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1、排列組合和概率【兩年真題重溫】【2020新課標(biāo)全國】有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為( ) A B C D【答案】A【解析】由題意可知播種了1000粒，沒有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項分布，即,而，則.應(yīng)選B.【2020年高考課標(biāo)全國文】設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間0,1上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0f(x)1，可以用隨機模擬方法近似計算由曲線yf(x)及直線x0，x1，y0所圍成部分的面積S.先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間0,1上的均勻隨機數(shù)x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N個點(xi，yi)(i1
2、,2，N)再數(shù)出其中滿足yif(xi)(i1,2，N)的點數(shù)N1，那么由隨機模擬方法可得S的近似值為_【答案】【解析】由0f(x)1可知曲線yf(x)與直線x0，x1，y0圍成了一個曲邊梯形又產(chǎn)生的隨機數(shù)對在如圖所示的正方形內(nèi)，正方形的面積為1，共有N對數(shù)，即有N個點，且滿足yif(xi)(i1,2，N)的有N1個點，即在函數(shù)f(x)圖象上及下方有N1個點，所以由幾何概型的概率公式得：曲線yf(x)與x0，x1，y0圍成的面積為1命題意圖：本題主要考查二項分布的期望以及隨機變量的性質(zhì)，考查解決應(yīng)用問題的能力.【命題意圖猜想】1. 2020年高考題主要考查等可能事件的概率、相互獨立事件的概率、互
3、斥事件的概率基礎(chǔ)題目，難度較低，分清事件是什么事件是解題的關(guān)鍵；2020年理科高考題考查二項分布，也是基礎(chǔ)題，清晰二項分布的分辨能力和公式是解題的關(guān)鍵.；2020年文科高考題同教材P140的例4相類似，試題從表面來看難度較大，考生感到無從下手，其實很簡單，面積比就等于點數(shù)比通過這兩年的試題分析我們可以看出：本熱點的排列組合和概率問題往往結(jié)合在一起考查，且以概率問題為主，單純考查排列組合較少，試題難度不大，為中低檔題。2.排列與組合問題一直是高考數(shù)學(xué)的熱點內(nèi)容之一從近幾年的高考試題統(tǒng)計分析來看，對排列與組合知識的考查均以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，題型為選擇題、填空題，題量多是一道，分值為45分，屬于中檔
4、題內(nèi)容以考查排列、組合的基礎(chǔ)知識為主題目難度與課本習(xí)題難度相當(dāng)，但也有個別題目難度較大，重點考查分析、解決問題的能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法預(yù)測2020年高考，排列、組合及排列與組合的綜合應(yīng)用仍是高考的重點，同時應(yīng)注意排列、組合與概率、分布列等知識的結(jié)合，重點考查學(xué)生的運算能力與邏輯推理能力3.猜想：在2020年的高考題很可能考查單純排列組合問題，而概率問題放在解答題中涉及，試題難度不大，理科難度稍微比文科難度要大一些，命題方向為以分類思想為主。【最新考綱解讀】【回歸課本整合】1.排列數(shù)中、組合數(shù)中.(1)排列數(shù)公式 ；。 (2)組合數(shù)公式；規(guī)定，.(3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：；.2.解排列組
5、合問題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無序組合3.解排列組合問題的方法有：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。（2）間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）（3）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素
6、，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。9、獨立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨立，互不影響）P(AB)P(A) P(B) .提醒：（1）如果事件A、B獨立，那么事件A與、與及事件與也都是獨立事件；（2）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個發(fā)生的概率是1P（）1P()P().10、獨立事件重復(fù)試驗：事件A在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生了次的概率(是二項展開式的第k+1項)，其中為在一次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的概率.提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的
7、概率，關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì).在求解過程中常應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理，把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：先設(shè)事件A=“”， B=“”；列式計算；作答.11.古典概型：滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型：(1)有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的不同的基本事件只有有限
8、個；(2)等可能性：每個基本事件的發(fā)生都是等可能的古典概型中事件的概率計算如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，隨機事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A).12幾何概型區(qū)域A為區(qū)域的一個子區(qū)域，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件的區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型幾何概型的概率P(A)，其中A表示構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)表示試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的長度(面積或體積)13、解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”： 求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.
