數(shù)學(xué)第二章 方程(組)與不等式(組)第5講 一次方程與方程組

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1、 第二章方程第二章方程(組組)與不等式與不等式(組組) 第第5講一次方程與方程組講一次方程與方程組考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過關(guān)過關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 等式的基本性質(zhì)及方程的相關(guān)概念等式的基本性質(zhì)及方程的相關(guān)概念 6 6年年1 1考考拓展拓展 判斷一個(gè)數(shù)值是否是方程的解的方法：(1)直接解方程；(2)把未知數(shù)的值代入方程計(jì)算，比較左右兩邊是否相等考點(diǎn)考點(diǎn)2 一元一次方程和二元一次方程一元一次方程和二元一次方程考點(diǎn)考點(diǎn)3 方程組與方程組的解方程組與方程組的解 6 6年年1 1考考提示提示 (1)注意區(qū)分未知數(shù)的個(gè)數(shù)與未知項(xiàng)的次數(shù)的區(qū)別；(2)關(guān)于未知數(shù)的個(gè)數(shù)是指方程組中共有的而不是每個(gè)方程都必須有考點(diǎn)考點(diǎn)4 一次

2、方程一次方程( (組組) )的解法的解法 6 6年年3 3考考提示提示 解一元一次方程：(1)去分母時(shí)注意不要漏乘不含分母的項(xiàng)；(2)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是“”號(hào)的，去掉括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都要變號(hào)；(3)移項(xiàng)要變號(hào)解二元一次方程組：(1)代入消元時(shí)對(duì)于代入的多項(xiàng)式注意加上括號(hào)；(2)加減消元時(shí)必須先把某一未知數(shù)的系數(shù)化為相同或相反考點(diǎn)考點(diǎn)5 一次方程一次方程( (組組) )的應(yīng)用的應(yīng)用 6 6年年5 5考考基本步驟：基本步驟：(1)審題：理解題意，弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，要求什么；(2)設(shè)元(未知數(shù))：設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量；(3)找出其中的等量關(guān)系；(4)根據(jù)

3、相等關(guān)系，列出方程；(5)解方程并檢驗(yàn)方程組的解是否符合題意并寫出答拓展拓展 (1)設(shè)未知數(shù)有兩種設(shè)法：直接未知數(shù)：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程(組)；間接未知數(shù)：有時(shí)在數(shù)量關(guān)系中一個(gè)最密切的量雖然不是要求的未知數(shù)，但是它起到關(guān)鍵的橋梁作用，設(shè)這個(gè)量為未知數(shù)，可以簡單地列出方程(組)；(2)用方程(組)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”，在尋找等量關(guān)系時(shí)可以借助圖表等，在得到方程(組)的解后，要檢驗(yàn)它是否符合實(shí)際意義典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)用類型類型1 1 解一元一次方程解一元一次方程【例1】2016賀州中考解方程： 易錯(cuò)提示 1.在去分母時(shí)漏乘不含

4、分母的項(xiàng)而錯(cuò)求x18.5；2.在去完分母后沒有適當(dāng)添加括號(hào)或添加了括號(hào)但去括號(hào)時(shí)忘記變號(hào)而錯(cuò)求x150；3.在移項(xiàng)過程中忘記變號(hào)而錯(cuò)求x16；4.在系數(shù)化為1時(shí)弄錯(cuò)了誰是除數(shù)而錯(cuò)求x .自主解答：去分母，得2x3(30 x)60.去括號(hào)，得2x903x60.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得5x150.系數(shù)化為1，得x30.301類型類型2 2 解兩元一次方程組解兩元一次方程組【例2】2017廣州中考解方程組技法點(diǎn)撥 1.當(dāng)某一個(gè)方程中有未知數(shù)的系數(shù)為1時(shí)可采用代入消元法；2.當(dāng)兩個(gè)方程中某一未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，或成整數(shù)倍時(shí)，可以采用加減消元法；3.當(dāng)加減消元都可以時(shí)最好采用加法消元自主解答：2，

