四川省宜賓市一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第十七周 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 三視圖和直觀圖教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 考點(diǎn)梳理 1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念 (1)棱柱：有兩個(gè)面互相______，其余各面都是________，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相______，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱． ※注：棱柱又分為斜棱柱和直棱柱．側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱． (2)棱錐：有一個(gè)面是________，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的__________，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐． ※注：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過(guò)底面中心且與底面垂直的直線上，則這個(gè)棱錐叫做正棱錐． (

2、3)棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，叫做棱臺(tái)． ※注：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)． ※2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的性質(zhì) (1)棱柱的性質(zhì) 側(cè)棱都相等，側(cè)面是______________；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是__________的多邊形；過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是______________；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等且側(cè)面、對(duì)角面都是________． (2)正棱錐的性質(zhì) 側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的______________；棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構(gòu)成一個(gè)____________；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也構(gòu)成一個(gè)_______

3、_____；斜高、側(cè)棱及底面邊長(zhǎng)的一半也構(gòu)成一個(gè)____________；側(cè)棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長(zhǎng)的一半也構(gòu)成一個(gè)____________． (3)正棱臺(tái)的性質(zhì) 側(cè)面是全等的____________；斜高相等；棱臺(tái)的高、斜高和兩底面的邊心距組成一個(gè)____________；棱臺(tái)的高、側(cè)棱和兩底面外接圓的半徑組成一個(gè)____________；棱臺(tái)的斜高、側(cè)棱和兩底面邊長(zhǎng)的一半也組成一個(gè)______． 3．圓柱、圓錐、圓臺(tái) (1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念 分別以______的一邊、__________的一直角邊、________中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其

4、余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)． (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì) 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面分別是________、________、________；平行于底面的截面都是________． 4．球 (1)球面與球的概念 以半圓的______所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球．半圓的圓心叫做球的________． (2)球的截面性質(zhì) 球心和截面圓心的連線________截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關(guān)系為______________． 5．平行投影 在一束平行光線照射下形成的投影，叫做______

5、____．平行投影的投影線互相__________． 6．空間幾何體的三視圖、直觀圖 (1)三視圖 ①空間幾何體的三視圖是用正投影得到的，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的．三視圖包括__________、__________、__________． ②三視圖尺寸關(guān)系口訣：“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．” 長(zhǎng)對(duì)正指正視圖和俯視圖長(zhǎng)度相等，高平齊指正視圖和側(cè)(左)視圖高度要對(duì)齊，寬相等指俯視圖和側(cè)(左)視圖的寬度要相等． (2)直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，其規(guī)則是： ①在已知圖形所在空間中取水平面，在水平面內(nèi)作互相垂直的軸

6、Ox，Oy，再作Oz軸，使∠xOz＝________且∠yOz＝________． ②畫直觀圖時(shí)，把Ox，Oy，Oz畫成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所確定的平面表示水平面． ③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成____________x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同． ④已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的__________． ⑤

7、畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖． 自查自糾 1．(1)平行　四邊形　平行　(2)多邊形　三角形 2．(1)平行四邊形　全等　平行四邊形　矩形 (2)等腰三角形　直角三角形　直角三角形　 直角三角形　直角三角形 (3)等腰梯形　直角梯形　直角梯形　直角梯形 3．(1)矩形　直角三角形　直角梯形 (2)矩形　等腰三角形　等腰梯形　圓 4．(1)直徑　球心　(2)垂直于　d＝ 5．平行投影　平行 6．(1)①正(主)視圖　側(cè)(左)視圖　俯視圖 (2)①90°　90°?、?5°(或135°)　90°?、燮叫杏? ④一半 基礎(chǔ)自測(cè)　　　　　　　　　

8、　　　　　　　　　　　　　 以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是(　　) A．球的三視圖總是三個(gè)全等的圓 B．正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形 C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形 D．水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓 解：幾何體的三視圖要考慮視角，只有球無(wú)論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個(gè)全等的圓．故選A. (2020·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 解法一：由三視圖知，

9、該幾何體可以看作由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－×π×32×6＝63π. 解法二：該幾何體可以看作由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以其體積V＝π×32×7＝63π.故選B. (2020·全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14

