2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集錦 排列組合和概率
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1、排列組合和概率 【兩年真題重溫】 【2020新課標(biāo)全國】有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可知播種了1000粒,沒有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項(xiàng)分布,即,而,則.應(yīng)選B. 【2020年高考課標(biāo)全國文】設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算由曲線y=f(x)及直線x=0,x=1,y=0所圍
2、成部分的面積S.先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,N).再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的點(diǎn)數(shù)N1,那么由隨機(jī)模擬方法可得S的近似值為________. 【答案】 【解析】由0≤f(x)≤1可知曲線y=f(x)與直線x=0,x=1,y=0圍成了一個(gè)曲邊梯形.又產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對在如圖所示的正方形內(nèi),正方形的面積為1,共有N對數(shù),即有N個(gè)點(diǎn),且滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的有N1個(gè)點(diǎn),即在函數(shù)f(x)圖象上及下方有N1個(gè)點(diǎn),所以由幾何概型的概率公式得:曲線y
3、=f(x)與x=0,x=1,y=0圍成的面積為×1= 命題意圖:本題主要考查二項(xiàng)分布的期望以及隨機(jī)變量的性質(zhì),考查解決應(yīng)用問題的能力. 【命題意圖猜想】 1. 2020年高考題主要考查等可能事件的概率、相互獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率.基礎(chǔ)題目,難度較低,分清事件是什么事件是解題的關(guān)鍵;2020年理科高考題考查二項(xiàng)分布,也是基礎(chǔ)題,清晰二項(xiàng)分布的分辨能力和公式是解題的關(guān)鍵.;2020年文科高考題同教材P140的例4相類似,試題從表面來看難度較大,考生感到無從下手,其實(shí)很簡單,面積比就等于點(diǎn)數(shù)比.通過這兩年的試題分析我們可以看出:本熱點(diǎn)的排列組合和概率問題往往結(jié)合在一起考查,且以概率
4、問題為主,單純考查排列組合較少,試題難度不大,為中低檔題。 2.排列與組合問題一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.從近幾年的高考試題統(tǒng)計(jì)分析來看,對排列與組合知識的考查均以應(yīng)用題的形式出現(xiàn),題型為選擇題、填空題,題量多是一道,分值為4~5分,屬于中檔題.內(nèi)容以考查排列、組合的基礎(chǔ)知識為主.題目難度與課本習(xí)題難度相當(dāng),但也有個(gè)別題目難度較大,重點(diǎn)考查分析、解決問題的能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.預(yù)測2020年高考,排列、組合及排列與組合的綜合應(yīng)用仍是高考的重點(diǎn),同時(shí)應(yīng)注意排列、組合與概率、分布列等知識的結(jié)合,重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯推理能力. 3.猜想:在2020年的高考題很可能考查單純排列組
5、合問題,而概率問題放在解答題中涉及,試題難度不大,理科難度稍微比文科難度要大一些,命題方向?yàn)橐苑诸愃枷霝橹鳌? 【最新考綱解讀】 【回歸課本整合】 1.排列數(shù)中、組合數(shù)中. (1)排列數(shù)公式 ;。 (2)組合數(shù)公式 ;規(guī)定,. (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì):①;②;③;④;⑤;⑥. 2.解排列組合問題的依據(jù)是:分類相加(每類方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是相互獨(dú)立的,一次的且每次得出的是最后的結(jié)果,只需一種方法就能完成這件事),分步相乘(一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事,各步是關(guān)聯(lián)的),有序排列,無序組合.
6、3.解排列組合問題的方法有: (1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先法(元素優(yōu)先法:先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素;位置優(yōu)先法:先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置)。 (2)間接法(對有限制條件的問題,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況去掉) (3)相鄰問題捆綁法(把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”,將特殊元素在這些位置上全排列)。 9、獨(dú)立事件:(事件A、B的發(fā)生相互獨(dú)立,互不影響)P(A?B)=P(A) ? P(B) .提醒:(1)如果事件A、B獨(dú)立,那么事件A與、與及事件與也都是獨(dú)立事件;(2)如果事件A、
7、B相互獨(dú)立,那么事件A、B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率是1-P(AB)=1-P(A)P(B);(3)如果事件A、B相互獨(dú)立,那么事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率是1-P()=1-P()P(). 10、獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn):事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生了次的概率(是二項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng)),其中為在一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率. 提醒:(1)探求一個(gè)事件發(fā)生的概率,關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì).在求解過程中常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理,把所求的事件:轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識);轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率;利用對立事件的概率,轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同
8、時(shí)發(fā)生的概率;看作某一事件在n次實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率,但要注意公式的使用條件.(2)事件互斥是事件獨(dú)立的必要非充分條件,反之,事件對立是事件互斥的充分非必要條件;(3)概率問題的解題規(guī)范:①先設(shè)事件A=“…”, B=“…”;②列式計(jì)算;③作答. 11.古典概型: 滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型: (1)有限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的不同的基本事件只有有限個(gè); (2)等可能性:每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的. 古典概型中事件的概率計(jì)算如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè),隨機(jī)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=. 12.幾何概型
9、 區(qū)域A為區(qū)域Ω的一個(gè)子區(qū)域,如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件的區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關(guān),則稱這樣的概率模型為幾何概率模型.幾何概型的概率P(A)=,其中μA表示構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積).μΩ表示試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的長度(面積或體積). 13、解決概率問題要注意“四個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)合”: ① 求概率的步驟是:第一步,確定事件性質(zhì) 即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種. 第二步,判斷事件的運(yùn)算 即是至少有一個(gè)發(fā)生,還是同時(shí)發(fā)生,分別運(yùn)用相加或相乘事件. 第三步,運(yùn)用公式求解 第四步,答,即給提出的問題有一個(gè)明確的答復(fù).
