湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 分類討論思想

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1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：分類討論思想 高考要求 分類討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決 分類討論題覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論 ” 重難點(diǎn)歸納 分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡(jiǎn)的原則 分類討論常見的依據(jù)是 1 由概念內(nèi)涵分類 如絕對(duì)值、直線的斜率、指數(shù)

2、對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類 2 由公式條件分類 如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等 3 由實(shí)際意義分類 如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)用問題也需分類討論 在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡(jiǎn)化甚至避開討論 典型題例示范講解 例1已知{an}是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和 （1）用Sn表示Sn+1; （2）是否存在自然數(shù)c和k，使得成立 命題意圖 本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識(shí)以及探索和論證存在性問題的能力

3、 知識(shí)依托 解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡(jiǎn)單的分式不等式；數(shù)列的基本性質(zhì) 錯(cuò)解分析 第2問中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，不能確定出 技巧與方法 本題屬于探索性題型，是高考試題的熱點(diǎn)題型 在探討第2問的解法時(shí)，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運(yùn)用分類討論的思想 即對(duì)雙參數(shù)k,c輪流分類討論，從而獲得答案 解 （1）由Sn=4(1–），得，(n∈N*) （2）要使，只要因?yàn)? 所以，(k∈N*)故只要Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*） 因?yàn)镾k+1＞Sk，(k∈N*) ① 所以Sk–2≥S1–2=1 又Sk＜4，故要使①成立，c

4、只能取2或3 當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾1=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立 當(dāng)k≥2時(shí)，因?yàn)?，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得Sk–2＜Sk+1–2 故當(dāng)k≥2時(shí)，Sk–2＞c，從而①不成立 當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾1=2，S2=3， 所以當(dāng)k=1，k=2時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立 因?yàn)橛諷k–2＜Sk+1–2所以當(dāng)k≥3時(shí)，Sk–2＞c從而①成立 綜上所述，不存在自然數(shù)c,k,使成立 例2給出定點(diǎn)A（a,0)（a＞0）和直線l x=–1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C 求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系

5、 命題意圖 本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識(shí)，分類討論的思想方法 綜合性較強(qiáng)，解法較多，考查推理能力和綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解題的能力 知識(shí)依托 求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本方法步驟 橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本特點(diǎn) 錯(cuò)解分析 本題易錯(cuò)點(diǎn)為考生不能巧妙借助題意條件，構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式和分類討論軌跡方程表示曲線類型 技巧與方法 精心思考，發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設(shè)條件出發(fā)，探尋動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的關(guān)系式 巧妙地利用角平分線的性質(zhì) 解法一 依題意，記B（–1，b)，(b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=–bx 設(shè)點(diǎn)C(x,y)

6、，則有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得｜y｜= ① 依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有 由x–a≠0，得 ② 將②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，則 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a) 若y=0則b=0,∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式 綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a (i)當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程化為y2=x(0≤x＜1 ③ 此時(shí)方程③表示拋物線弧段； (ii)

7、當(dāng)a≠1，軌跡方程化為 ④ 所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程④表示橢圓弧段； 當(dāng)a＞1時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段 解法二如圖, 設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，E是垂足 （i）當(dāng)｜BD｜≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得 ∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD ∴2∠COA=π–∠BOD ∴ ∵ ∴整理，得 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a) (ii)當(dāng)｜BD｜=0時(shí)，∠BOA=π，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)，滿足上式 綜合(i)、(ii)，得點(diǎn)C的軌跡

8、方程為 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)以下同解法一 解法三 設(shè)C(x,y)、B(–1,b)， 則BO的方程為y=–bx，直線AB的方程為 ∵當(dāng)b≠0時(shí)，OC平分∠AOB，設(shè)∠AOC=θ, ∴直線OC的斜率為k=tanθ,OC的方程為y=kx于是 又tan2θ=–b ∴–b= ① ∵C點(diǎn)在AB上 ∴ ② 由①、②消去b，得 ③ 又代入③，有整理得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④ 當(dāng)b=0時(shí)，即B點(diǎn)在x軸上時(shí)，C(0,0)滿足上式 a≠1時(shí)，④式變?yōu)? 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，④表示橢圓弧段；當(dāng)a＞1時(shí)

9、，④表示雙曲線一支的弧段； 當(dāng)a=1時(shí)，④表示拋物線弧段 例3若函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，則a的取值為 解析 即f(x)=(a–1)x2+ax–=0有解 當(dāng)a–1=0時(shí)，滿足 當(dāng)a–1≠0時(shí)，只需Δ=a2–(a–1)＞0 答案 或a=1 例 4 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)求函數(shù)f(x)的最小值 解 (1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù) 當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1 f

10、(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a) 此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) （2）①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2–x+a+1=(x–)2+a+ 若a≤，則函數(shù)f(x)在(–∞,a］上單調(diào)遞減 從而函數(shù)f(x)在（–∞,a上的最小值為f(a)=a2+1 若a＞，則函數(shù)f(x)在（–∞,a上的最小值為f()=+a，且f()≤f(a) ②當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+ 若a≤–，則函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(–)=–a，且f(–)≤f(a)； 若a＞–，則函數(shù)f(x)在［a,+∞)單調(diào)遞增 從而函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a2+1 綜上，當(dāng)a≤–時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為–a； 當(dāng)–＜a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1； 當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a+