10、 D．16 解：由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，上面是底面為等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)、直三棱柱的高、三棱錐的高均為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這2個(gè)梯形的面積之和為×2＝12，故選B. (2020·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為________． 解：由三視圖還原為如圖所示的四棱錐A-BCC1B1，易得，最長(zhǎng)的棱為AC1，且AC1＝＝＝2.故填2. (2020·山東)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________． 解：由三視圖可

11、知V＝1×2×1＋2××π×12×1＝2＋.故填2＋. 類型一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 　給出下列四個(gè)命題： ①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱； ②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐； ③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體； ④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱． 其中所有錯(cuò)誤命題的序號(hào)是(　　) A．②③④　　 B. ①②③　　 C．①②④　　 D. ①②③④ 解：認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③錯(cuò)誤，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明，故②錯(cuò)誤，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故

12、④錯(cuò)誤．故選D. 【點(diǎn)撥】解決該類題目需要準(zhǔn)確理解幾何體的定義，要真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并且學(xué)會(huì)通過(guò)反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，設(shè)法舉出一個(gè)反例即可． 　下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題： ①若有一個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ②若過(guò)兩個(gè)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱； ④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱． 其中，真命題的編號(hào)是________． 解：①顯然錯(cuò)；②正確，因兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面可得到側(cè)棱垂直于底面；③錯(cuò)，可以是斜四棱柱；④正確，對(duì)角線兩兩相

13、等，則此兩對(duì)角線所在的平行四邊形為矩形．故填②④. 類型二　空間幾何體的三視圖 　已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為(　　) 解：三視圖中正側(cè)高平齊，排除A，俯側(cè)寬相等，排除C，D.故選B. 【點(diǎn)撥】根據(jù)幾何體的直觀圖畫三視圖，要根據(jù)三視圖的畫法規(guī)則進(jìn)行．要嚴(yán)格按以下幾點(diǎn)執(zhí)行：①三視圖的安排位置，正視圖、側(cè)視圖分別放在左、右兩邊，俯視圖放在正視圖的下邊．②正俯長(zhǎng)對(duì)正，正側(cè)高平齊，俯側(cè)寬相等．③注意實(shí)虛線的區(qū)別． 　 如圖，幾何體的正視圖與側(cè)視圖都正確的是(　　) 解：側(cè)視時(shí)，看到一個(gè)矩形且不能有實(shí)對(duì)角線，

14、故A、D排除．而正視時(shí)，有半個(gè)平面是沒有的，所以應(yīng)該有一條實(shí)對(duì)角線，且其對(duì)角線位置應(yīng)為B中所示．故選B. 類型三　空間多面體的直觀圖 　已知幾何體的三視圖如圖所示，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖．(單位：cm) 解：由三視圖可知該幾何體是底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為3 cm的正六棱錐，其直觀圖如圖①所示，畫法如下： (1)畫軸：畫底面中心O′，畫x′軸，y′軸和z′軸，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°. (2)畫底面：在水平面x′O′y′內(nèi)畫邊長(zhǎng)為2 cm正六邊形的直觀圖． (3)畫高線：在O′z′上取點(diǎn)P′，使O′P′＝3 cm. (4)成圖：連接P′A′，P′B′

15、，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，去掉輔助線，并將遮住部分改為虛線，就得到如圖②所示的直觀圖． 【點(diǎn)撥】①根據(jù)三視圖可以確定一個(gè)幾何體的長(zhǎng)、寬、高，再按照斜二測(cè)畫法，建立x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，確定幾何體在x軸、y軸、z軸方向上的長(zhǎng)度，最后連線畫出直觀圖．②平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半，且平行于軸的線段平行關(guān)系不變．③原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間的關(guān)系為S′＝S. 　已知一個(gè)四棱錐的高為3，其底面用斜二測(cè)畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則此四棱錐的體積為(　　) A.

