2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題2 三角函數(shù)及解三角形 專題能力提升練七 2.2.2 三角恒等變換與解三角形

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1、專題能力提升練 七 　三角恒等變換與解三角形 (45分鐘　80分) 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.cos 15°-4sin215°cos 15°= (　　) A. B. C.1 D. 【解析】選D.cos 15°-4sin215°cos 15° =cos 15°-2sin 15°×2sin 15°cos 15° =cos 15°-2sin 15°sin 30° =cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=. 2.(2018·永州二模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若+ =2a,則△ABC是 (　　) A.等邊

2、三角形　　　　　 B.銳角三角形 C.等腰直角三角形　　　 D.鈍角三角形 【解析】選C.因為+=2a,所以由正弦定理可得,+=2sin A≥2=2, 所以sin A=1,當(dāng)=時,“=”成立, 所以A=,b=c, 所以△ABC是等腰直角三角形. 3.(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,則AB= (　　) A.4 B. C. D.2 【解析】選A.cos C=2cos2-1=2×-1=-, 在△ABC中, 由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C, 得AB2=25+1-2×1×5×=32, 所以AB=4. 4

3、.若向量a=,向量b=(1,sin 22.5°),則a·b=(　　) A.2　　　　　　　　 B.-2 C.　　　　　　　　 D.- 【解析】選A.由題得a·b=tan 67.5°+ =tan 67.5°+ =tan 67.5°-tan 22.5° =tan 67.5°- = =2×=2× =2. 【加固訓(xùn)練】 (2018·會寧一中一模)已知x為銳角,=,則a的取值范圍為 (　　) A.[-2,2]　　　　　B.(1,) C.(1,2] D.(1,2) 【解析】選C.由=,可得: a=sin x+cos x=2sin, 又x∈,所以x+∈, 所以a的取

4、值范圍為(1,2]. 5.在銳角△ABC中,A=2B,則的取值范圍是 (　　) A.(-1,3) B.(1,3) C.(,) D.(1,2) 【解析】選D.== ==3-4sin2B. 因為△ABC是銳角三角形, 所以 得

5、 又C∈(0,π),所以C=. 【加固訓(xùn)練】 (2018·濮陽一模) 已知△ABC中,sin A,sin B,sin C成等比數(shù)列,則的取值范圍是(　　) A. B. C.(-1,] D. 　【解析】選B.由已知可知sin2B=sin A·sin C,即b2=ac,cos B==≥=, 即0

6、n=,則tan α=________.? 【解析】因為tan=tan=, 所以=,解得tan α=. 答案: 【加固訓(xùn)練】 (2018·中山市一模) 已知cos=,則sin 2α=________.? 【解析】sin 2α=sin =-cos2 =1-2cos2=1-2×=-. 答案:- 8.為了豎起一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖,要求∠ACB=60°, BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5米,為了穩(wěn)定廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為________. 【解題指南】首先根據(jù)余弦定理找出邊BC與AC之間的關(guān)系,用邊BC表示出邊AC,結(jié)合函數(shù)知識即可求解.

7、 【解析】由題意設(shè)BC=x(x>1)米, AC=t(t>0)米,依題設(shè)AB=AC-0.5=(t-0.5)米, 在△ABC中,由余弦定理得: AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°,即 (t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡并整理得: t=(x>1),即t=x-1++2, 因為x>1,故t=x-1++2≥2+,當(dāng)且僅當(dāng)x=1+時取等號,此時取最小值2+. 答案:2+ 三、解答題(每小題10分,共40分) 9.(2018·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB. (2)若DC=2,求BC

8、. 【解析】(1)在△ABD中, 由正弦定理得=. 由題設(shè)知,=, 所以sin∠ADB=. 由題意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==. (2)由題意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5. 10.如圖,在△ABC中,AB=2,cos B=,點D在線段BC上. (1)若∠ADC=,求AD的長. (2)若BD=2DC,△ACD的面積為,求的值. 【解題指南】(1)首先利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求得sin B的值,然后利用正弦

9、定理即可求得AD的長.(2)首先利用三角形面積間的關(guān)系求得S△ABC,然后利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求得的值. 【解析】(1)在三角形中,因為cos B=, 所以sin B=, 在△ABD中,由正弦定理得=, 又AB=2,∠ADB=,sin B=. 所以AD=. (2)因為BD=2DC,所以S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC, 又S△ADC=,所以S△ABC=4, 因為S△ABC=AB·BCsin∠ABC,所以BC=6, 因為S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD, S△ABD=2S△ADC,所以=2·, 在

10、△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC. 所以AC=4,所以=2·=4. 11.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值. (2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值. 【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1 =(2sin xcos x)+(2cos2x-1) =sin 2x+cos 2x=2sin, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π; 因為x∈, 所以2x+∈, sin∈, 所以函數(shù)f(x)=2sin在

11、區(qū)間上的最大值為2,最小值為-1. (2)由(1)可知f(x0)=2sin, 又因為f(x0)=,所以sin=, 由x0∈,得2x0+∈, 從而cos=-=-, 所以cos 2x0=cos =coscos +sinsin = 12.在△ABC中,D是邊BC上的點,AB=AD=,cos∠BAD=. (1)求sin B. (2)若AC=4,求△ADC的面積. 【解題指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出結(jié)果.(2)利用(1)的結(jié)論和余弦定理求出三角形的面積. 【解析】(1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=7+7-2×××=12, 得B

