或3）時(shí)，齊次線性方程組 有非零解2設(shè)A= ,則秩（AB）為（1）。3行列式4已知實(shí)矩陣A= 是正交陣，則b=（0）。5向量（x，y，z）關(guān)于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐標(biāo)為 。6設(shè)A，B為n階可逆矩陣，則。（10分）三、計(jì)算題1求矩陣方程的解 ， （10分）解:x=2設(shè) (15分)解：由 分別單位化，得 , ,
6、所以 3設(shè)二次型,回答下列問題：(1)將它化為典范型。（2）二次型的秩為何？（3）二次型的正、負(fù)慣性指標(biāo)及符號差為何？（4）二次型是否是正定二次型？ （12分）解：（1） ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=60，是正定二次型 。4設(shè)向量組求向量組的秩及其一個(gè)極大無關(guān)組。（10分）解：A=其中 由此r(A)=3, 是一個(gè)極大無關(guān)組，四、證明題1. A是正交矩陣，證明。（10分）證明：,2。行列式 ，（10分）證：原式=線性代數(shù)試題庫（3）答案題號一二三四五六總分得分評卷人一、選擇題（35=15分）1已知m個(gè)方程n個(gè)未知量的一般線性方程組AX=B有解，則無窮多解的條件是（ C ）
7、Amn Bm=n C秩A n D秩A=n2設(shè)A= 則 秩A=（ A ）A 0 B1 C2 D33n 階行列式D的元素a的余子式M與a的代數(shù)余子式A的關(guān)系是（ C ）A A=M B。 A=(-1) M C。A=(-1)M D。A=-M4已知數(shù)域F上的向量 線性無關(guān)，下列不正確的是（ D）A，線性無關(guān) B線性無關(guān) C線性無關(guān) D中必有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。5設(shè)（ C ） A、0 B1 C2 D4二填空題（3X6=18分）1設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)可逆矩陣，則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是().2矩陣的逆矩陣為。3向量（x，y，z）關(guān)于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐標(biāo)為 。4設(shè)5
8、已知實(shí)矩陣A= 是正交陣，則b=0。6A 與B相似，則|A|（=）（）|B|。三、計(jì)算題1. 計(jì)算行列式 =I ，（10分）解：原式=2. 設(shè)A= ,求矩陣B，使AB=A-B。 （10分）解：設(shè)B= ,AB=A-B， =解得B=3設(shè) (15分)解：由 分別單位化，得 , ,所以4設(shè)二次型,回答下列問題：（1）將它化為典范型。（2）二次型的秩為何？（3）二次型的正、負(fù)慣性指標(biāo)及符號差為何？（4）二次型是否是正定二次型？ （12分）解：（1） ,(2)r=4 ,(3)p=3;s=2 ,(4)A=100，是正定二次型 。四、證明題1試證：設(shè)A是n階矩陣，則|A|=|A|（10分）證明：AA*=取行列
9、式得到若2試證：行列式 ，（10分）證明: 原式= 線性代數(shù)試題庫（4）答案題號一二三四五六總分得分評卷人一、選擇題（3X7=21分）1已知m個(gè)方程n個(gè)未知量的一般線性方程組AX=B有解，則無窮多解的條件是（C ）Amn Bm=n C秩A n D秩A=n2設(shè)矩陣A是n維向量空間V中由基到基的過渡矩陣，則A的第j列是（ C ）A 關(guān)于基 的坐標(biāo) B關(guān)于基的坐標(biāo) C關(guān)于基 的坐標(biāo) D關(guān)于基的坐標(biāo)3設(shè)A= 則 秩A=（ C ）A、0 B1 C2 D34n 階行列式D的元素a的余子式M與a的代數(shù)余子式A的關(guān)系是（C ）A A=M B。 A=(-1) M C。A=(-1)M D。A=-M5在n維向量空間
10、V中，如果，L（V）關(guān)于V的一個(gè)基的矩陣分別為A，B。那么對于a，bF，a+b關(guān)于基的矩陣是（C ）AA+B BaA+B CaA+bB DA+Bb6向量空間R的如下變換中，為線性變換的是（C ）A B C D7已知數(shù)域F上的向量 線性無關(guān)，下列不正確的是（D ）A，線性無關(guān) B線性無關(guān) C線性無關(guān) D中必有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。二填空題（3X10=30分）1設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)可逆矩陣，則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是（）23矩陣的逆矩陣為。4設(shè)5向量（x，y，z）關(guān)于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐標(biāo)為（1/3，1/2，1/4）。6已知V=，則dimV=（4）。7已知實(shí)矩陣A= 是正交陣，則b=（0）。三、計(jì)算題1 計(jì)算行列式 ，（10分）2 設(shè)A=,求矩陣B，使AB=A-B。 （10分）解：設(shè)B= ,AB=A-B， =解得B=3 設(shè) (10分)解：由 分別單位化，得 , ,所以四、證明題1設(shè)是歐氏空間任意向量，證明：, (10分)證明：因?yàn)樗浴?行列式 ，（9分）證明: 原式=
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