2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十二講 方程與函數(shù)

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第十二講方程與函數(shù) 方程思想是指在解決問(wèn)題時(shí)，通過(guò)等量關(guān)系將已知與未知聯(lián)系起來(lái)，建立方程或方程組，然后運(yùn)用方程的知識(shí)使問(wèn)題得以解決的方法；函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關(guān)系，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是剔除問(wèn)題的非本質(zhì)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)研究問(wèn)題．轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系去解決． 方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問(wèn)題，也可以用函數(shù)思想討論方程問(wèn)題，在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等問(wèn)題時(shí)，常將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個(gè)數(shù)、解的分布情況等問(wèn)題時(shí)，借助函數(shù)圖象能獲得直觀簡(jiǎn)捷的解答． 【例

2、題求解】 【例1】若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍. 思路點(diǎn)撥可以利用絕對(duì)值知識(shí)討論，也可以用函數(shù)思想探討：作函數(shù)，函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，依此確定m的取值范圍. 【例2】設(shè)關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且＜1＜，那么取值范圍是() A．B．C．D． 思路點(diǎn)撥因根的表達(dá)式復(fù)雜，故把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，即求對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)滿足＜1＜的的值，注意判別式的隱含制約． 【例3】已知拋物線()與軸交于兩點(diǎn)A(,0),B(,0)(工). (1) 求的取值范圍，并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)0的左側(cè)； (2) 若拋物線與軸交于點(diǎn)C,且0A+0B=0C一

3、2,求的值. 思路點(diǎn)撥、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，于是二次函數(shù)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為二次方程問(wèn)題加以解決，利用判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的切入點(diǎn)． 【例4】拋物線y=1x2-2(m+5)x+2(m+1)與軸的正半軸交于點(diǎn)C,與軸交于A、B兩點(diǎn),并且點(diǎn)B在A的右邊，AABC的面積是A0AC面積的3倍. (1) 求這條拋物線的解析式； (2) 判斷△0BC與厶0CA是否相似，并說(shuō)明理由. 思路點(diǎn)撥綜合運(yùn)用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí),可判定對(duì)應(yīng)方程根的符號(hào)特征、兩實(shí)根 的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵?對(duì)于(1),建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對(duì)于(2)依m(xù)的值 分類討論． 【例5】已知拋物線上有一

4、點(diǎn)M(,)位于軸下方. (1) 求證：此拋物線與軸交于兩點(diǎn)； (2) 設(shè)此拋物線與軸的交點(diǎn)為A(,0),B(,0),且〈，求證：〈〈. 思路點(diǎn)撥對(duì)于(1),即要證；對(duì)于(2),即要證． 注：(1)拋物線與軸交點(diǎn)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的個(gè)數(shù)、根的符號(hào)特征、根的關(guān)系來(lái)探討需綜合運(yùn)用判別式、韋達(dá)定理等知識(shí)． (2) 對(duì)較復(fù)雜的二次方程實(shí)根分布問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)討論,基本步驟是：在直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象,由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組． (3) 一個(gè)關(guān)于二次函數(shù)圖象的命題：已知二次函數(shù)()的圖象與軸交于A(，0)，B(， 0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C. ① AABC

5、是直角三角形的充要條件是：△=. ② 厶ABC是等邊三角形的充要條件是：△= 學(xué)歷訓(xùn)練 1.已知關(guān)于的函數(shù)y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的圖象與軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是. 2. 已知拋物線與軸交于A(，0)，B(，0)兩點(diǎn)，且，則. 3. 已知二次函數(shù)y=kx2+(2k—l)x—1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x'xjxj，則對(duì)于下列結(jié)論：①當(dāng)x=—2時(shí)，y=l；②當(dāng)x>x，時(shí)，y〉0；③方程kx2+l(2k—l)x—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X］、xj④X］〈一1,x/—1；⑤X2—X］二，其中所有正確的結(jié)論(只需填寫 序號(hào)).121221 4. 設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與

6、軸交于A、B兩點(diǎn)，且線段0A與0B的長(zhǎng)的比為1：4,則=(). A.8B.—4C.1lD.—4或11 5. 已知：二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸相交于A(X],O)、Bg0)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(—,),AB=|x—x|,若=1,則b與c的關(guān)系式是() 12△APB A.b2—4c+1=0B.b2—4c—1=0 C.b2—4c+4=0D.b2—4c—4=0 6. 已知方程有一個(gè)負(fù)根而且沒(méi)有正根，那么的取值范圍是() A.>-1B.=1C.21D.非上述答案 7. 已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖，二次函數(shù)y=ax2+