16、 B．6 C. D．2 解：因?yàn)樗睦忮F的底面直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，該正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，原圖底面的底邊長(zhǎng)為1，高為直觀圖中正方形的對(duì)角線長(zhǎng)的兩倍，即2，則原圖底面積為S＝2.因此該四棱錐的體積為V＝Sh＝×2×3＝2.故選D. 類型四　空間旋轉(zhuǎn)體的直觀圖 　 一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2.求： (1)圓臺(tái)的高； (2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)． 解：(1)O1A1＝2，OA＝5， 所以圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝＝3 cm. (2)由＝，得SA＝20 cm. 【點(diǎn)撥】用平行于底面的平面去

17、截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面(經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面)的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，設(shè)相關(guān)幾何變量列方程求解． 　一個(gè)直角梯形上底、下底和高之比為2∶4∶，將此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓臺(tái)，求這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積之比． 解：由題意可設(shè)直角梯形上底、下底和高為2x，4x，x，它們分別為圓臺(tái)的上、下底半徑和高．如圖示，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA于C，則Rt△ABC中，AC＝OA－OC＝OA－O′B＝4x－2x＝2x，BC＝O′O＝x，所以AB＝＝＝3x.所以S上∶S下∶S側(cè)＝[π(2x)2]∶[π(

18、4x)2]∶[π(2x＋4x)×3x]＝2∶8∶9. 點(diǎn)撥 1．在研究圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，主要方法就是研究它們的軸截面，這是因?yàn)樵谳S截面中容易找到這些幾何體的有關(guān)元素之間的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系． 2．建議對(duì)下列一些具有典型意義的重要空間圖形的數(shù)量關(guān)系予以推證并適當(dāng)記憶． (1)正多面體 ①正四面體就是棱長(zhǎng)都相等的三棱錐，正六面體就是正方體，連接正方體六個(gè)面的中心，可得到一個(gè)正八面體，正八面體可以看作是由兩個(gè)棱長(zhǎng)都相等的正四棱錐拼接而成． 棱長(zhǎng)為a的正四面體中： a．斜高為a；　b．高為a；　c．對(duì)棱中點(diǎn)連線長(zhǎng)為a； d．外接球的半徑為a，內(nèi)切球的半徑為a； e．

19、正四面體的表面積為a2，體積為a3. ②如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體A1-BDC1，其體積為正方體體積的. ③正方體與球有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體；二是球與正方體的十二條棱相切；三是球外接于正方體．它們的相應(yīng)軸截面如圖所示(正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R)． (2)長(zhǎng)方體的外接球 ①長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即＝2R. ②棱長(zhǎng)為a的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即a＝2R. 3．三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖

20、、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線，主視圖反映了物體的長(zhǎng)度和高度；俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；左視圖反映了物體的寬度和高度．由此得到：主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，俯左寬相等． 4．一個(gè)平面圖形在斜二測(cè)畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”． 三變：坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行線段的長(zhǎng)度改變(減半)，圖形改變． 三不變：平行性不變，與x軸平行的線段長(zhǎng)度不變，相對(duì)位置不變． 5． 對(duì)于直觀圖，除了了解斜二測(cè)畫法的規(guī)則外，還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間聯(lián)系：S′＝S，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算． 課時(shí)作業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

21、 1．一圖形的投影是一條線段，這個(gè)圖形不可能是(　　) ①線段；②直線；③圓；④梯形；⑤長(zhǎng)方體 A．①③ B．②④ C．④⑤ D．②⑤ 解：線段、圓、梯形都是平面圖形，且在有限范圍內(nèi)，投影都可能為線段；長(zhǎng)方體是三維空間圖形，其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點(diǎn)．故選D. 2．下列命題： ①若一個(gè)幾何體的三視圖是完全相同的，則這個(gè)幾何體是正方體； ②若一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體； ③若一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體； ④若一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形，則這個(gè)幾何體是圓臺(tái)． 其中真命題的個(gè)數(shù)是

22、(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解：①假命題，也可以是球；②假命題，也可以是橫放的圓柱；③是真命題；④是假命題，也可以是棱臺(tái)．故選B. 3．四個(gè)正方體按如圖所示的方式放置，其中陰影部分為我們觀察的正面，則該物體的三視圖正確的為(　　) 解：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別從幾何體的正面、左邊和上面正投影即可知B正確．故選B. 4．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 解：D選項(xiàng)的正視圖應(yīng)為如圖所示的圖形．故選D. 5．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面中面積最大的是(　