9、第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復(fù).3.解排列、組合的綜合應(yīng)用問題，要按照“先選后排”的原則進行，即一般是先將符合要求的元素取出(組合)，再對取出的元素進行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、圖形分析法要根據(jù)實際問題探索分類、分步的技巧，做到層次清楚，條理分明4.事件A的概率的計算方法，關(guān)鍵要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一，本試驗是否是等可能的；第二，本試驗的基本事件數(shù)有多少個；第三，事件A是什么？它包含的基本事件有多少回答
10、好這三個方面的問題，解題才不會出錯5幾何概型的兩個特點：一是無限性，即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是等可能性，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗的基本事件所占的總面積(總體積、長度)”之比來表示【考場經(jīng)驗分享】1切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行分類時要做到不重不漏對于復(fù)雜的計數(shù)問題，可以分類、分步綜合應(yīng)用2解決排列、組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列、組合問題主要是判斷“有序”和“
11、無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關(guān)鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序”3要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解，檢驗算法的正確與否，又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果4.幾何概型求解時應(yīng)注意：(1)對于一個具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式計算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量區(qū)域(2)由概率的幾何定義可知，在幾何概型中
12、，“等可能”一詞應(yīng)理解為對應(yīng)于每個試驗結(jié)果的點落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關(guān)5.如果題設(shè)條件比較復(fù)雜，且備選答案數(shù)字較小，可考慮利用窮舉法求解；如果試題難度較大并和其它知識聯(lián)系到一起，感覺不易求解，一般不要花費過多的時間，可通過排除法模糊確定，一般可考慮去掉數(shù)字最大和最小的答案.【新題預(yù)測演練】1.【山東省萊蕪市2020屆高三上學(xué)期期末檢測】如圖，在一花壇A，B，C，D四個區(qū)域種花，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為 A.48 B.60 C.72 D.84【答案】 D 【解析】當(dāng)A與C 同色時
13、有433=36種不同的涂法，當(dāng)A與C 不同色時有4322=48種不同的涂法，共有36+48=84.2.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，現(xiàn)從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后再從袋中任意取出一個球，求第一次為白球第二次為黑球的概率為A B C D3.【保定市2020學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】已知點滿足，集合，在集合中任取一點，則恰好取到點的概率為A、 B、 C、 D、1【答案】B【解析點所在正方形的面積為2，集合所表示的圓的面積為，所以所求概率為.4.【2020年高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測理】如圖所示，在一個邊長為
14、1的正方形AOBC內(nèi)，曲線和曲線圍成一個葉形圖（陰影部分），向正方形AOBC內(nèi)隨機投一點（該點落在正方形AOBC內(nèi)任何一點是等可能的），則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是A B. C. D. 【答案】D【解析】5.【湖北省孝感市2020學(xué)年度高中三年級第一次統(tǒng)一考試】如圖所示，在AB間有四個焊接點,若焊接點脫落，則導(dǎo)致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A、B之間電路不通,則焊接點脫落的不同情況有（）種.A.9 B. 11 C. 13 D. 15【答案】 C【解析】按照脫落的個數(shù)多少進行分類.若脫落1個，則有（1）（4）共2種；若脫落2個，有（1、4）（2、3）（1,2）（1,3）（4,2）（4,3）共6種；若脫落
15、3個，有（1,2,3）（1,2,4）（2,3,4）（1,3,4）共4種；若脫落4個，有（1,2,3,4）共1種.綜上共有2+6+4+1=13種.6.【浙江省2020年高三調(diào)研理科數(shù)學(xué)測試卷】袋中共有8個球，其中3個紅球、2個白球、3個黑球若從袋中任取3個球，則所取3個球中至多有1個紅球的概率是(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】 明確公式中表示為“從8個球取3個球，”的各種情形，表示“至多有1個紅球”的各種情形。解題的關(guān)鍵是將“至多有1個紅球”分為“有一個紅球”和“沒有紅球”兩類.7.廣東省深圳市福田區(qū)2020屆數(shù)學(xué)科(理)試題詳細解析在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概
16、率為( ).A. B. C. D.w.w.w.c.o.m 【答案】A【解析】:在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,即時,要使的值介于0到之間,需使或，區(qū)間長度為，由幾何概型知的值介于0到之間的概率為.故選A. w.w.w.c.o.m 8.【河北省唐山市2020屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)】五名志愿者去四個不同的社區(qū)參加創(chuàng)建文明城市的公益活動，每個社區(qū)至少一人，且甲、乙不能分在同一個社區(qū)，則不同的分配方法有（ ）A. 240種B. 216種C. 120種D.72種【答案】B【解析】五名志愿者分成四組，每組至少一人且甲乙不在同一組共有種，再把四組安排到四個社區(qū)，共有.9.【河北省正定中學(xué)2020學(xué)年度高三月考（數(shù)
17、學(xué)理）】如圖，設(shè)是圖中邊長為的正方形區(qū)域，是內(nèi)函數(shù)圖象下方的點構(gòu)成的區(qū)域向中隨機投一點，則該點落入中的概率為 （ ）A B C D【答案】C【解析】陰影=,.10.【山西省2020屆高三第二次四校聯(lián)考】某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正反的概率都是，構(gòu)造數(shù)列，使得，記則的概率為A. B. C. D. 12.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】在三次獨立重復(fù)試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為A BCD 【答案】C【解析】設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為，由題意有，得，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為13.（2020屆河北正定中學(xué)高三上學(xué)期第
18、二次月考）小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為【答案】A【解析】14.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試】在具有5個行政區(qū)域的地圖（如圖）上，給這5個區(qū)域著色共使用了4種不同的顏色，相鄰區(qū)域不使用同一顏色，則有 種不同的著色方法?！敬鸢浮?48【解析】依題意，一共使用了4種不同的顏色，因5塊區(qū)域，故必有2塊顏色相同.分成2類：若1,5塊顏色相同，則若2,4顏色相同，同理也有24種，故共有48種不同的著色方法.15.【2020年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試】某校要從2名男生和4名女生中選出4人擔(dān)任某游泳賽事的志愿者工作，則在選出的志愿者中，男、女生都有的概率為 .（結(jié)果有數(shù)值表示）【答案】 【解析】根據(jù)限制條件進行分類“1男3女”“2男2女”兩類情況，然后利用公式進行求解。若“1男3女”則有“2男2女”有故16.（2020屆山東實驗中學(xué)第一次診斷考試）已知函數(shù)若都是在區(qū)間0,4內(nèi)任取一個數(shù)，則的概率為_17.（2020屆無錫一中高三第一學(xué)期期初試卷）從一副沒有大小王的52張撲克牌中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃8”，事件B為“抽得為黑桃”，則事件“AB”的概率值是_（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）
2020高考數(shù)學(xué)熱點集錦 排列組合和概率
