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1、2019-2020年高二數(shù)學(xué)下11.3《兩條直線位置關(guān)系》教案（1）滬教版
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本小節(jié)的內(nèi)容大致可以分為兩部分：一是兩條直線的交點、位置關(guān)系；二是兩條直線的夾角.預(yù)計需要三課時:第一課時,兩條直線的交點和位置關(guān)系;第二課時,兩條直線的夾角;第三課時,兩直線的位置關(guān)系與夾角公式的應(yīng)用.
在初中平面幾何中研究過兩條直線的關(guān)系.在本小節(jié)的教學(xué)中，我們用代數(shù)方法，在平面直角坐標系中，研究怎樣用直線的方程來判斷兩條直線的位置關(guān)系，體現(xiàn)了解析幾何用方程研究曲線的基本思想.
本小節(jié)的重點是由直線方程求兩條直線的交點、兩條直線位置關(guān)系的判斷，以及根據(jù)直線方程求兩條直線夾角的方法.在認識直
2、線與直線方程的對應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，抓住“形與數(shù)”的對應(yīng)，理解求兩條直線的交點就是求它們的方程的公共解，將兩條直線位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二元一次方程組的解的個數(shù)問題，由此得出兩條直線的三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，對于相應(yīng)的二元一次方程組就是：有唯一解、無解、無數(shù)多個解.
然后對兩直線相交的情況作定量的研究，規(guī)定兩條相交直線所交成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角，通過分析兩條相交直線的圖形的幾何性質(zhì)，聯(lián)想兩條直線的夾角與兩條直線的方向向量的夾角的關(guān)系，推導(dǎo)出兩條直線的夾角公式.
本小節(jié)的難點是啟發(fā)學(xué)生把研究兩直線的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為考查它們的方程組成的方程組的解的問題，以及兩條直線的夾角
3、公式的推導(dǎo).突破難點的關(guān)鍵是：建立新舊知識的聯(lián)系，尋找新知識的生長點，利用數(shù)形結(jié)合使學(xué)生理解“形與數(shù)”之間的聯(lián)系，以及利用數(shù)量關(guān)系處理幾何關(guān)系的方法.
對直線方程的系數(shù)中含有未知數(shù)的兩直線的位置關(guān)系的分類討論是本小節(jié)的一個重點問題，也是一個難點問題.
二、教學(xué)目標設(shè)計
理解兩條直線的交點就是它們所對應(yīng)的一次方程組的解，會求兩條相交直線的交點；掌握根據(jù)方程組解的情況判斷兩條直線平行、相交或重合的方法；理解兩條直線的位置關(guān)系在它們的方向向量及其法向量的關(guān)系上的反映，理解“形”與“數(shù)”之間的聯(lián)系.通過對兩直線位置關(guān)系的討論，運用已有知識解決新問題的能力，提高運用數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的能
4、力.
三、教學(xué)重點及難點
求兩條直線的交點，掌握判斷兩條直線的位置關(guān)系的方法；兩條直線的位置關(guān)系與相應(yīng)的方程組的解的個數(shù)之間的對應(yīng).
四、教學(xué)用具準備
多媒體設(shè)備
五、教學(xué)流程設(shè)計
六、教學(xué)過程設(shè)計
一、情境設(shè)置，導(dǎo)入新課
用大屏幕打出直角坐標系中的兩條直線，移動兩條直線，讓學(xué)生觀察這兩條直線的位置關(guān)系.
思考并回答下列問題
1、平面上兩條直線有幾種位置關(guān)系？各有什么幾何特征？解答：兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合.
從幾何特征上看：相交有唯一的公共點；平行沒有公共點；重合至少有兩個公共點，進而有無數(shù)個公共點.
［說明］通過教具演示，增強直觀性，幫助學(xué)生
5、迅速準確地發(fā)現(xiàn)兩條直線的關(guān)系，由此引出新課,為進一步的研究作好鋪墊.并指出，垂直是相交的一種特殊情況.
2、在直角坐標系中，這三種位置關(guān)系在直線方程上是怎樣體現(xiàn)的呢？
［說明］通過對已有相關(guān)知識的回顧，自然地提出此問題（暫不要學(xué)生回答），給出下面的引例，引導(dǎo)學(xué)生來到新知識的生成場景中.讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標，促進學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性.
二、學(xué)習(xí)新課
關(guān)于兩直線的交點、位置關(guān)系
1、概念引入
引例：解下列方程組：
1）；（2）
3）
'2x-6y+3=0
11
x+—
32
然后，請你回答：上述方程組所表示的兩條直線的交點個數(shù)？如果兩直線相交于一點，這一
6、點與這兩條直線的方程有何關(guān)系？
解答：由直線方程的概念，我們知道方程組（1）有唯一的解，兩條直線有且只有一個公共點為；方程組（2）有無數(shù)組解，兩條直線有無數(shù)個公共點；方程組（3）無解，兩條直線無公共點.
