湖南省2020年高考數學第二輪復習 專題三 三角函數及解三角形第1講 三角函數的圖象與性質 理

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1、專題三　三角函數及解三角形第1講　三角函數的圖象與性質 真題試做 1．(2020·湖南高考，理6)函數f(x)＝sin x－cos的值域為(　　)． A．[－2,2] B．[－，] C．[－1,1] D. 2．(2020·大綱全國高考，理14)當函數y＝sin x－cos x(0≤x<2π)取得最大值時，x＝__________. 3．(2020·山東高考，理17)已知向量m＝(sin x,1)，n＝(A>0)，函數f(x)＝m·n的最大值為6. (1)求A； (2)將函數y＝f(x)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來

2、的倍，縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的值域． 4．(2020·重慶高考，理18)設f(x)＝4cossin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω>0. (1)求函數y＝f(x)的值域； (2)若f(x)在區(qū)間上為增函數，求ω的最大值． 考向分析 三角函數的圖象與性質是高考考查的重點及熱點內容，主要從以下三個方面進行考查： 1．三角函數的概念與誘導公式，主要以選擇、填空題的形式為主． 2．三角函數的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定函數解析式問題，主要以選擇、填空題的形式考查，有時也會出現大題． 3．三角函數的性質，通常是給出函數解析式，先進行三角變換

3、，將其轉化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性質，或知道某三角函數的圖象或性質求其解析式，再研究其他性質，既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題． 熱點例析 熱點一　三角函數的概念 已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 規(guī)律方法 當已知角的終邊所經過的點或角的終邊所在的直線固定時，通常先根據任意角三角函數的定義求這個角的三角函數． 特別提醒：(1)當角的終邊經過的點不固定時，需要進行分類討論，特別是當角的終邊在過坐標原點的一條直線上時，根據定義求三角函數

4、值時，要把這條直線看做兩條射線，分別求解． (2)在利用誘導公式和同角三角函數關系式時，一定要特別注意符號．一定要理解“奇變偶不變，符號看象限”的意思；同角三角函數的平方關系中，開方后的符號要根據角所在的象限確定． 變式訓練1 (2020·福建莆田高三質檢，11)已知角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓交點的橫坐標是－，若α (0，π)，則tan α＝__________. 熱點二　三角函數圖象及解析式 如圖，根據函數的圖象，求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的解析式． 規(guī)律方法由部分圖象確定函數解析式問題解決的關鍵在于確定參數A

5、，ω，φ，其基本方法是在觀察圖象的基礎上，利用待定系數法求解．若設所求解析式為y＝Asin(ωx＋φ)，則在觀察圖象的基礎上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ.(1)一般可由圖象上的最大值、最小值來確定|A|，或代入點的坐標解關于A的方程；(2)因為T＝，所以往往通過求周期T來確定ω.可通過已知曲線與x軸的交點確定周期T，或者相鄰的兩個最高點與最低點之間的距離為；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T；(3)從尋找五點法中的第一零點(也叫初始點)作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一零點的位置，或者在五點中找兩個特殊點列方程組解出φ；(4)代入點的坐標，通過解三角方程，再結合圖象確定ω，φ.

6、 特別提醒：求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，最難的是求φ，第一零點常常用來求φ，只要找準第一零點的橫坐標，列方程就能求出φ.若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，可用誘導公式變換，使其符合要求． 變式訓練2 (2020·福建泉州質檢，8)右圖所示的是函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)圖象的一部分，則其函數解析式是(　　)． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 熱點三　三角函數圖象變換 (2020·四川綿陽高三三診，10)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可由函

7、數y＝cos x的圖象(縱坐標不變)(　　)． A．先把各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位 B．先把各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位 C．先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位 D．先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位 規(guī)律方法圖象變換理論： (1)平移變換 ①沿x軸平移，按“左加右減”法則； ②沿y軸平移，按“上加下減”法則； (2)伸縮變換 ①沿x軸伸縮時，橫坐標x伸長(0<ω<1)或縮短(ω>1)為原來的(縱坐標y不變)； ②沿y軸伸縮時，縱坐標y伸長(A>1)或縮短(0

8、特別提醒：對于圖象的平移和伸縮變換都要注意對應解析式是在x或在y的基礎上改變了多少，尤其當x與y前的系數不為1時一定要將系數提出來再判斷． 變式訓練3 要得到y(tǒng)＝cos的圖象，只需將y＝sin 2x的圖象(　　)． A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 熱點四　三角函數圖象與性質的綜合應用 (2020·上海浦東新區(qū)模擬，19)已知函數f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x. (1)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)將函數y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，得到函數y＝g(x)的圖象，求方程g(