10、 3.解排列、組合的綜合應(yīng)用問題,要按照“先選后排”的原則進(jìn)行,即一般是先將符合要求的元素取出(組合),再對取出的元素進(jìn)行排列,常用的分析方法有:元素分析法、位置分析法、圖形分析法.要根據(jù)實(shí)際問題探索分類、分步的技巧,做到層次清楚,條理分明. 4.事件A的概率的計(jì)算方法,關(guān)鍵要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個(gè)方面的問題:第一,本試驗(yàn)是否是等可能的;第二,本試驗(yàn)的基本事件數(shù)有多少個(gè);第三,事件A是什么?它包含的基本事件有多少.回答好這三個(gè)方面的問題,解題才不會(huì)出錯(cuò). 5.幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn):一是無限性,即在一次試驗(yàn)中,基本事件的個(gè)數(shù)可以是無限的;二是等可
11、能性,即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的.因此,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的,同屬于“比例解法”.即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗(yàn)的基本事件所占的總面積(總體積、長度)”之比來表示. 【考場經(jīng)驗(yàn)分享】 1.切實(shí)理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行.分類時(shí)要做到不重不漏.對于復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題,可以分類、分步綜合應(yīng)用. 2.解決排列、組合問題可遵循“先組合后排列”的原則,區(qū)分排列、組合問題主要是判斷“有序”和“無序”,更重要的是弄清怎樣的算法有序,怎樣的算法無序,關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)“有序”和“無序”.
12、 3.要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合,盡可能使寫出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)相符,使復(fù)雜問題簡單化,這樣既可以加深對問題的理解,檢驗(yàn)算法的正確與否,又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果. 4.幾何概型求解時(shí)應(yīng)注意: (1)對于一個(gè)具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率,關(guān)鍵在于能否將問題幾何化;也可根據(jù)實(shí)際問題的具體情況,選取合適的參數(shù),建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,在此基礎(chǔ)上,將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn),使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量區(qū)域. (2)由概率的幾何定義可知,在幾何概型中,“等可能”一詞應(yīng)理解為對應(yīng)于每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大
13、小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比,而與該區(qū)域的位置與形狀無關(guān). 5.如果題設(shè)條件比較復(fù)雜,且備選答案數(shù)字較小,可考慮利用窮舉法求解;如果試題難度較大并和其它知識聯(lián)系到一起,感覺不易求解,一般不要花費(fèi)過多的時(shí)間,可通過排除法模糊確定,一般可考慮去掉數(shù)字最大和最小的答案. 【新題預(yù)測演練】 1.【山東省萊蕪市2020屆高三上學(xué)期期末檢測】 如圖,在一花壇A,B,C,D四個(gè)區(qū)域種花,現(xiàn)有4種不同的花供選種, 要求在每塊里種1種花,且相鄰的兩塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為 A.48 B.60 C.72 D.84 【答案】 D 【解
14、析】當(dāng)A與C 同色時(shí)有4×3×3=36種不同的涂法, 當(dāng)A與C 不同色時(shí)有4×3×2×2=48種不同的涂法,∴共有36+48=84. 2.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)白球與2個(gè)黑球,現(xiàn)從袋中任意取出一個(gè)球,取出后不放回,然后再從袋中任意取出一個(gè)球,求第一次為白球第二次為黑球的概率為 A. B. C. D. 3.【保定市2020學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】 已知點(diǎn)滿足,集合,在集合中任取一點(diǎn),則恰好取到點(diǎn)的概率為 A、 B、 C、 D、1 【答案】B 【解析點(diǎn)所在正方形的面積為2,集合所表
15、示的圓的面積為,所以所求概率為. 4.【2020年高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測理】 如圖所示,在一個(gè)邊長為1的正方形AOBC內(nèi),曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖(陰影部分),向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 5.【湖北省孝感市2020學(xué)年度高中三年級第一次統(tǒng)一考試】 如圖所示,在AB間有四個(gè)焊接點(diǎn),若焊接點(diǎn)脫落,則導(dǎo)致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A、B之間電路不通,則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有()種. A.9 B. 11 C. 13 D. 15 【