5、得2x2y10.，得y1.將y1代入，得x15.解得x4.方程組的解為類型類型3 3 一次方程一次方程( (組組) )的應(yīng)用的應(yīng)用【例3】2017安徽中考九章算術(shù)中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價(jià)各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個(gè)物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個(gè)物品的價(jià)格是多少？請(qǐng)解答上述問題思路分析：思路分析：根據(jù)這個(gè)物品的價(jià)格不變，列出一元一次方程進(jìn)行求解即可自主解答：設(shè)共有x人，根據(jù)題意得8x37x4.解得x7.8x353.答：共有7人，這個(gè)物品的價(jià)格是53元【例4】2017徐州中考

6、4月9日上午8時(shí)，2017徐州國際馬拉松賽鳴槍開跑，一名34歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同參加了比賽，下面是兩個(gè)孩子與記者的對(duì)話：根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，請(qǐng)你用方程的知識(shí)幫記者求出哥哥和妹妹的年齡思路分析：思路分析：設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據(jù)兩個(gè)孩子的對(duì)話，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論變式運(yùn)用 2017長春模擬一輛客車和一輛卡車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地，A，B兩地間的路程是多少？解：設(shè)A，B兩地間的路程為xkm.根據(jù)題意，得 1.解得x420.答：A，B兩地間的路程為

7、420km.60 x70 x技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 1.常見等量關(guān)系有比較型，求和型和公式型；2.常見問題有行程問題(路程速度時(shí)間）；工程問題（工作量工作效率工作時(shí)間);銷售問題（進(jìn)價(jià)利潤率利潤售價(jià)進(jìn)價(jià)，售價(jià)標(biāo)價(jià)折扣率）；年齡問題（每人增加的年齡是相等的）；積分問題（各種積分總和等于總積分）.六年真題六年真題全練全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 一次方程一次方程( (組組) )的解的解12014濱州，4,3分方程2x13的解是()D移項(xiàng)，得2x31.合并同類項(xiàng)，得2x4.系數(shù)化為1，得x2.A1 B. C1 D221猜押預(yù)測猜押預(yù)測 1.關(guān)于x的方程 1的解為2，則m的值是() A2.5B1C1D3B把x2代

8、入方程，得 1.解得m1.猜押預(yù)測 2.已知方程組 的解為 則ab的值為() A1 B2 C3 D4得分要領(lǐng) 1.明確方法，根據(jù)方程(組)的解的定義把未知數(shù)的值代入原方程；2.能準(zhǔn)確求出方程(組)的解22013濱州，3,3分把方程 x1變形為x2，其依據(jù)是()A等式的性質(zhì)1 B等式的性質(zhì)2C分式的基本性質(zhì) D不等式的性質(zhì)1命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 等式的基本性質(zhì)等式的基本性質(zhì)21B由 x1變形為x2是在等式的兩邊同時(shí)乘2，依據(jù)是等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等21猜押預(yù)測 3.下列選項(xiàng)中，運(yùn)用等式性質(zhì)的變形正確的是 ()A如果ab，那么acbcB如果 ，那么abC

9、如果ab，那么D如果a3，那么a23a2BA利用等式性質(zhì)1，兩邊都加c，得到acbc，故A不成立；B.利用等式性質(zhì)2，兩邊都乘以c，得到ab，故B成立；C.不成立，c必須不為0；D.a29,3a227，a23a2.猜押預(yù)測 4.下列變形不是根據(jù)等式性質(zhì)的是()A.B若ax，則xa0C若x322x，則x2x23D若 x1，則x221AA該等式的變形是根據(jù)分式的基本性質(zhì)得到的，故本選項(xiàng)符合題意；B.在等式ax的兩邊同時(shí)加上a得到0 xa，即xa0，故本選項(xiàng)不符合題意；C.在等式x322x的兩邊同時(shí)加上(2x3)得到x2x23，故本選項(xiàng)不符合題意；D.在等式 x1的兩邊同時(shí)乘以2得到x2，故本選項(xiàng)不