23、　) A．8 B．6 C．10 D．8 解：由三視圖可知，該幾何體的四個(gè)面都是直角三角形，面積分別為6，6，8，10，所以面積最大的是10.故選C. 6．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是(　　) A．8 cm B．6 cm C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm 解：根據(jù)直觀圖的畫法可知，在原幾何圖形中，OABC為平行四邊形，且有OB⊥OA，OB＝2，OA＝1，所以AB＝3.從而原圖的周長(zhǎng)為8.故選A. 7．一個(gè)幾何體的正視圖為一

24、個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________．(填入所有可能的幾何體前的編號(hào)) ①三棱錐 　②四棱錐 ?、廴庵?④四棱柱　 ⑤圓錐　 　⑥圓柱 解：三棱錐、四棱錐和圓錐顯然合要求，當(dāng)三棱柱的一個(gè)側(cè)面平行于水平面，底面對(duì)著觀測(cè)者時(shí)其正視圖是三角形，其余的正視圖均不是三角形．故填①②③⑤. 8．有一枚正方體骰子，每一個(gè)面都有一個(gè)英文字母，如圖所示的是從3種不同角度看同一枚骰子的情況，則與H相對(duì)的字母是________． 解：正方體的骰子共有6個(gè)面，每個(gè)面都有一個(gè)字母，從每一個(gè)圖，都可看到有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面，與標(biāo)有S的面相鄰的面共有四個(gè)，由這三個(gè)圖知這四個(gè)面分別

25、標(biāo)有字母H，E，O，d，翻轉(zhuǎn)圖②，使S面調(diào)整到正前面，則O為正下面，所以與H相對(duì)的是O.故填O. 9．如圖是截去一個(gè)角的長(zhǎng)方體，試按圖示的方向畫出其三視圖． 解：圖中幾何體的三視圖如圖所示： 10．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)． 解：設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，4r. 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得， ＝，解得 l＝9. 所以，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm. 11．在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直．該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，它們是

26、腰長(zhǎng)為6 cm的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA的長(zhǎng)度． 解：(1)該四棱錐的俯視圖為邊長(zhǎng)為6 cm的正方形，如圖，其面積為36cm2. (2)在正方形ABCD中，易得AC＝6cm，因?yàn)镻C⊥面ABCD，所以PC⊥AC. 在Rt△ACP中，PA＝＝＝6cm. 某長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線長(zhǎng)為，在該長(zhǎng)方體的正視圖中，這條對(duì)角線的投影長(zhǎng)為，在該長(zhǎng)方體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條體對(duì)角線的投影長(zhǎng)分別為a和b，求ab的最大值． 解：如圖，則有 AC1＝，DC1＝， BC1＝a，AC＝b， 設(shè)AB＝

27、x，AD＝y(tǒng)，AA1＝z，有 x2＋y2＋z2＝7，x2＋z2＝6，所以y2＝1. 因?yàn)閍2＝y(tǒng)2＋z2＝z2＋1，b2＝x2＋y2＝x2＋1，所以a＝，b＝. 所以ab＝≤＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)z2＋1＝x2＋1，即x＝z＝時(shí)，ab的最大值為4. 8．2　空間幾何體的表面積與體積 考點(diǎn)梳理 1．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 (1)直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積 S直棱柱側(cè)＝____________，S正棱錐側(cè)＝____________，S正棱臺(tái)側(cè)＝__________(其中C，C′為底面周長(zhǎng)，h為高，h′為斜高)． (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積 S圓柱側(cè)＝_______

28、_，S圓錐側(cè)＝________，S圓臺(tái)側(cè)＝________(其中r，r′為底面半徑，l為母線長(zhǎng))． (3)柱或臺(tái)的表面積等于________與__________的和，錐體的表面積等于________與__________的和． 2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積 (1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 V棱柱＝__________，V棱錐＝__________，V棱臺(tái)＝__________ (其中S，S′為底面積，h為高)． (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積 V圓柱＝__________，V圓錐＝__________，V圓臺(tái)＝__________ (其中r，r′為底面圓的半徑，h為高)． 3．球

