2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例練習(xí) 新人教A版選修4-5

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1、二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例,學(xué)生用書P60)A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1成立時，起始值n0至少應(yīng)取()A7B8C9 D10解析：選B.1，n16，n7，故n08.2設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，觀察上述結(jié)果，可推測出的一般結(jié)論為()Af(2n)(n1，nN*)Bf(n2)(n1，nN*)Cf(2n)(n1，nN*)D以上都不對解析：選C.f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，依此類推可知f(2n)(n1，nN*)3觀察下列不等式：1，11，1，12，1，由此猜測第n(

2、nN)個不等式為()A1B1C1D1解析：選C.因為1，3，7，15，31，的通項公式為an2n1，所以不等式左邊應(yīng)是1.因為，1，2，的通項公式為bn，所以不等式右邊應(yīng)是.4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當(dāng)“f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k5時，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，則當(dāng)k8時，均有f(k)42，因此對于任意的k4，均有f(k)k2成立5對于正整數(shù)n，下列說法不正確的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n1，且x

3、0，n1，nN)判斷當(dāng)x2時，(12)n12n，A正確當(dāng)x0.1時，(10.1)n10.1n，B正確，C不正確當(dāng)x0.9時，(10.9)n10.9n，因此D正確6用數(shù)學(xué)歸納法證明，假設(shè)nk時，不等式成立之后，證明nk1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_解析：把nk時的不等式中的k換成k1，得.答案：7在ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立，猜想在n邊形A1A2An中，類似成立的不等式為_解析：n3時，不等式為，n4時，不等式為，n5時，不等式為，猜想.答案：8若不等式對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為_解析：令f(n)，易知f(n)是單

4、調(diào)遞增的所以f(n)的最小值為f(2).依題意，所以mk3(k1)2，也就是說，當(dāng)nk1時，ak1(k1)2.由可知ann2對一切nN*都成立10設(shè)aR，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)(1)求a的值；(2)如果g(n)，試比較f(n)與g(n)的大小(nN)解：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，故a1.(2)f(n)g(n).只要比較2n與2n1的大小當(dāng)n1，2時，2n2n1，f(n)2n1，f(n)g(n)下面證明，n3時，2n2n1，即f(n)g(n)當(dāng)n3時，23231，顯然成立，假設(shè)nk(k3，kN)時，2k2k1，那么nk1時，2k122k2(2k1)2(2k1)

5、2(k1)14k22k32k10(因為k3)，有2k12(k1)1.所以當(dāng)n1，2時，f(n)g(n)B能力提升1已知xR，不等式x2，x3，可推廣為xn1，則a的值為()A2n Bn2C22(n1) Dnn解析：選D.由已知中不等式：x2，xx3，xx4，歸納可得，不等式左邊第一項為x，第二項為，右邊為n1，故第n個不等式為xn1，故ann，選D.2設(shè)a，b均為正實數(shù)，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：由貝努利不等式(1x)n1nx(x1，且x0，n1，nN)，當(dāng)n1時，令x，所以1n，所以1n，即(ab)nannan1b.

6、當(dāng)n1時，MN，故MN.答案：MN3設(shè)xn，yn，n1，2，求證xnxn1，yn1yn.證明：先證xn11，即1，故.故xnxn1.再證yn111，即1，1，即，.故yn1yn.4設(shè)數(shù)列an滿足a10，an1ca1c，nN，其中c為實數(shù)(1)證明：an0，1對任意nN成立的充分必要條件是c0，1；(2)設(shè)0c，證明：an1(3c)n1，nN.證明：(1)必要性：因為a10，所以a21c.因為a20，1，所以01c1，即c0，1充分性：設(shè)c0，1，對nN用數(shù)學(xué)歸納法證明an0，1當(dāng)n1時，a100，1假設(shè)ak0，1(kN，k1)，則ak1ca1cc1c1，且ak1ca1c1c0，故ak10，1由數(shù)學(xué)歸納法，知an0，1對所有的nN成立綜上，可得an0，1對任意nN成立的充分必要條件是c0，1(2)設(shè)0c，當(dāng)n1時，a10，結(jié)論成立當(dāng)n2時，因為anca1c，所以1anc(1a)c(1an1)(1an1a)因為0c，由(1)知an10，1，所以1an1a3，且1an10.所以1an3c(1an1)所以1an3c(1an1)(3c)2(1an2)(3c)n1(1a1)(3c)n1.所以an1(3c)n1(nN)7