湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用 高考要求 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的引申 應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比，使問(wèn)題得到整體地解決，能夠在運(yùn)算時(shí)達(dá)到運(yùn)算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視 高考中也一直重點(diǎn)考查這部分內(nèi)容 重難點(diǎn)歸納 1 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)去應(yīng)用 2 在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形 3 “巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算

2、量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)f(x)= (x<－2) (1)求f(x)的反函數(shù)f-－1(x); (2)設(shè)a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an; (3)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由 命題意圖 本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，考查學(xué)生的邏輯分析能力

3、 知識(shí)依托 本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問(wèn)題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題 錯(cuò)解分析 本題首問(wèn)考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，(2)問(wèn)以數(shù)列{}為橋梁求an,不易突破 技巧與方法 (2)問(wèn)由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列{},從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧；(3)問(wèn)運(yùn)用了函數(shù)的思想 解 (1)設(shè)y=,∵x<－2,∴x=－,即y=f－-1(x)=－ (x>0) (2)∵，∴{}是公差為4的等差數(shù)列， ∵a1=1, =+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=

4、 (3)bn=Sn+1－Sn=an+12=,由bn<,得m>, 設(shè)g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數(shù)，∴g(n)的最大值是g(1)=5, ∴m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對(duì)任意n∈N*有bn<成立 例2設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4) 命題意圖 本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力 知識(shí)依托 本題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公

5、式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列{lgan}為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解 錯(cuò)解分析 題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項(xiàng)的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計(jì)算易出錯(cuò)；而對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的地方 技巧與方法 突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對(duì)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值 解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*,依題意有 化簡(jiǎn)得 設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=lga1+lga1q2+…

6、+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1) =nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n 可見，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大 而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大 解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg, ∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列， 令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5 5 由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大 例3　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為1

7、00，求它的前3m項(xiàng)的和為_________ 解法一由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，即Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù)）將Sm=30,S2m=100代入，得 ,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210 解法二根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差數(shù)列， 從而有 2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210 解法三 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210 學(xué)生鞏

8、固練習(xí) 1 等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=－1,前n項(xiàng)和為Sn,若，則Sn等于( ) C 2 D －2 2 已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且00,S13<0 (1)求公差d的取值范圍；

9、(2)指出S1、S2、…、S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由 6 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0,由{an}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列 a,a,…,a,…為等比數(shù)列，其中b1=1,b2=5,b3=17 (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記Tn=Cb1+Cb2+Cb3+…+Cbn,求 參考答案: 1 解析 利用等比數(shù)列和的性質(zhì) 依題意，，而a1=－1,故q≠1, ∴,根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比數(shù)列， 且它的公比為q5,∴q5=－,即q=－ ∴答案 B 2 解析 解出a、b,解對(duì)數(shù)不等式即可 答案 (－∞

10、,8) 3 解析 利用S奇/S偶=得解答案 第11項(xiàng)a11=29 4 解法一 賦值法 解法二 b=aq,c=aq2,x=(a+b)=a(1+q),y=(b+c)=aq(1+q), ==2答案 2 5 (1)解 依題意有 得公差d的取值范圍為－＜d＜－3 (2)解法一 由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk為最大值的條件為 ak≥0且ak+1＜0,即∵a3=12,∴，∵d＜0, ∴2－＜k≤3－∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5 5＜k＜7 因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大 6 解 (1)由題意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2, ∵d≠0,∴a1=2d,數(shù)列{}的公比q==3, ∴=a1·3n－1 ① 又=a1+(bn－1)d= ② 由①②得a1·3n－1=·a1 ∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1 (2)Tn=Cb1+Cb2+…+Cbn =C (2·30－1)+C·(2·31－1)+…+C(2·3n－1－1) =(C+C·32+…+C·3n)－(C+C+…+C) =［(1+3)n－1］－(2n－1)= ·4n－2n+,