湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 數(shù)形結(jié)合思想

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：數(shù)形結(jié)合思想 高考要求 數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決 運用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征 重難點歸納 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 （1）集合的運算及韋恩圖

2、 （2）函數(shù)及其圖象 （3）數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲線 以形助數(shù)常用的有 借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法 以數(shù)助形常用的有 借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合 典型題例示范講解 例1設(shè)A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若CB，求實數(shù)a的取值范圍 命題意圖 本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關(guān)集合關(guān)系運算的題目 知識依托 解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C

3、 進而將CB用不等式這一數(shù)學(xué)語言加以轉(zhuǎn)化 錯解分析 考生在確定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出錯，不能分類而論 巧妙觀察圖象將是上策 不能漏掉a＜–2這一種特殊情形 技巧與方法 解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語言，進而分析條件與結(jié)論特點，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決 解 ∵y=2x+3在［–2, a］上是增函數(shù) ∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的圖象，該函數(shù)定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下 ①當–2≤a≤0時，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤

4、4} 要使CB,必須且只須2a+3≥4得a≥與–2≤a＜0矛盾 ②當0≤a≤2時，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由圖可知 必須且只需解得≤a≤2 ③當a＞2時，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}， 要使CB必須且只需 解得2＜a≤3 ④當a＜–2時，A=此時B=C=，則CB成立 綜上所述，a的取值范圍是(–∞,–2)∪［,3］ 例2已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求證 命題意圖 本題主要考查數(shù)學(xué)代數(shù)式幾何意義的轉(zhuǎn)換能力 知識依托 解決此題的關(guān)鍵在于由條件式

5、的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程 進而由A、B兩點坐標特點知其在單位圓上 錯解分析 考生不易聯(lián)想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一 如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二 技巧與方法 善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題 證明:在平面直角坐標系中，點A（cosα,sinα）與點B（cosβ, sinβ）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖 從而 ｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β) 又∵單位圓的圓心到直線l的距離 由平面幾何知識知｜

6、OA｜2–(｜AB｜)2=d2即 ∴ 例3曲線y=1+ (–2≤x≤2)與直線y=r(x–2)+4有兩個交點時，實數(shù)r的取值范圍 解析 方程y=1+的曲線為半圓， y=r(x–2)+4為過（2，4）的直線 答案 （］ 例4設(shè)f(x)=x2–2ax+2,當x∈［–1,+∞)時，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍 解法一 由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立 考查函數(shù)g(x)=x2–2ax+2–a的圖象在［–1,+∞］時位于x軸上方 如圖兩種情況 不等式的成立條件是

7、 (1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1) (2)a∈(–3,–2， 綜上所述a∈(–3,1) 解法二 由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1) 令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象 如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對應(yīng)的a值（即直線的斜率）分別為1，–3， 故直線l對應(yīng)的a∈(–3,1) 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 方程sin(x–)=x的實數(shù)解的個數(shù)是( ) A 2 B 3 C 4 D 以上均不對 2 已知f(x)=(x–a)(

8、x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β，則實數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系為( ) A α＜a＜b＜β B α＜a＜β＜b C a＜α＜b＜β D a＜α＜β＜b 3(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t為參數(shù))的最大值是 4 已知集合A={x｜5–x≥},B={x｜x2–ax≤x–a}，當AB時，則a的取值范圍是 5 設(shè)關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,π）內(nèi)有相異解α、β （1）求a的取值范圍； （2）求tan(

9、α+β)的值 6 設(shè)A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值與最小值 參考答案 1 解析 在同一坐標系內(nèi)作出y1=sin(x–)與y2=x的圖象如圖 答案 B 2 解析 a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的兩根，在同一坐標系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖所示 答案 A 3 解析 聯(lián)想到距離公式，兩點坐標為A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)點A的幾何圖形是橢圓，點B表示直線 考慮用點到直線的距離公式求解 答

10、案 4 解析 解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，畫數(shù)軸可得 答a＞3 5 解 ①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=–的圖象，知 當｜–｜＜1且–≠時，曲線與直線有兩個交點， 故a∈(–2,–)∪(–,2) ②把sinα+cosα=–a,sinβ+cosβ=–a相減得tan， 故tan(α+β)=3 6 解 ∵集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點O為圓心，a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點O′(1,)為圓心，a為半徑的圓 如圖所示 ∵A∩B≠，∴半圓O和圓O′有公共點 顯然當半圓O和圓O′外切時，a最小 a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2–2 當半圓O與圓O′內(nèi)切時，半圓O的半徑最大，即a最大 此時a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2