湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 函數(shù)圖象及圖象性質的應用

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：函數(shù)圖象及圖象性質的應用 高考要求 函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點內容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質的直觀工具,利用它的直觀性解題,可以起到化繁為簡、化難為易的作用 因此，考生要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質 重難點歸納 1 熟記基本函數(shù)的大致圖象，掌握函數(shù)作圖的基本方法 (1)描點法 列表、描點、連線；(2)圖象變換法 平移變換、對稱變換、伸縮變換等 2 高考中總是以幾類基本初等函數(shù)的圖象為基礎來考查函數(shù)圖象的 題型多以選擇與填空為主，屬于必考

2、內容之一，但近年來，在大題中也有出現(xiàn)，須引起重視 典型題例示范講解 例1對函數(shù)y=f(x)定義域中任一個x的值均有f(x+a)=f(a－x), (1)求證y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱； (2)若函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和 命題意圖 本題考查函數(shù)概念、圖象對稱問題以及求根問題 知識依托 把證明圖象對稱問題轉化到點的對稱問題 錯解分析 找不到問題的突破口，對條件不能進行等價轉化 技巧與方法 數(shù)形結合、等價轉化 (1)證明 設(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)

3、圖象上任一點，則y0=f(x0), ∵=a,　∴點(x0,y0)與(2a－x0,y0)關于直線x=a對稱，又f(a+x)=f(a－x), ∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函數(shù)的圖象上， 故y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱 (2)解 由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱， 若x0是f(x)=0的根，則4－x0也是f(x)=0的根， 若x1是f(x)=0的根，則4－x1也是f(x)=0的根， ∴x0+(4－x0)+ x1+(4－x1)=8即f(x)=0的四根之和為8

4、 例2如圖，點A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標分別是a、a+1、a+2 又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a),△A′BC′的面積為g(a) (1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達式； (2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結論 命題意圖 本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識圖能力、圖形的組合等 知識依托 充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口 錯解分析 圖形面積不會拆拼 技巧與方法 數(shù)形結合、等價轉化 解 (1)連結AA′、BB′、CC′, 則f(a)

5、=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B =(A′A+C′C)=(), g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B= ∴f(a)

6、cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax, ∴b=－3a,∵當x>2時，f(x)>0，從而有a>0,∴b＜0 學生鞏固練習 1 當a≠0時，y=ax+b和y=bax的圖象只可能是( ) 2 某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中y軸表示離學校的距離，x軸表示出發(fā)后的時間，則適合題意的圖形是( ) 3 已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，將y=f(x)的圖象向左平移1個單位，再將圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則函數(shù)F(x)

7、=f(x)－g(x)的最大值為_________ 三、解答題 4 如圖，在函數(shù)y=lgx的圖象上有A、B、C三點，它們的橫坐標分別為m,m+2,m+4(m>1) (1)若△ABC面積為S，求S=f(m); (2)判斷S=f(m)的增減性 5 如圖，函數(shù)y=|x|在x∈［－1,1］的圖象上有兩點A、B，AB∥Ox軸，點M(1，m)(m∈R且m>)是△ABC的BC邊的中點 (1)寫出用B點橫坐標t表示△ABC面積S的函數(shù)解析式S=f(t); (2)求函數(shù)S=f(t)的最大值，并求出相應的C點坐標 6 已知函數(shù)f(x)是y=－1(x∈R)的反函數(shù)，函數(shù)g(

8、x)的圖象與函數(shù)y=－的圖象關于y軸對稱，設F(x)=f(x)+g(x) (1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域； (2)試問在函數(shù)F(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由 7 已知函數(shù)f1(x)=,f2(x)=x+2, (1)設y=f(x)=，試畫出y=f(x)的圖象并求y=f(x)的曲線繞x軸旋轉一周所得幾何體的表面積； (2)若方程f1(x+a)=f2(x)有兩個不等的實根，求實數(shù)a的范圍 (3)若f1(x)>f2(x－b)的解集為［－1，］，求b的值 8 設函數(shù)f(x)=x+的圖象

9、為C1，C1關于點A(2，1)對稱的圖象為C2，C2對應的函數(shù)為g(x) (1)求g(x)的解析表達式； (2)若直線y=b與C2只有一個交點，求b的值，并求出交點坐標； (3)解不等式logag(x)0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1 故選擇支B、C、D均與指數(shù)函數(shù)y=(ba)x的圖象不符合 答案 A 2 解析 由題意可知，當x=0時，y最大

10、，所以排除A、C 又一開始跑步，所以直線隨著x的增大而急劇下降 答案 D 3 解析 g(x)=2log2(x+2)(x>－2) F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2) =log2 ∵x+1>0,∴F(x)≤=－2 當且僅當x+1= ,即x=0時取等號 ∴F(x)max=F(0)=－2 4 解 (1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C (2)S=f(m)為減函數(shù) 5 解 (1)依題意，設B(t, t),A(－t, t)(t>0),C(x0,y0) ∵M是BC的中點 ∴=1,

11、 =m ∴x0=2－t,y0=2m－t 在△ABC中，|AB|=2t,AB邊上的高hAB=y0－t=2m－3t ∴S=|AB|·hAB= ·2t·(2m－3t),即f(t)=－3t2+2mt,t∈(0,1) (2)∵S=－3t2+2mt=－3(t－)2+,t∈(0,1,若，即＜m≤3, 當t=時，Smax=,相應的C點坐標是(2－, m), 若>1,即m>3 S=f(t)在區(qū)間(0，1］上是增函數(shù)， ∴Smax=f(1)=2m－3,相應的C點坐標是(1，2m－3) 6 解 (1)y=－1的反函數(shù)為f(x)=lg(－1＜x＜1 由已知得g(x)

12、=,∴F(x)=lg+,定義域為(－1，1) (2)用定義可證明函數(shù)u==－1+是(－1，1）上的減函數(shù)，且y=lgu是增函數(shù) ∴f(x)是(－1，1）上的減函數(shù)，故不存在符合條件的點A、B 7 解 (1）y=f(x)=的圖像如圖所示 y=f(x)的曲線繞x軸旋轉一周所得幾何體是由一個半徑為1的半球及底面半徑和高均為1的圓錐體組成， 其表面積為(2+)π (2)當f1(x+a)=f2(x)有兩個不等實根時，a的取值范圍為2－＜a≤1 (3)若f1(x)>f2(x－b)的解集為［－1，］，則可解得b= 8 (1)g(x)=x－2+ (2)b=4時，交點為(5，4)；b=0時，交點為(3，0) (3)不等式的解集為{x|4＜x＜或x>6