9、x)＝1的解． 規(guī)律方法求解三角函數的奇偶性、對稱性、周期、最值、單調區(qū)間等問題時，通常要運用各種三角函數公式，通過恒等變換(降冪、輔助角公式應用)將其解析式化為y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，且A＞0，ω≠0)的形式，再研究其各種性質． 有關常用結論與技巧： (1)我們往往運用整體換元法來求解單調性與對稱性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，且A≠0，ω≠0)的單調區(qū)間時一定要注意ω的取值情況，若ω＜0，則最好用誘導公式轉化為－ω＞0后再去求解，否則極易出錯． (2)①函數y＝Asin(ωx＋φ)，xR是奇函

10、數?φ＝kπ(kZ)，是偶函數?φ＝kπ＋(kZ)； ②函數y＝Acos(ωx＋φ)，xR是奇函數?φ＝kπ＋(kZ)，是偶函數?φ＝kπ(kZ)； ③函數y＝Atan(ωx＋φ)，xR是奇函數?φ＝kπ(kZ)． (3)對y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，且A＞0，ω≠0)結合函數圖象可觀察出如下幾點： ①函數圖象的對稱軸都經過函數的最值點，對稱中心的橫坐標都是函數的零點； ②相鄰兩對稱軸(對稱中心)間的距離都是半個周期； ③圖象上相鄰兩個最大(小)值點之間的距離恰好等于一個周期． 變式訓練4(2020·重慶高三模擬，17)已知函數f(x)＝

11、4sin ωxsin2＋cos 2ωx，其中ω>0. (1)當ω＝1時，求函數f(x)的最小正周期； (2)若函數f(x)在區(qū)間上是增函數，求ω的取值范圍． 思想滲透 整體代換思想——三角函數性質問題 (1)求函數的對稱軸、對稱中心； (2)求函數的單調區(qū)間． 求解時主要方法為： (1)關于函數y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的對稱性，一般可利用正弦、余弦曲線的對稱性，把ωx＋φ看成x，整體代換求得． (2)求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，且A>0，ω≠0)的單調區(qū)間的步驟如下： ①若ω>0，把ωx＋φ看成一個整體，由－＋2kπ≤ωx＋φ

12、≤＋2kπ(kZ)解得x的集合，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(kZ)解得x的集合，所得區(qū)間即為減區(qū)間． ②若ω＜0，可先用誘導公式變?yōu)閥＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數的增區(qū)間． 已知函數f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x. (1)設x＝x0是函數y＝f(x)圖象的一條對稱軸，求g(x0)的值； (2)求函數h(x)＝f(x)＋g(x)的單調遞增區(qū)間． 解：(1)由題設知f(x)＝. 因為x＝x0是函數y＝f(x)的圖象的一條對稱軸， 所以2x0＋＝kπ(kZ)，即2x0＝kπ－(

13、kZ)． 所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin. 當k為偶數時，g(x0)＝1＋sin＝1－＝； 當k為奇數時，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin 2x ＝＋ ＝＋ ＝sin＋. 當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(kZ)，即kπ－≤x≤kπ＋(kZ)時， 函數h(x)＝sin＋是增函數． 故函數h(x)的單調遞增區(qū)間是(kZ)． 1．(2020·山東青島一模，8)將函數y＝cos的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位，所得函數圖象的一條對稱軸是(　　)． A．x＝ B．x＝

14、 C．x＝π D．x＝ 2．(2020·湖北孝感二模，8)若函數y＝Asin(ωx＋φ) 在一個周期內的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點和最低點，且＝0，則A·ω＝(　　)． A.π B.π C. D.π 3．(2020·天津寶坻質檢，4)設函數f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(x)－f(－x)＝0，則(　　)． A．f(x)在上是增函數 B．f(x)在上是減函數 C．f(x)在上是增函數 D．f(x)在上是減函數 4．(2020·湖北武漢4月調研，7)已知函數f(x)＝Asi

15、n(2x＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝(　　)． A．－ B．－1 C．－ D．－ 5．已知角α的頂點在原點，始邊與x軸正半軸重合，點P(－4m,3m)(m<0)是角α終邊上一點，則2sin α＋cos α＝________. 6．已知函數f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，則f(x)的值域是__________． 7．已知函數y＝a－bcos 3x(b>0)的最大值為，最小值為－，求函數y＝－4asin 3bx的最大值和最小值． 8．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一部分如圖所示． (1)求函數f(

16、x)的解析式； (2)當x時，求函數y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應的x的值． 參考答案 命題調研·明晰考向 真題試做 1．B　解析：f(x)＝sin x－cos ＝sin x－ ＝sin x－cos x ＝ ＝sin [－，]． 故選B. 2.　解析：y＝sin x－cos x ＝2＝2sin. 當y取最大值時，x－＝2kπ＋， ∴x＝2kπ＋. 又∵0≤x<2π，∴x＝. 3．解：(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x ＝A ＝Asin. 因為A>0，由題意知A＝6. (2)由(1)f(x)＝6sin. 將函數