［說明］①啟發(fā)學(xué)生觀察，并得出如下結(jié)論：方程組（1）~（3）的解的個數(shù)與其表示的兩條直線的交點個數(shù)是相同的；方程組（1）的解就是兩條直線的交點坐標.并根據(jù)上述實例，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系②在探索概念階段,讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，使得學(xué)生對概念的認識不斷深入.
2、概念形成
一般地，設(shè)兩條直線的方
7、程分別為
:（不全為零）……①
:（不全為零）……②
兩條相交直線的交點坐標
思考并回答：如何求直線、的交點？
解答：由直線與直線方程的對應(yīng)關(guān)系，若兩條直線相交，由于交點同時在兩條直線上，則交點的坐標一定是兩個方程的唯一公共解，反之，若兩個二元一次方程只有一個公共解，那么以這個解為坐標的點必是兩條直線的交點.由此得出直線、交點的求法：
聯(lián)立與的方程:……（I）,此方程組的解，即為直線、交點.
■兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的個數(shù)之間的關(guān)系
思考并回答：由方程①②如何判斷直線、的位置關(guān)系？
解答：由引例分析、歸納出：直線、的三種位置關(guān)系：相交、平行、重合,對于直線、的方程聯(lián)立
8、的方程組是：有唯一解、無解、無數(shù)多個解．因此我們可以通過討論方程組的解的個數(shù)得出直線、的位置關(guān)系.
聯(lián)立與的方程，得方程組：???（【），此方程組的解的個數(shù)與直線、交點的個數(shù)一致?計算由方程的系數(shù)構(gòu)成的行列式:,,.則
rd
x=—
當時，方程組（I）有唯一的解為＜D，此時、相交于一點，交點坐標是.
y=―
〔D
當且中至少有一個不為零時，方程組（I）無解，此時、沒有公共點，即直線與平行.當時，方程組（I）有無窮多個解，此時、有無數(shù)多個公共點，即直線與重合
［說明］①這個問題是本節(jié)課的中心議題，應(yīng)引導(dǎo)全班學(xué)生積極思維，讓多一點學(xué)生發(fā)表意見，形成“高潮”②指出：在平面幾何中，我們
9、研究兩直線的位置關(guān)系時，不考慮兩條直線重合的情況，而在解析幾何中，由于兩個不同的方程可以表示同一條直線，我們把重合也作為兩直線的一種位置關(guān)系來研究.
■ 回到引例請學(xué)生用上述結(jié)論，判斷引例中三組直線的位置關(guān)系.
［說明］①與引例前后呼應(yīng).本環(huán)節(jié)的設(shè)計目的是使學(xué)生初步掌握判斷直線位置關(guān)系的方法：通過計算由直線方程的系數(shù)構(gòu)成的行列式、的值，判斷兩直線的平行、重合、相交.②通過引例（2）（3）指出，前提條件是直線方程為一般形式.
3、概念的辨析
■ 兩條直線的位置關(guān)系與其方程的系數(shù)之間的關(guān)系:
與相交方程組（I）有唯一解即；
與平行方程組（I）無解且中至少有一個不為零；
與重合方程組（
10、I）有無窮多解.
時，與平行或重合，即是與平行的必要非充分條件?換言之，〃；若兩條直線不重合，則//．
［說明］引導(dǎo)學(xué)生得出：①兩條直線的位置關(guān)系，可以通過計算系數(shù)構(gòu)成的行列式得到；②對易出錯的概念進行反思.
4、例題分析
例1已知直線：與：，求實數(shù)的值，使直線與平行.（補充例題）解：先把直線的方程化為一般形式：.
,由，???，解得或，
當兩方程化為與顯然平行；
當兩方程化為與兩直線重合.
?不符合，?即為所求．
［說明］①學(xué)生在練習(xí)中的“錯誤體驗”將會有助于加深記憶，將學(xué)生容易忽略的環(huán)節(jié)，設(shè)置在補充的例題練習(xí)中，以便達到強化訓(xùn)練的目的.②強調(diào)是兩直線平行的必要條件，求得的
11、字母取值可能使兩直線平行，也可能是重合，注意檢驗.
例2討論直線下列各組直線之間的位置關(guān)系.（課本p17例2）
⑴與q:（m-2）x+3my+2m=0；
（2）與.