29、的表面積與體積 (1)半徑為R的球的表面積S球＝________． (2)半徑為R的球的體積V球＝__________. 自查自糾 1．(1)Ch　Ch′　h′ (2)2πrl　πrl　π(r＋r′)l　 (3)側(cè)面積　兩個(gè)底面積　側(cè)面積　一個(gè)底面積 2．(1)Sh　Sh　h (2)πr2h　πr2h　πh 3．(1)4πR2　(2)πR3 基礎(chǔ)自測(cè) 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　 已知圓錐的正視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐體積為(　　) A. B.π C. D.π 解：易知圓錐的底面直徑為2，母線長(zhǎng)為2，則該

30、圓錐的高為＝，因此其體積是π·12×＝.故選C. (2020·天津)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為(　　) A. B．3π C．9π D．27π 解：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長(zhǎng)為.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R＝3，R＝，所以這個(gè)球的體積為R3＝×＝.故選A. (2020·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π 　 B．18π 　C．20π 　D．28π 解：由三視

31、圖知，該幾何體是個(gè)球，設(shè)球的半徑為R，則V＝×πR3＝，解得R＝2，所以它的表面積是×4π×22＋×π×22＝17π.故選A. (2020·全國(guó)卷Ⅱ)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為________． 解：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝，記長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R，則有2R＝，R＝，因此球O的表面積等于4πR2＝14π.故填14π. (2020·江蘇)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 解：設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r、高為2

32、r，所以＝＝.故填. 類型一　空間多面體的面積問(wèn)題 　(2020·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36　　　 B．54＋18　　　 C．90　　　 D．81 解：由三視圖可得該幾何體是平行六面體，上下底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，故面積都是9，前后兩個(gè)側(cè)面是平行四邊形，一邊長(zhǎng)為3，該邊上的高為6，故面積都為18，左右兩個(gè)側(cè)面是矩形，邊長(zhǎng)為3和3，故面積都為9，則該幾何體的表面積為2(9＋18＋9)＝54＋18.故選B. 【點(diǎn)撥】求解多面體的表面積，關(guān)鍵是找到其中的特

33、征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺(tái)中的直角梯形等，通過(guò)這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，通過(guò)建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解． 　若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于________． 解：由正視圖可知此三棱柱是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正三角形、側(cè)棱為1的直三棱柱．則此三棱柱的側(cè)面積為2×1×3＝6，上、下底面面積都為×22＝，所以此三棱柱的表面積為6＋2.故填6＋2. 類型二　空間旋轉(zhuǎn)體的面積問(wèn)題 　幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 解：先根據(jù)三視圖還原該幾何體的形狀，如圖所示，則該幾何體的表面積為圓錐的側(cè)

34、面積S1、圓臺(tái)的側(cè)面積S2以及底面積S3的和． 因?yàn)镾1＝·2π·2·3＝6π， S2＝π×3＝π，S3＝π·＝， 所以S＝S1＋S2＋S3＝6π＋π＋＝π.故填π. 【點(diǎn)撥】先通過(guò)三視圖分析幾何體的構(gòu)成，再找計(jì)算面積所必備的量，如高、半徑等． 　(2020·陜西)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 解：該幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，其表面積為π×12＋2×2＋×2π×1×2＝3π＋4.故選D. 類型三　空間多面體的體積問(wèn)題 　如圖，在多面體ABCDEF中，已知

35、ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　) A. B. C. D. 解：如圖，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作AM，BN垂直于EF，垂足分別為M，N，連接DM，CN，可證得DM⊥EF，CN⊥EF，則多面體ABCDEF分為三部分，即多面體的體積VABCDEF＝VAMD-BNC＋VE-AMD＋VF-BNC. 依題意知AEFB為等腰梯形． 易知Rt△DMERt△CNF，所以EM＝NF＝. 又BF＝1，所以BN＝. 作NH垂直于BC，則H為BC的中點(diǎn)，所以NH＝. 所以S△BNC＝·

