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1、
1.1等腰三角形
一、選擇題
1．如圖1－22所示，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于 ( )
A．30° B．40° C．45° D．36°
2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如圖1－23所示，則圖中的等腰三角形有 ( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
3．如圖1－24所示，在 □ ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC邊于點(diǎn)E，則BE等于 ( )
A．2 cm B．4 c
2、m C．6 cm D．8 cm
4．下面幾種三角形：
①有兩個(gè)角為60°的三角形；
②三個(gè)外角都相等的三角形；
③一條邊上的高也是這條邊上的中線的三角形；
④有一個(gè)角為60°的等腰三角形．
其中是等邊三角形的有 ( )
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D． 1個(gè)
二、填空題
5．用反證法證明命題“三角形中至少有一個(gè)角大于或等于60°”時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè) .
6．等腰三角形的頂角α＞90°，如果過其頂角的頂點(diǎn)作一條直線將這個(gè)等腰三角形分 成了兩個(gè)等腰三角形，那么α的度數(shù)為 ．
三、解答題
3、
7．如圖1－25所示，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：
(1)△ABC≌△ADC；
(2)BO＝DO．
8．文文和彬彬在證明“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時(shí)，畫出圖形， 如圖1－26所示，寫出已知、求證，她們對(duì)各自所作的輔助線描述如下：
文文：過點(diǎn)A作BC的中垂線AD，垂足為D．
彬彬：作△ABC的角平分線AD．
數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法 需要改正．”
(1)請(qǐng)你簡(jiǎn)要說明文文的輔助線作法錯(cuò)在哪里；
(2)根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明
4、過程．
9．四邊形ABCD是正方形．
(1)如圖1－27(1)所示，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)(不與B，C兩點(diǎn)重合)，連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E．求證△ABF≌△DAE；
(2)在(1)中，線段EF與AF，BF的等量關(guān)系是 ；(不需證明，直接寫出結(jié)論即可)
(3)如圖1－27(2)所示，若點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)(不與C，D兩點(diǎn)重合)，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E，那么圖中的全等三角形是 ，線段EF與AF，BF的等量關(guān)系是 ．(不需證明，直接寫出結(jié)論即可)
10．如圖1－28所示，D為△ABC的邊AB的延長線上一點(diǎn)，過D作DF⊥A
5、C，垂足為F，交BC于E，且BD＝BE，求證△ABC是等腰三角形．
11．如圖1－29所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上．CE ＝BC，過點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)F，求證AB＝FC．
參考答案
1．D[提示：本題綜合考查三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)．由AD＝BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由AB＝AC，得∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即 ∠A＝36°．]
2．D[提示：△ABD，△ACD
6、，△AOD，△BOC都是等腰三角形．]
3．A[提示：由DE平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC，得∠ADE＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6 cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm)．]
4．B［提示：利用等邊三角形的判定定理可知①②④為等邊三角形，③為等腰三角形．]
5．三角形中沒有大于或等于60°的角(或三角形的所有內(nèi)角都小于60°)
6．108°[提示：畫出圖形，利用三角形內(nèi)角和求解．]
7．證明：(1)在△ABC和△ADC中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC． (2)由(1)知AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝
7、AO，∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD．
8．解：(1)過點(diǎn)A作BC的垂線，不一定過BC的中點(diǎn)，如果連接點(diǎn)A和BC中點(diǎn)D，則AD與BC不一定垂直． (2)證明：作△ABC的角平分線AD，則∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC．
9．(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°．在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE．在△ABF與△DAE中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(AAS)．(2)EF＝AF－BF (3)△AB
8、F≌△DAE EF＝BF－AF
10．證明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝ 90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠1．又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等邊對(duì)等角)．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角對(duì)等邊)，∴△ABC是等腰三角形．
11．證明：FE⊥AC于點(diǎn)E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴∠F+∠ECF＝90°．又∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠A+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F．在△ABC和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，∴△ABC≌△FCE，∴AB＝FC．
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