10、符合題意21得分要領(lǐng) 1.掌握等式性質(zhì)，性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.2.能區(qū)分等式性質(zhì)與分式性質(zhì)32015濱州，20,9分根據(jù)要求，解答下列問題(1)解下列方程組(直接寫出方程組的解即可)： 的解為_ 的解為_ 的解為_(2)以上每個(gè)方程組的解中，x值與y值的大小關(guān)系為_；(3)請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)具有以上外形特征的方程組，并直接寫出它的解命題點(diǎn)命題點(diǎn)3 3 解一次方程解一次方程( (組組) )42014濱州，19,6分請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)小題中，任選其一完成(1)解方程：(2)解方程組：解：(1)去分母，得122(

11、2x1)3(1x)去括號(hào)，得124x233x.移項(xiàng)，得4x3x3212.合并同類項(xiàng)，得7x7.系數(shù)化為1，得x1.3，得10 x20，解得x2.把x2代入，得32y7，解得y1.原方程組的解為52013濱州，19,6分請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)小題中，任選其一完成即可(1)解方程組：(2)解方程：解：(1)4，得7x35，解得x5.把x5代入，得5y4，解得y1.則原方程組的解是(2)去分母，得3(3x5)2(2x1)去括號(hào)，得9x154x2.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得5x17.系數(shù)化為1，得x .517猜押預(yù)測 5.解方程： 1x解：去分母，得2(x1)66x3(x1)去括號(hào)，得2x266x3x3.移項(xiàng)、合并同

12、類項(xiàng)，得x5.系數(shù)化為1，得x5.命題點(diǎn)命題點(diǎn)4 4 一次方程一次方程( (組組) )的應(yīng)用的應(yīng)用62017濱州93分某車間有27名工人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺母16個(gè)或螺栓22個(gè)，若分配x名工人生產(chǎn)螺栓，其他工人生產(chǎn)螺母，恰好使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母配套，則下面所列方程中正確的是()A22x16(27x) B16x22(27x)C216x22(27x) D222x16(27x)D設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺栓，則(27x)名工人生產(chǎn)螺母一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母，每人每天生產(chǎn)螺母16個(gè)或螺栓22個(gè)，可得222x16(27x)72012濱州，7,3分李明同學(xué)早上騎自行車上學(xué)，中途因道

13、路施工步行一段路，到學(xué)校共用時(shí)15分鐘他騎自行車的平均速度是250米/分鐘，步行的平均速度是80米/分鐘他家離學(xué)校的距離是2900米如果他騎車和步行的時(shí)間分別為x，y分鐘，列出的方程組是()D由“到學(xué)校共用時(shí)15分鐘”可得方程xy15.根據(jù)“騎自行車的平均速度是250米/分鐘，步行的平均速度是80米/分鐘，他家離學(xué)校的距離是2900米”可得方程250 x80y2900，兩個(gè)方程組合即可得到方程組82015濱州，18,4分某服裝廠專門安排210名工人進(jìn)行手工襯衣的縫制，每件襯衣由2個(gè)衣袖、1個(gè)衣身、1個(gè)衣領(lǐng)組成如果每人每天能夠縫制衣袖10個(gè)，或衣身15個(gè)，或衣領(lǐng)12個(gè)，那么應(yīng)該安排 名工人縫制衣

14、袖，才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領(lǐng)正好配套120設(shè)每天縫制的衣袖、衣身、衣領(lǐng)正好做成x套衣服，則縫制2x個(gè)衣袖，需 名工人；縫制衣身x個(gè)，需要 名工人；縫制衣領(lǐng)x個(gè)，需要工人 名根據(jù)共有210名工人，可以列方程 210.解得x600，則需要安排縫制衣袖的工人是 120(名)92014濱州，16,4分某公園“61”期間舉行特優(yōu)讀書游園活動(dòng)，成人票和兒童票均有較大折扣張凱、李利都隨他們的家人參加了本次活動(dòng)王斌也想去，就去打聽張凱、李利買門票花了多少錢張凱說他家去了3個(gè)大人和4個(gè)小孩，共花了38元錢；李利說他家去了4個(gè)大人和2個(gè)小孩，共花了44元錢，王斌家計(jì)劃去3個(gè)大人和2個(gè)小孩，請(qǐng)你幫他計(jì)算一