16、答案】 C 【解析】按照脫落的個(gè)數(shù)多少進(jìn)行分類.若脫落1個(gè),則有(1)(4)共2種;若脫落2個(gè),有(1、4)(2、3)(1,2)(1,3)(4,2)(4,3)共6種;若脫落3個(gè),有(1,2,3)(1,2,4)(2,3,4)(1,3,4)共4種;若脫落4個(gè),有(1,2,3,4)共1種.綜上共有2+6+4+1=13種. 6.【浙江省2020年高三調(diào)研理科數(shù)學(xué)測試卷】 袋中共有8個(gè)球,其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球、3個(gè)黑球.若從袋中任取3個(gè)球,則所取3個(gè) 球中至多有1個(gè)紅球的概率是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D
17、 【解析】 明確公式中表示為“從8個(gè)球取3個(gè)球,”的各種情形,表示“至多有1個(gè)紅球”的各種情形。解題的關(guān)鍵是將“至多有1個(gè)紅球”分為“有一個(gè)紅球”和“沒有紅球”兩類. 7.[廣東省深圳市福田區(qū)2020屆數(shù)學(xué)科(理)試題詳細(xì)解析] 在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,的值介于0到之間的概率為( ). A. B. C. D.w.w.w..c.o.m 【答案】A 【解析】:在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,即時(shí),要使的值介于0到之間,需使或,區(qū)間長度為,由幾何概型知的值介于0到之間的概率為.故選A. w.w.w..c.o.m 8.【河北省唐山市2020
18、屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)】 五名志愿者去四個(gè)不同的社區(qū)參加創(chuàng)建文明城市的公益活動(dòng),每個(gè)社區(qū)至少一人,且甲、乙不能分在同一個(gè)社區(qū),則不同的分配方法有( ) A. 240種B. 216種C. 120種D.72種 【答案】B 【解析】五名志愿者分成四組,每組至少一人且甲乙不在同一組共有種,再把四組安排到四個(gè)社區(qū),共有. 9.【河北省正定中學(xué)2020學(xué)年度高三月考(數(shù)學(xué)理)】 如圖,設(shè)是圖中邊長為的正方形區(qū)域,是內(nèi)函數(shù)圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū) 域.向中隨機(jī)投一點(diǎn),則該點(diǎn)落入中的概率為 ( ) A. B. C.
19、 D. 【答案】C 【解析】陰影=,. 10.【山西省2020屆高三第二次四校聯(lián)考】 某人拋擲一枚硬幣,出現(xiàn)正反的概率都是,構(gòu)造數(shù)列,使得 ,記.則的概率為 A. B. C. D. 12.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】 在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生一次的概率為,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為,由題意有,得,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為. 13.(20
20、20屆河北正定中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考)小波通過做游戲的方式來確定周末活 動(dòng),他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn),若此點(diǎn)到圓心的距離大于,則周末去看電影;若此 點(diǎn)到圓心的距離小于,則去打籃球;否則,在家看書,則小波周末不在家看書的概率為 【答案】A 【解析】 14.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試】 在具有5個(gè)行政區(qū)域的地圖(如圖)上,給這5個(gè)區(qū)域著色共使用了4種不同的 顏色,相鄰區(qū)域不使用同一顏色,則有 種不同的著色方法。 【答案】 48 【解析】依題意,一共使用了4種不同的顏色,因5塊區(qū)域,故必有2塊顏色相同.分成2類:若1,5塊顏色相同,則若
21、2,4顏色相同,同理也有24種,故共有48種不同的著色方法. 15.【2020年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試】 某校要從2名男生和4名女生中選出4人擔(dān)任某游泳賽事的志愿者工作,則在選出的志愿者中,男、女生都有的概率為 .(結(jié)果有數(shù)值表示) 【答案】 【解析】根據(jù)限制條件進(jìn)行分類“1男3女”“2男2女”兩類情況,然后利用公式進(jìn)行求解。若“1男3女”則有“2男2女”有故 16.(2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)第一次診斷考試)已知函數(shù)若都是在區(qū)間[0,4]內(nèi)任取一個(gè)數(shù),則的概率為_______ 17.(2020屆無錫一中高三第一學(xué)期期初試卷)從一副沒有大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取1張,事件A為“抽得紅桃8”,事件B為“抽得為黑桃”,則事件“A+B”的概率值是_____________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示).
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