江西省玉山縣一中2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理（平行班含解析）

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1、江西省玉山縣一中2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理（平行班，含解析） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可. 【詳解】 故選：B 【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題. 2.圓心在(-1,0),半徑為的圓的方程為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)圓心和半徑可直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【詳解】圓心為(-1

2、,0),半徑為， 則圓的方程為 故選：A 【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于簡(jiǎn)單題. 3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于z軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)只須將橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)變成原來(lái)的相反數(shù)，豎坐標(biāo)不變即可． 【詳解】∵在空間直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn)（3,4,5）關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣3，﹣4，5）， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征,屬于基礎(chǔ)題． 4.直線的傾斜角為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析

3、】 根據(jù)直線方程求出斜率，利用傾斜角的正切值為斜率，可得結(jié)果． 【詳解】設(shè)直線的傾斜角為θ，θ∈[0，π）． 直線化為y＝，斜率k=tanθ=-， ∴θ=150°， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題． 5.已知扇形的周長(zhǎng)為12cm，圓心角為4rad，則此扇形的弧長(zhǎng)為 （ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】 設(shè)扇形所在圓的半徑為，得到，解得，即可得到扇形的弧長(zhǎng)，得到答案. 【詳解】由題意，設(shè)扇形所在圓的半徑為，則扇形的弧長(zhǎng)為， 所以，解得，所以扇形的弧長(zhǎng)為， 故

4、選C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記扇形的弧長(zhǎng)公式，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 6.式子的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由題意可得： 本題選擇B選項(xiàng). 7.若為圓的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（???） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由垂徑定理，得AB中點(diǎn)與圓心C的連線與AB垂直，可得AB斜率k＝1，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式列式，即可得直線AB的方程. 【詳解】∵AB是圓（x﹣1）2+y2＝25的弦，圓心為C（1，0） A

5、B的中點(diǎn)P（2，﹣1）滿足AB⊥CP 因此，AB的斜率k＝, 可得直線AB的方程是y+1＝x﹣2，化簡(jiǎn)得x﹣y﹣3＝0 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查圓的弦的性質(zhì)，考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題. 8.方程表示圓，則的范圍是( 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用方程表示圓的條件,建立不等式可得m的范圍. 【詳解】若方程表示圓， 則， 解得或， 故選：D 【點(diǎn)睛】對(duì)于，有. 只有當(dāng)時(shí)，方程才表示為圓，圓心為，半徑為. 9.已知，，且都是銳角，則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】

6、【分析】 根據(jù)角都是銳角可求出cosα和sinβ，然后利用余弦的兩角和公式計(jì)算，即可得到答案. 【詳解】，是銳角，則cosα=, 且是銳角，則sinβ=， sin2β=2sinβ=, cos2β=1-2=, 則 又 則， 故選：B 【點(diǎn)睛】解答給值求角問題的一般思路：①求角的某一個(gè)三角函數(shù)值，此時(shí)要根據(jù)角的范圍合理地選擇一種三角函數(shù)；②確定角的范圍，此時(shí)注意范圍越精確越好；③根據(jù)角的范圍寫出所求的角． 10.在中，若，則的形狀是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等邊三角形 D. 不能確定 【答案】B 【解析】 【分析】 先由對(duì)數(shù)運(yùn)算得到，再利用

7、正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)即可得到答案. 【詳解】若，有，即， 由正弦定理得a=2ccosB,再由余弦定理得a=2c×, 化簡(jiǎn)可得c=b，則三角形為等腰三角形， 故選：B 【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理判斷三角形的形狀，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題. 11.一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長(zhǎng)度是( ) A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，則要求的最短路徑的長(zhǎng)為A′C﹣r（圓的半徑），計(jì)算可得結(jié)果． 【詳解】由題意可得圓心C（2，3），半徑為r＝1， 點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（﹣4，﹣