15、下，需準(zhǔn)備 元錢買門票34設(shè)大人門票每張為x元，小孩門票每張為y元，由題意，得 解得 則3x2y34.即王斌家計(jì)劃去3個(gè)大人和2個(gè)小孩，需準(zhǔn)備34元錢買門票102016濱州，20,9分某運(yùn)動(dòng)員在一場籃球比賽中的技術(shù)統(tǒng)計(jì)如表所示：注：表中出手投籃次數(shù)和投中次數(shù)均不包括罰球根據(jù)以上信息，求本場比賽中該運(yùn)動(dòng)員投中2分球和3分球各幾個(gè)技術(shù)上場時(shí)間(分鐘)出手投籃(次)投中(次)罰球得分籃板(個(gè))助攻(次)個(gè)人總得分?jǐn)?shù)據(jù)4666221011860解：設(shè)本場比賽中該運(yùn)動(dòng)員投中2分球x個(gè)，3分球y個(gè)，依題意，得解得答：本場比賽中該運(yùn)動(dòng)員投中2分球16個(gè)，3分球6個(gè)猜押預(yù)測 6.成都市為減少霧霾天氣采取了多項(xiàng)

16、措施，如對(duì)城區(qū)主干道進(jìn)行綠化現(xiàn)計(jì)劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上銀杏樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完設(shè)原有樹苗x棵，則根據(jù)題意列出方程正確的是()A5(x211)6(x1)B5(x21)6(x1)C5(x211)6xD5(x21)6xA設(shè)原有樹苗x棵，由栽樹的棵數(shù)分得的段數(shù)1，可以表示出路的長度，由路的長度相等建立方程求出其解即可設(shè)原有樹苗x棵，則路的長度為5(x211)米由題意，得5(x211)6(x1)猜押預(yù)測 7.一家商店進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元，若先請(qǐng)

17、甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付多少錢？(2)已知甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需24天，單獨(dú)請(qǐng)哪個(gè)組，商店所需費(fèi)用少？(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？請(qǐng)你幫助商店決策(可用(1)(2)問的條件及結(jié)論)解：(1)設(shè)甲組工作一天商店應(yīng)付x元，乙組工作一天商店付y元由題意，得解得答：甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付300元和140元(2)單獨(dú)請(qǐng)甲組需要的費(fèi)用為300123600(元)單獨(dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用為241403360(元)36003360，單獨(dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用少(3)請(qǐng)兩組同時(shí)裝

18、修，理由：甲單獨(dú)做，需費(fèi)用3600元，少盈利200122400(元)，相當(dāng)于損失6000元；乙單獨(dú)做，需費(fèi)用3360元，少盈利200244800(元)，相當(dāng)于損失8160元；甲乙合作，需費(fèi)用3520元，少盈利20081600(元)，相當(dāng)于損失5120元512060008160，甲乙合作損失費(fèi)用最少答：甲乙合作施工更有利于商店思路分析：(1)本題的等量關(guān)系是：甲做8天需要的費(fèi)用乙做8天需要的費(fèi)用3520元甲做6天需付的費(fèi)用乙做12天需付的費(fèi)用3480元，由此可得出方程組求出解(2)根據(jù)(1)得出的甲乙每工作一天，商店需付的費(fèi)用，然后分別計(jì)算出甲單獨(dú)做12天需要的費(fèi)用，乙單獨(dú)做24天需要的費(fèi)用，讓兩者進(jìn)行比較即可(3)本題可將每種施工方法的施工費(fèi)加上施工期間商店損失的費(fèi)用，然后將不同方案計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案