天津市2020屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊專題20 不等式性質(zhì)（學(xué)生版）

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1、不等式性質(zhì) 例1：比較與的大小，其中。 解：，， ∴。 說明：由例1可以看出實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)是：①； ②；③。 例2：比較與的大小，其中。 解： ∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 說明：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，通常用作差法來進(jìn)行，其一般步驟是：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方，因式分解等恒等變形手段；第三步：定號(hào)，是能確定是大于0，還是等于0，還是小于0。最后得結(jié)論。概括為“三步，—結(jié)論”，這里的“變形”一步最為關(guān)鍵。 例3：，比較與的大小。 分析：直接作差需要將與（）展開，過程復(fù)雜，式子冗長(zhǎng)，可否考慮根據(jù)兩個(gè)式子特點(diǎn)，予以變形，再作差。 解：∵=（）， ， ∴。

2、則有時(shí)，（）恒成立。 說明：有的確問題直接作差不容易判斷其符號(hào)，這時(shí)可根據(jù)兩式的特點(diǎn)考慮先變形，到比較易于判斷符號(hào)時(shí)，再作差，予以比較，如此例就是先變形后，再作差。 例4：設(shè)，比較與的大小。 解：作差， 當(dāng)時(shí)，即，∴； 當(dāng)，即時(shí)，，∴； 當(dāng)?shù)?，即或時(shí)，，∴。 說明：如本題作差，變形，變形到最簡(jiǎn)形式時(shí)，由于式中含有字母，不能定號(hào)，必須對(duì)字母根據(jù)式子具體特點(diǎn)分類討論才能定號(hào)。此時(shí)要注意分類合理恰當(dāng)。 例5：比較與的大小 分析：兩個(gè)數(shù)是冪的形式，比較大小一般采用作商法。 解： 說明：求商法比大小的變形要圍繞與1比大小進(jìn)行。 例6：設(shè)，且，比較：與的大小。 分析：比較大小一般

3、方法是求差法或求商法，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，然后確定大小。 解： 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，即， 又， 說明：求商法的基本步驟是：①求商，②變形，③與1比大小從而確定兩個(gè)數(shù)的大小. 例7：實(shí)數(shù)滿足條件：①；②；③，則有（ ） A、 B、 C、 D、 分析：先由條件②③分析出與的關(guān)系，根據(jù)條件利用①用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合比出大小。 解：∵，∴與同側(cè) ∵，∴與異側(cè) ∵∴把標(biāo)在數(shù)軸上，只有下面一種情況 由此得出，∴此題選D。 說明：比較大小時(shí)可以借助于數(shù)軸，利用推出的一些結(jié)論在數(shù)軸上標(biāo)出它們的相對(duì)位置，這樣容易看出幾個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，尤其是比較的個(gè)數(shù)較多時(shí)適用。

4、 例8：已知①；②，求：的取值范圍。 分析：此題是給代數(shù)式的字母的范圍，求另外代數(shù)式的范圍。分為兩步來進(jìn)行：先利用待定系數(shù)法將代數(shù)式用和表示；再利用不等式性質(zhì)及題目條件確定的范圍。 解：設(shè)： 由①—②2得：，：。 說明：此題的一種典型錯(cuò)誤做法，如下：，即：，：，此解法的錯(cuò)誤原因是因?yàn)榕c是兩個(gè)相互聯(lián)系，相互制約的量，而不是各自獨(dú)立的，當(dāng)取到最大值或最小值時(shí)，不一定能取到最值，所以用以上方法可能擴(kuò)大變量的范圍。避免出錯(cuò)的方法是通過待定系數(shù)法“整體代入”，見解題過程。 例9：判斷下列各命題的真假，并說明理由。 （1）若，則 （2）若，則 （3）若，則 （4）若，則 （5）若，

5、則 （6）若，則 分析：利用不等式的性質(zhì)來判斷命題的真假。 解：（1），是真命題。 （2）可用賦值法：，有，是假命題。也可這樣說明：， ∵，只能確定，但的符號(hào)無法確定，從而的符號(hào)確定不了，所以無法得到，實(shí)際上有： （3）與（2）類似，由，從而是假命題。 （4）取特殊值：有，∴是假命題。定理3的推論是同向不等式可相加，但同向不等式相減不一定成立。只有異向不等式可相減，即 （5），∴是真命題。 （6）定理4成立的條件為必須是正數(shù)。 舉反例：，則有 說明：在利用不等式的性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意性質(zhì)定理成立的條件。要說明一個(gè)命題是假命題可通過舉反例。 例10：求證：

6、 分析：把已知的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為差數(shù)的正負(fù)，再利用不等式的性質(zhì)完成推理。 證明：利用不等式的性質(zhì)，得 例11：若，則下面不等式中成立的一個(gè)是（ ） A、 B、 C、 D、 解：由不等式性質(zhì)知：成立的條件都不充分，所以選，其實(shí)正是異向不等式相減的結(jié)果。 說明：本的解法都是不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用，對(duì)于不等式的基本性質(zhì)要逐條掌握準(zhǔn)確，以便靈活應(yīng)用。 例12：若，則下面各式中恒成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 分析：本題考查是否能正確使用不等式的性質(zhì)來進(jìn)行變形，應(yīng)看到，已知條件中含有兩個(gè)內(nèi)容，即，和，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，，繼而得到且，

7、故，因此選A。 例13：若，則一定成立的不等式是（ ） A、 B、 C、 D、 分析：A錯(cuò)，當(dāng)時(shí)有；同樣B錯(cuò)；D沒有考慮各數(shù)取零和正負(fù)號(hào)的關(guān)系， 所以也不對(duì)，故選C，因?yàn)椴坏仁絻蛇呁瑫r(shí)加上一個(gè)任意數(shù)（此題是），原不等式成立。 說明：這類題可以采用特例法：令即得C成立。 例14：已知：，求證：。 分析：要證明的式子中，左右均為二項(xiàng)差，其中都有一項(xiàng)是兩字母積的形式，因此在證明時(shí)，對(duì)兩項(xiàng)積要注意性質(zhì)的使用，對(duì)兩項(xiàng)差的證明要注意使用同向加性或異向減性來處理。 證明：又∴由同向加得：。 說明：此題還可采用異向減性來處理：做這類題過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵是記準(zhǔn)性質(zhì)，并能正確地應(yīng)

8、用。 例15：已知函數(shù)滿足：，則應(yīng)滿足（ ） A、 B、 C、 D、 分析：如果能用與將“線性”表示出：，就可利用不等式的基本性質(zhì)，由、的取值范圍，推出滿足的條件。 解：∵∴ 故 由不等式的基本性質(zhì)，得 故選C。 說明： （1）也可設(shè)，由代定系數(shù)法求得，。 （2）下面的錯(cuò)誤是值得引以為戒的∵ 又∴故選A。 上述推理錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是由于將條件化為，使、的取值范圍擴(kuò)大所致。 事實(shí)上，作為點(diǎn)集與之間的關(guān)系是，如圖所示，點(diǎn)集是圖中亂世形所圍成的區(qū)域，點(diǎn)集是由平行四邊形所圍成的區(qū)域，這樣就直觀地表現(xiàn)了，揭示了上述解法的錯(cuò)誤。