8、3）， 求得A′C＝， 則要求的最短路徑的長(zhǎng)為A′C﹣r＝﹣1， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題． 12.曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（? ??） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 寫出直線過的定點(diǎn)，化簡(jiǎn)圓的方程，利用數(shù)形結(jié)合作出圖象即可得到答案. 【詳解】由知直線過定點(diǎn)A（4，5）， 將兩邊平方得（x﹣1）2+y2＝9， 則曲線是以（1,0）為圓心，3為半徑，且位于直線x＝1右側(cè)的半圓． 當(dāng)直線過點(diǎn)（1，-3）時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

9、 此時(shí)k＝， 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與曲線相切，此時(shí)直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)， 則直線夾在兩條直線之間時(shí)滿足題意，如圖所示： 因此， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。 13.已知直線與直線互相平行，則=___________。 【答案】 【解析】 【分析】 利用直線平行的充要條件即可得出． 【詳解】直線的斜率為-a,的斜率為2， 若兩直線平行，則斜率相等即-a=2，解得a＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)滿足. 故答案為：-2 【點(diǎn)睛】本題考查直線平行的充要

10、條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 14.已知兩圓,，當(dāng)圓與圓有且僅有兩條公切線時(shí)，則r的取值范圍___________________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)圓與圓有且僅有兩條公切線，得到兩圓相交，根據(jù)，即可求解. 【詳解】由題意，兩圓和， 可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為， 因?yàn)閳A與圓有且僅有兩條公切線，所以兩圓相交， 則，即，解得. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)因?yàn)閳A與圓有且僅有兩條公切線，得到兩圓相交，列出相應(yīng)的不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 15.已知方程，則的最小值是________?。 【答

11、案】 【解析】 【分析】 的幾何意義是點(diǎn)（0,0）與圓上的點(diǎn)的距離的平方，先求得（0,0）與圓心的距離，從而得到與圓上的點(diǎn)的距離的最值. 【詳解】的幾何意義是點(diǎn)（0,0）與圓上的點(diǎn)的距離的平方， 點(diǎn)（0,0）到圓心（-1,0）的距離為1， 則點(diǎn)（0.0）到圓上點(diǎn)的距離的最小值為1-r=1-=，（r為圓的半徑） 故的最小值為 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查圓外點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最值問題，利用圓外點(diǎn)與圓心的距離加減圓半徑即可得到最大和最小值. 16.若圓上恰有2個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為_______ 【答案】或 【解析】 【分析】 若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線

12、的距離等于1，則圓心到直線的距離d滿足1＜d＜3，代入點(diǎn)到直線的距離公式，可得答案． 【詳解】由圓C的方程，可得圓心C為（0，1），半徑為2, 若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1， 則圓心C到直線的距離d滿足1＜d＜3， 由點(diǎn)到直線的距離公式可得， 解得或， 故答案為：或． 【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，其中分析出圓心到直線的距離的范圍是解答此題的關(guān)鍵． 三、解答題：共6小題，解答必須寫出必要的演算、推理過程，請(qǐng)將答案寫在答題卷的相應(yīng)位置。 17.已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且 . （1）求實(shí)數(shù)的值； （2）若，求的值. 【答案

13、】（1）3或；（2） 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，列出關(guān)于的方程，即可求解. （2）由（1）得，求得，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求解. 【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，解得或. （2）因?yàn)?，所以，所以? 又由誘導(dǎo)公式，可得. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義，以及合理應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 18.已知， (1)求； (2)求； (3)求 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 利用正弦的二倍角公式，余弦

14、和正切的兩角和公式計(jì)算即可得到答案. 【詳解】因?yàn)?，，所? （1）； （2）； （3） 【點(diǎn)睛】本題考查正弦的二倍角公式，余弦和正切的兩角和公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題. 19.已知圓經(jīng)過點(diǎn),，圓心在直線上 （1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線與圓C相切且與軸截距相等，求直線的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由已知線段AB為圓C的弦，圓心C定在弦AB的垂直平分線上，寫出線段AB垂直平分線方程，與直線聯(lián)立，即得圓心C坐標(biāo)，計(jì)算|AC|長(zhǎng)，即為圓C半徑，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況考慮：當(dāng)與坐標(biāo)軸的截距為0時(shí)，設(shè)切線方程為y＝kx；當(dāng)與坐標(biāo)軸

