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1、最小二乘估計
教學目標：1、掌握最小二乘法的思想
2、能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程
教學重點：最小二乘法的思想
教學難點：線性回歸方程系數(shù)公式的應用
教學過程
回顧：上節(jié)課我們討論了人的身高與右手一拃長之間的線性關系，用了很多種方法來刻畫這種線性關系，但是這些方法都缺少數(shù)學思想依據(jù)。
問題1、用什么樣的線性關系刻畫會更好一些？
想法：保證這條直線與所有點都近（也就是距離最?。?。
最小二乘法就是基于這種想法。
問題2、用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會方便有效？
設直線方程為y=a+bx，樣本點A（xi，yi）
方法一、點到直線
2、的距離公式
方法二、
顯然方法二能有效地表示點A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計算，所以我們用它來表示二者之間的接近程度。
問題3、怎樣刻畫多個點與直線的接近程度？
例如有5個樣本點，其坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）與直線y=a+bx的接近程度：
從而我們可以推廣到n個樣本點：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）與直線y=a+bx的接近程度：
使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法
問題4、怎樣使達到最小值？
3、先來討論3個樣本點的情況
設有3個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個點的接近程度由下面表達式刻畫：
…………………①
整理成為關于a的一元二次函數(shù)，如下所示：
利用配方法可得
從而當時，使得函數(shù)達到最小值。
將代入①式，整理成為關于b的一元二次函數(shù)，
同樣使用配方法可以得到，當
時，使得函數(shù)達到最小值。
從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a，b，且稱直線y=a+bx為這3個樣本點的線性回歸方程。
用同樣的方法我們可以推導出n個點的線性回歸方程的系數(shù)：
4、
其中
由我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過。
例題與練習
例1 在上一節(jié)練習中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)（y）與當天氣溫（x）之間是線性相關的。數(shù)據(jù)如下表
氣溫（xi）／oC
26
18
13
10
4
-1
杯數(shù)（yi）／杯
20
24
34
38
50
64
（１） 試用最小二乘法求出線性回歸方程。[
（２） 如果某天的氣溫是－3 oC，請預測可能會賣出熱茶多少杯。
解：（1）先畫出其散點圖
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
26
20
676
520
2
18
24
324
5、432
3
13
34
169
442
4
10
38
100
380
5
4
50
16
200
6
－1
64
1
－64
合計
70
230
1286
1910
可以求得
則線性回歸方程為
y =57.557－1.648x
（2）當某天的氣溫是－3 oC時，賣出熱茶的杯數(shù)估計為：
練習1 已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經過點 ( D )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
6、（A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）
練習2 某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：
商店名稱
A
B
C
D
E
銷售額（x）/千萬元
3
5
6
7
9
利潤額（y）/百萬元
2
3
3
4
5
（１） 畫出銷售額和利潤額的散點圖；
（２） 若銷售額和利潤額具有相關關系，計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程。
解：（1）
（2）數(shù)據(jù)如下表：
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合計
30
17
200
112
可以求得b=0.5，a=0.4
線性回歸方程為：
小結
1、 最小二乘法的思想
2、 線性回歸方程的系數(shù)：
作業(yè)：P60 習題1－8 第1題
高中數(shù)學 8《最小二乘估計》教案 師大版必修3