7、bx+c(aMO)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C. (1) a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系？ (2) 如果線段OC的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)，試證a、c互為倒數(shù)； (3) 在(2)的條件下，如果b=—4，AB=4，求a、c的值. 八g (第7題) 8. 已知：拋物線過(guò)點(diǎn)A(一1，4)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與軸分別交于B(X],O)、C(x2，0)兩點(diǎn)(其中且<)，且. (1) 求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)； (2) 設(shè)此拋物線與軸交于D點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，若厶MBO的面積DOC面積的倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo). 9. 已知拋物線交x軸于A(，0)、B(，0)，交y軸于C

8、點(diǎn)，且V0V. ， (1)求拋物線的解析式； (2)在x軸的下方是否存在著拋物線上的點(diǎn)P,使ZAPB為銳角，若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 10. 設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，貝匸. 11. 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 12. 已知、為拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),，則的值為. 13. 是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定的取值范圍；如果沒(méi)有，試述理由． 14．設(shè)拋物線的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)． (1)求的值； (2)求的值． 15．已知以為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

9、的差的平方等于 關(guān)于的方程x2-(7n+6)x+2(n+1)(n+4)=0的一整數(shù)根，求的值. 16. 已知二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上且不過(guò)原點(diǎn)0,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一2),與軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,且滿足關(guān)系式. (1) 求二次函數(shù)的解析式； (2) 求厶ABC的面積. 17. 設(shè)是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(,0)、B(,0). (1)求證：； ⑵若A、B兩點(diǎn)之間的距離不超過(guò)，求P的最大值. 參考答案 圜方程與函數(shù) 【例題求解】 與y=mx圖象，原方程有解.即兩圖象冇交點(diǎn)，由圖象知巾20或〃<一1. 選DaHO,記丿=++(1+手&+9,則這個(gè)拋物

10、線開(kāi)口向上，因X!<10,得a<-^-且aHO； 21 Va^O,Aj-j?j2=a2>0?而寸十形=_(1_2a)=2a_]V才_(tái)1=_丁<0, ?*.X1,X2必同為負(fù)數(shù)，即點(diǎn)A(T|?O),B(XZ,0〉都在原點(diǎn)的左側(cè)? (2)由OA+OB=OC~2,得一Xi—X2=a2—2,即a2+2a—3=0,解得a=—3. 例4(1)設(shè)Ad,0),8(_12,0)山=4(加十尋『>0,(?(0,2加+2)是，軸正半軸上的點(diǎn)，則2皿+2>0,即m>~l,又

11、 >0,X]jt2=4?(w+l)>0,Aj72>Xi>0,由S^abc=3SAcmc得SaobcuASmhc， 工2=4q,由根與系數(shù)關(guān)系可得/嚴(yán)0,加2=—||， 對(duì)應(yīng)的拋物線的解析式為嚴(yán)寺宀尋工+彳曠寺嚴(yán)一尋工+石, ⑵當(dāng)m=0時(shí)‘△AOCsACOB；當(dāng)耐=一||時(shí)，△AOC與△COB不相似? 例5⑴必=擰+皿+9=(口+號(hào))2_牛<。,則￥>仏+號(hào))亠0,有卄佃>0,即拋物線"軸交于応 (2)r+上2=—P5曲=g代入心'+pin+g=y<>Vo有：乂肆一(廠+乜MoV0,(竝—zi)(工。—花)V0,故t\ 【學(xué)力訓(xùn)練】 1.一^2.23.①③④4.C5.D6.C

12、7.(l)a>0,c>0或a<0,c<0； (2)設(shè)A(g,0)‘BQ?，0),則0Vg<業(yè)..，.OA=x1，OB=x2,OC=id.由OA?OB^OC2,得ac=l； &⑴b—~2,a JL丄P (2)設(shè)A(xi,0).8(衛(wèi)，0)口1乜=疔"=_1<0,.?.j1<0,X2>0,OA=-Ti,OB=x2,OC=|c|=|a|，由麗+面二疋仔 ]64> 莊'即a?[臣一4X(-1)]=16,解得a=±5/T,c=干“,故嚴(yán)箱卡—2/-苗或y= —品去—2jt4-5/3"1 ⑶若存在滿足條件的拋物線，則OA=OB,即一Q=x2,x,+x2=0,-y=0,即6=0與⑴6=2矛盾，故不存在滿足條件的拋物線. (Dm=l,y=yxz--^j—2,(2)存在這樣的P點(diǎn)其橫坐為使ZAPB為銳角,AC-1,0),5(4,0),C(0,2),AB2+BC^AC^.^ABC為直角三角形，過(guò)A、B、C三點(diǎn)作OO】.則AB為的直徑，C點(diǎn)關(guān)于直線_r=今對(duì)稱點(diǎn)M是?與拋物線的另一交點(diǎn),M(3,-2),O0 10?由題索，得 亠“亠，耳3oQ1Q [^3X(^-)2+mX弓—2>0> 12?a+b當(dāng)x=c時(shí)?，=—