36、BC·NH＝. 所以VF-BNC＝·S△BNC·NF＝， VE-AMD＝VF-BNC＝，VAMD-BNC＝S△BNC·MN＝. 所以VABCDEF＝，故選A. 【點(diǎn)撥】求空間幾何體體積的常用方法為割補(bǔ)法和等積變換法：①割補(bǔ)法：將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出柱體和錐體的體積，從而得出要求的幾何體的體積；②等積變換法：特別的，對(duì)于三棱錐，由于其任意一個(gè)面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計(jì)算的方式來(lái)求體積；利用“等積性”還可求“點(diǎn)到面的距離”． 　已知過(guò)三棱臺(tái)上底面的一邊與一條側(cè)棱平行的一個(gè)截面，它的兩個(gè)頂點(diǎn)是下底面兩邊的中點(diǎn)，棱臺(tái)被分成兩部分的體積分別為V1，V2(V

37、1＜V2)，則V1∶V2＝________. 解：設(shè)棱臺(tái)上底面△A′B′C′的面積為S′，棱臺(tái)的高為h. 由題意可知：△A′B′C′≌△DBE. 因?yàn)椤鱀BE∽△ABC，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)， 所以＝.所以S△ABC＝4S′. 所以V臺(tái)ABC-A′B′C′＝h·(S′＋＋4S′) ＝h·7S′＝h·S′. 又因?yàn)閂柱DBE-A′B′C′＝S′·h， 所以V1∶V2＝3∶4.故填3∶4. 類型四　空間旋轉(zhuǎn)體的體積問(wèn)題 　已知球的外切圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為r，R，求圓臺(tái)的體積． 解：如圖，圖①是該幾何體的直觀圖，圖②是該幾何體的軸截面平面圖． 圓臺(tái)軸截面

38、為等腰梯形，與球的大圓相切，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，AC＝AO1，BO＝BC，得梯形腰長(zhǎng)為R＋r，梯形的高即球的直徑長(zhǎng)為 OO1＝ ＝ ＝2， 所以，球的半徑為，圓臺(tái)的體積V＝π×2(r2＋rR＋R2)＝π(r2＋rR＋R2)． 【點(diǎn)撥】圓臺(tái)和球的組合體，需要將球的外切圓臺(tái)用直觀圖和軸截面圖表示出來(lái)，借助于圓外接四邊形的性質(zhì)，特別是外接四邊形是等腰梯形時(shí)，還要運(yùn)用平面幾何知識(shí)將內(nèi)切球的半徑求出來(lái)． 　(2020·全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B. C. D.

39、 解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－＝，所以，圓柱的體積V＝π×1＝，故選B. 點(diǎn)撥 1．幾何體的展開與折疊 (1)幾何體的表面積，除球以外，一般都是利用展開圖求得的，利用空間問(wèn)題平面化的思想，把一個(gè)平面圖形折疊成一個(gè)幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法． (2)多面體的展開圖 ①直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形； ②正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形； ③正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形． (3)旋轉(zhuǎn)體的展開圖 ①圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，矩形的長(zhǎng)(或?qū)?是底面圓周長(zhǎng)，寬(或長(zhǎng))是圓柱的母線長(zhǎng)； ②

40、圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑長(zhǎng)是圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)； ③圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長(zhǎng)分別為圓臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng)． 注：圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積公式S圓錐側(cè)＝cl和S圓臺(tái)側(cè)＝(c′＋c)l與三角形和梯形的面積公式在形式上相同，可將二者聯(lián)系起來(lái)記憶． 2．空間幾何體的表面積的計(jì)算方法 有關(guān)空間幾何體的表面積的計(jì)算通常是將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，這是解決立體幾何問(wèn)題常用的基本方法． (1)計(jì)算棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的表面積，可以分別求各面面積，再求和，對(duì)于直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)也可直接利用公式； (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算其側(cè)面積時(shí)需將