12、D=2. 由cos∠BAD=,得sin∠BAD=, 在△ABD中,由正弦定理得=, 所以sin B=×=. (2)因為sin B=,B是銳角,所以cos B=, 設(shè)BC=x,在△ABC中, AB2+BC2-2AB·BC·cos B=AC2, 即7+x2-2·x··=16, 化簡得:x2-2x-9=0, 解得x=3或x=-(舍去), 則CD=BC-BD=3-2=, 由∠ADC和∠ADB互補, 得sin∠ADC=sin∠ADB=sin B=, 所以△ADC的面積 S=·AD·DC·sin∠ADC=×××=. 【加固訓(xùn)練】 (2018·肇慶二模)△ABC的內(nèi)角A,B,

13、C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為acsin 2B. (1)求sin B的值. (2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中點為D,求△ABD的周長. 【解析】(1)由S△ABC=acsin B=acsin 2B, 得sin B=2sin B·cos B, 因為00,故cos B=, 又sin2B+cos2B=1,所以sin B=. (2)由(1)和3sin2C=5sin2B·sin2A得16sin2C=25sin2A, 由正弦定理得16c2=25a2, 因為c=5,所以a=4,BD=a=2, 在△ABD中,由

14、余弦定理得:AD2=c2+BD2-2c·BD·cos B=52+22-2×5×2×=24, 所以AD=2. 所以△ABD的周長為c+BD+AD=7+2. (建議用時:50分鐘) 1.(2018·石家莊一模)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶早在《數(shù)書九章》中就獨立創(chuàng)造了已知三角形三邊求其面積的公式:“以小斜冪并大斜冪,減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減之,以四約之,為實,一為從隅,開方得積.”(即:S=,c>b>a),并舉例“問沙田一段,有三斜(邊),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知為田幾何?”則該三角形田面積為 (　　) A.82平方里　　　　　 B.83平方里 C.8

15、4平方里　　　　　 D.85平方里 【解析】選C.由題意可得:a=13,b=14,c=15代入: S= ==84, 則該三角形田面積為84平方里. 2.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2sin=1,且a=2,則△ABC的面積的最大值為 (　　) A. B. C. D.2 【解析】選B.sin=,-=,A=,由于a=2為定值, 由余弦定理得4=b2+c2-2bccos ,即4=b2+c2+bc.根據(jù)基本不等式得4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,等號成立. S△=bcsin A≤··=. 3.在△ABC

16、中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0,則邊b=________.? 【解析】 由sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0, 得sin Acos B+cos Asin B=csin B, 所以sin C=csin B,即=sin B, 由正弦定理=,故b==1. 答案:1 4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,若3a2=2b2+c2,則的最大值為________. ? 【解析】因為3a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2, 所以b2+2c2=3

17、(b2+c2-a2)=6bccos A, 所以==tan A. 由題得a2=,所以 cos A= ==≥=, 所以tan A=≤=,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號. 所以的最大值為. 答案: 【加固訓(xùn)練】 (2018·衡水中學(xué)模擬)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=,(b2+c2-3)tan A=bc,2cos2=(-1)cos C,則△ABC的面積等于________.? 【解析】條件(b2+c2-3)tan A=bc 即為(b2+c2-a2)tan A=bc, 由余弦定理得2bccos Atan A=bc, 所以得sin A=, 又A為銳角,所

18、以A=. 又2cos2=1+cos(A+B) =1-cos C=(-1)cos C, 所以cos C=,得C=,故B=. 在△ABC中,由正弦定理得=, 所以c===. 故△ABC的面積 S=acsin B=×××sin =. 答案: 5.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(b-c)2=a2-bc. (1)求sin A. (2)若a=2,且sin B,sin A,sin C成等差數(shù)列,求△ABC的面積. 【解析】(1)由(b-c)2=a2-bc, 得b2+c2-a2=bc, 即=,由余弦定理得cos A=, 因為0

19、(2)由sin B,sin A,sin C成等差數(shù)列,得sin B+sin C=2sin A, 由正弦定理得b+c=2a=4, 所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc. 由(1)得16=a2+bc,所以16=4+bc, 解得bc=, 所以S△ABC=bcsin A=××=. 6.(2018·太原一模)△ABC的內(nèi)角為A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 =+. (1)求sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)的最大值. (2)若b=,當(dāng)△ABC的面積最大時,求△ABC的周長. 【解題指南】(1)先根據(jù)正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,再根據(jù)三角

20、公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.(2)根據(jù)余弦定理利用基本不等式求解. 【解析】(1)由=+得: =, a=bcos C+csin B, 即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=; 由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=(sin A+cos A)+sin Acos A, 令t=sin A+cos A,原式=t2+t-, 當(dāng)且僅當(dāng)A=時,上式取最大值,最大值為. (2)S=acsin B=ac,b2=a2+c2-2accos B, 即2=a2+c2-ac≥(2-)ac,ac≤2+, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c=等號成立;Sm

21、ax=, 周長L=a+b+c=2+. 7.(2018·唐山二模) 如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC= ∠CAB=90°,設(shè)∠DAC=θ. (1)若θ=60°,求BD 的長度; (2)若∠ADB=30°,求tan θ. 【解題指南】(1)在△ABD中,利用余弦定理直接求出BD. (2)在△ABD中,寫出正弦定理再化簡即得解. 【解析】(1)由題意可知,AD=1. 在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2,AD=1, 由余弦定理可知, BD2=(2)2+12-2×2×1×=19, BD=. (2)由題意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ, 在△ABD中,由正弦定理可知, =, 所以=4,所以tan θ=. 17