17、y＝f(x)的圖象向左平移個單位后得到 y＝6sin ＝6sin的圖象； 再將得到圖象上各點橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖象． 因此g(x)＝6sin. 因為x，所以4x＋. 故g(x)在上的值域為[－3,6]． 4．解：(1)f(x) ＝4sin ωx＋cos 2ωx ＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ＝sin 2ωx＋1. 因－1≤sin 2ωx≤1，所以函數y＝f(x)的值域為[1－，1＋]． (2)因y＝sin x在每個閉區(qū)間(kZ)上為增函數，故f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在每個閉區(qū)間(

18、kZ)上為增函數． 依題意知?對某個kZ成立，此時必有k＝0，于是 解得ω≤，故ω的最大值為. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 B　解析：(方法1)在角θ終邊上任取一點P(a,2a)(a≠0)， 則r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2， ∴cos 2θ＝＝， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－1＝－. (方法2)由方法1知tan θ＝＝2，cos 2θ＝＝＝－. 【變式訓練1】 －　解析：由三角函數定義可知cos α＝－， 又α (0，π)，sin α＝＝， 所以tan α＝＝－. 【例2】 解：由圖象可知A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，即＝

19、16， ∴ω＝.∴y＝2sin. 又∵點(2，－2)在曲線上，代入得 2sin＝－2， ∴sin＝－1. ∴＋φ＝2kπ－. ∴φ＝2kπ－，kZ. 又∵|φ|<π，∴k＝0時，φ＝－. ∴函數解析式為y＝2sin. 【變式訓練2】 A　解析：由圖象可知A＝1，＝－＝， ∴T＝2π.∴ω＝＝1. 又可看做“五點法”作圖的第二個點， ∴＋φ＝. ∴φ＝.∴y＝sin. 【例3】 B　解析：由題中圖象可知A＝1，＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2. 又可看做“五點法”作圖的第二個點， ∴＋φ＝.∴φ＝. ∴y＝sin. 由函數y＝cos x的圖象(縱坐標不變)上各

20、點的橫坐標縮短到原來的倍，可得y＝cos 2x的圖象，再向右平移個單位可得y＝cos2＝cos＝cos＝sin＝sin的圖象． 【變式訓練3】 A 解析：y＝cos＝sin＝sin2，故需將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度． 【例4】 解：(1)f(x)＝sin＋1， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(kZ)得：f(x)的單調遞增區(qū)間是(kZ)． (2)由已知，g(x)＝sin＋1， 由g(x)＝1，得sin＝0， ∴x＝＋(kZ)． 【變式訓練4】 解：(1)由題可知：f(x)＝4sin ωx·＋cos 2ωx＝2sin ωx＋1. 當ω＝1時，f(x)＝2sin x＋

21、1，則函數f(x)的最小正周期為2π. (2)由(1)知：f(x)＝2sin ωx＋1，欲使f(x)在上單調遞增，結合y＝2sin ωx＋1的圖象， 則有?，于是ω. 創(chuàng)新模擬·預測演練 1．D　解析：函數y＝cos的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝cos的圖象，再向左平移個單位，得函數y＝cos＝cos的圖象，令x－＝kπ，即x＝2kπ＋，kZ. 令k＝0，則x＝. 2．A　解析：由圖象可知＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2. 又M，N，＝0， ∴×－A2＝0. ∴A＝.∴A·ω＝. 3．B　解析：由f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)

22、＝sin， 又最小正周期為π， ∴ω＝＝2. f(x)＝sin. ∵f(－x)＝f(x)， ∴φ＋＝kπ＋，kZ，φ＝kπ＋，kZ. 由題意φ＝. f(x)＝sin＝cos 2x. 當0<2x<π，即0

23、 ∴2sin α＋cos α＝－. 6.　解析：當sin x≥cos x時，f(x)＝cos x，當sin x0)． 當cos 3x＝－1時，ymax＝a＋b＝，① 當cos 3x＝1時，ymin＝a－b＝－，② 由①②得 ∴y＝－4×·sin 3x＝－2sin 3x. ∴當sin 3x＝－1時，ymax＝2，當sin 3x＝1時，ymin＝－2. 8．解：(1)由圖象知A＝2，＝2T＝8＝， ∴ω＝，得f(x)＝2sin. 由×1＋φ＝φ＝. ∴f(x)＝2sin. (2)y＝2sin＋2sin ＝2sin＋2cos ＝2sin＝2cosx. ∵x， ∴x. ∴當x＝－，即x＝－時，y取最大值；當x＝－π，即x＝－4時，y取最小值－2.