15、的截距不為0時(shí)，設(shè)切線方程為x+y＝b，利用圓心到直線的距離等于半徑，可得切線方程． 【詳解】（1）由題意可知AB為圓C的弦，其垂直平分線過圓心C， ∵A（0，0）和B（7，7），∴kAB＝1，線段AB垂直平分線的斜率為-1， 又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）， ∴線段AB的垂直平分線的方程為：y﹣＝-（x-），即x+y-7＝0， 又圓心在直線4x-3y＝0上，聯(lián)立得：， 解得：，即圓心C坐標(biāo)為（3，4）， ∴圓C的半徑|AC|＝5， 則圓C的方程為：（x-3）2+（y﹣4）2＝25； （2）若直線過原點(diǎn)，設(shè)切線方程為y＝kx，即kx﹣y＝0， 圓心C到切線的距離d＝， 整理

16、得：16k2+24k+9＝0，解得：k＝， 所求切線的方程為：y＝； 若截距不為0時(shí)，設(shè)圓的切線方程為：x+y＝b， 圓心C到切線的距離d＝＝r＝5，解得b＝7±5， 所求切線方程為， 綜上，所有滿足題意的切線方程有3條，分別為. 【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線方程的求法，考查圓的切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題. 20.角是的內(nèi)角，且，， （1）求角的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）在三角形中，可得，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出，進(jìn)而得到，即可求解； （2）由（1）可知，利用誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得，再由余弦的倍角公式，即可求

17、解. 【詳解】（1）由題意，角是的內(nèi)角，所以，所以， 則， 因?yàn)椋? 整理得，所以,即 又因?yàn)?，所? （2）由（1）可知，所以， 又由余弦的倍角公式， 可得. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，以及余弦的倍角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，合理利用公式化簡(jiǎn)、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 21.已知圓和直線l: (1)證明：不論取何值時(shí)，直線和圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； (2)求當(dāng)取何值時(shí)，直線被圓截得的弦最短，并求最短的弦長(zhǎng). 【答案】（1）見解析；（2）時(shí)有最短弦長(zhǎng)為. 【解析】 【分析】 1根據(jù)直線l方程

18、可知直線l恒過定點(diǎn)，求出距離小于半徑，知定點(diǎn)M在圓內(nèi)，即可得直線l與圓C必相交；2當(dāng)直線直線MC時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，求直線MC的斜率，得直線l斜率，利用垂徑定理，勾股定理求出最短弦長(zhǎng)即可． 【詳解】1證明：根據(jù)題意得：直線 即恒過點(diǎn)， 圓心，半徑為4， ， 在圓內(nèi)，則直線l與圓C必相交； 2當(dāng)直線直線MC時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短， ，則直線MC的方程為：，即， 直線l斜率為2，直線l過點(diǎn)M， 直線l方程為，即； 根據(jù)題意得：最短弦長(zhǎng)為． 即時(shí)有最短弦長(zhǎng)為. 【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查直線恒過定點(diǎn)問題，考查直線和圓相交得到的弦長(zhǎng)問題，屬于

19、基礎(chǔ)題. 22.已知圓：，直線：． （1）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值； （2）當(dāng)時(shí)，由直線上的動(dòng)點(diǎn)引圓的兩條切線，若切點(diǎn)分別為，，則在直線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】(1)；(2) 在直線上存在一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為. 【解析】 試題分析：(1)根據(jù)直線與圓相交，利用弦長(zhǎng)公式即可；(2)根據(jù)直線與圓相切的條件，列出方程進(jìn)行求解判斷. 試題解析：(1)圓的方程可化為， 故圓心為，半徑. 則圓心到直線的距離為. 又弦長(zhǎng)為，則， 即，解得. (2)當(dāng)時(shí)，圓的方程為① 則圓心為，半徑，圓與直線相離. 假設(shè)在直線上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件，設(shè)動(dòng)點(diǎn)， 由已知得PA⊥AC，PB⊥BC， 則在以為直徑的圓即②上， ①—②得，直線的方程為③ 又點(diǎn)在直線上，則，即，代入③式 得， 即直線的方程為 因?yàn)樯鲜綄?duì)任意都成立，故，得. 故在直線上存在一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系.