［說明］①及時鞏固重點內(nèi)容，使學(xué)生在課堂上就能掌握同時強調(diào)規(guī)范的書寫和表達是否簡潔.通過對例題的講解，在解題步驟和方法上為學(xué)生起示范作用，并及時歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生分析、思考，以及嚴謹認真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣;②小題（2）是直線方程的點斜式，需要先化為直線方程的一般形式.
例3求經(jīng)過原點且經(jīng)過直線與直線的交點的直線方程．
解：解方程組：得，?與的交點是，設(shè)經(jīng)過原點的直線方程為，把點代入，得，所以，所求的直線方程為．
［說明］
12、例題的設(shè)計遵循了從了解到理解，從掌握到應(yīng)用，由淺入深，循序漸進的不同層次要求.
例4若三條直線：，：，：，當為何值時，三條直線不能構(gòu)成三角形？（補充例題）解:三條直線不能構(gòu)成三角形三條直線交于同一點或其中至少有兩條直線平行.
（1）若三條直線交于同一點時，
解方程組,得，即與的交點是（），把點（）代入直線的方程得．
（2）若其中至少有兩條直線平行時，
由//得：;由得:，
綜上：當或或時三條直線不能構(gòu)成三角形.
［說明］①本例為直線位置關(guān)系的綜合運用，涉及到求直線的交點及直線的平行或重合時，系數(shù)應(yīng)滿足的條件,因此，需要分類討論的思想方法.②解決三條直線交于一點的問題時，一般先求出
13、其中兩條直線的交點,再根據(jù)此交點也在第三條直線上，列式求解.
5．問題拓展
■從向量的角度，兩條直線的三種位置關(guān)系有怎樣的體現(xiàn)呢？
與的一個方向向量分別是=，=;一個法向量分別是=，=.則與有如下關(guān)系：相交不平行不垂直;
平行平行垂直；
重合平行垂直.
■三種位置關(guān)系可以用直線的斜率表示嗎？由于不是所有的直線都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分類討論.若至少有一條直線的斜率不存在，則設(shè)此直線方程為，通過圖示觀察，易知其關(guān)系.若兩直線的斜率都存在，直線方程可以化為:，:，則有
① //且；
② 和重合且；
③ 和相交.
［說明］判斷直線位置關(guān)系的方法并不唯一，可以從
14、行列式、向量、斜率三個不同角度考慮，使用時要注意方法上的選擇.一般情況，采用計算行列式的方法比較單純，這種方法更具一般性，便于使用，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點.
三、鞏固練習(xí)
練習(xí)11.3（1）
［說明］進一步強化判斷兩條直線位置關(guān)系的方法，反饋學(xué)生對知識的掌握情況，評價學(xué)生對學(xué)習(xí)目標的落實程度.
四、課堂小結(jié)
本課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識？應(yīng)當注意什么？運用了那些思想方法？
①知識點：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩條直線的位置關(guān)系的判定方法，求兩條直線的交點坐標的方法.討論了已知兩直線的位置關(guān)系，求字母系數(shù)值的方法.
解決問題時，注意區(qū)分兩條直線平行與重合滿足的條件.
②數(shù)學(xué)思想方法：類比、轉(zhuǎn)化、
15、數(shù)形結(jié)合思想，特殊到一般的方法．
[說明]引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和思想方法兩個方面進行小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識，反思、鞏固所用到的數(shù)學(xué)方法，達到鞏固知識，明確方法的目的.
五、作業(yè)布置
1、書面作業(yè)：習(xí)題11.32,3,4,5,6,7,8,9
2、思考題：設(shè)直線的方程為(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5二0，求證：不論m為何值，所給的直線經(jīng)過一定點.
[x一2y+5=0[x=3
解方法一：取m=0,1得：\久，把交點坐標(3,4)代入原方程，可知對于
[3x+y一13=0[y=4
任意m,原方程均成立,
即不論m為何值，所給的直線經(jīng)過一定點(3,4).
方法二：對于任意實數(shù)m,關(guān)于的方程
(2m+l)x+(3m一2)y-18m+5=0的解都相同
o(2x+3y—18)m+(x—2y+5)=0對于任意實數(shù)m恒成立,
得：
x一2y+5=0
2x+3y一18=0
即不論m為何值，所給的直線經(jīng)過一定點(3,4).
[說明]①作業(yè)布置1是課本習(xí)題，通過它來反饋知識掌握效果，鞏固所學(xué)知識，強化基本技能的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)；②作業(yè)布置2設(shè)計成思考題，是為了給學(xué)有余力的學(xué)生留出自由發(fā)展的空間，學(xué)生可以根據(jù)實際情況選用.
2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 11.3《兩條直線位置關(guān)系》教案(1) 滬教版