41、曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和； (3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理． 3．空間幾何體的體積的計(jì)算方法 (1)計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面，特別是軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解． (2)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、還臺(tái)為錐法、等積變換法(如求三棱錐的體積可靈活變換頂點(diǎn)與底面)等，它們是計(jì)算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法，應(yīng)熟練掌握． (3)利用三棱錐的“等體積性”可以解決一些點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題，即將點(diǎn)到平面的距離視為一個(gè)三棱錐的高，通過(guò)將其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助體積的不變

42、性解決問(wèn)題． 課時(shí)作業(yè) 1．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解：由三視圖可知，該幾何體為半徑為r＝1的半球體，表面積為底面圓面積加上半球面的面積，所以S＝πr2＋×4πr2＝π×12＋×4π×12＝3π.故選C. 2．已知某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該三棱錐的體積是(　　) A．1 cm3 B．2 cm3 C．3 cm3 D．6 cm3 解：由圖可知三棱錐底面積S＝×1×2＝1(cm2)，三棱錐的高h(yuǎn)＝3 cm，根據(jù)三棱錐體積公式，V＝Sh＝×1×3＝1

43、(cm3)．故選A. 3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 解：由三視圖可推知，幾何體的直觀圖如圖所示，可知AB＝6，CD＝3，PC＝3，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求幾何體的體積為××3＝9.故選B. 4．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是一個(gè)兩底長(zhǎng)分別為2和4，腰長(zhǎng)為4的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是(　　) A．6π B．12π C．18π D．24π 解：由三視圖知，該幾

44、何體為一母線長(zhǎng)等于4，上、下底底面半徑分別為1和2的圓臺(tái)．所以S側(cè)＝π×4(1＋2)＝12π.故選B. 5．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為(　　) A.π cm3 　　　　　 B.π cm3 C.π cm3 　　　　　 D.π cm3 解：由球的性質(zhì)得，球在正方體上口所截的圓的直徑為8，球心到截面圓的距離為R－2，則R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5，所以球的體積V球＝πR3＝(cm3)．故選A. 6．(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知A，B是球

45、O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 解：如圖所示，當(dāng)OC⊥面OAB時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，則VO-ABC＝VC-AOB＝×R2×R＝R3＝36，得R＝6，所以球O的表面積S＝4πR2＝144π.故選C. 7．正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為3 cm，兩底面邊長(zhǎng)分別為1 cm和5 cm，則正四棱臺(tái)的體積為________． 解：正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1如圖，O1，O是兩底面的中心， 因?yàn)锳1C

46、1＝，AC＝5，所以A1O1＝，AO＝.所以O(shè)1O＝＝1. 體積＝×1×[12＋52＋]＝×(1＋25＋5)＝(cm3)．故填. 8．如圖，半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，則球的表面積和體積分別為________，________. 解：底面中心與C′連線即為半徑，設(shè)球的半徑為R，則R2＝()2＋()2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π.故填36π；36π. 9．已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，求圓錐的底面面積． 解：如圖所示，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由題意得 解得r＝.所以底面

47、積為πr2＝π×＝. 10．(2020·廣西南寧二中高三月考)如圖為某幾何體的三視圖，求該幾何體的表面積． 解：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)四棱錐，如圖所示，CD⊥面PAD，BA⊥面PAD，PA⊥AD，PA＝AD＝CD＝2，AB＝1，PC＝2，PB＝，BC＝，所以S△PBC＝×2×＝.則該幾何體的表面積S＝＋×2×1＋×2×2＋×2×2＋＝6＋2＋. 11．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD. (1)證明：AC⊥BD； (2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四

48、面體ACDE的體積比． 解：(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO. 因?yàn)锳D＝CD，所以AC⊥DO. 又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO. 從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD. (2)連接EO. 由(1)及題設(shè)知∠ADC＝90°，所以DO＝AO. 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2. 又AB＝BD，所以 BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°. 由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝AC. 又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD. 故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體A

49、BCE的體積為四面體ABCD的體積為，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1. (2020·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________． 解：如圖，連接OD交BC于點(diǎn)G，由題意知，OD⊥BC.易得OG＝BC，所以O(shè)G的長(zhǎng)度與BC的長(zhǎng)度成正比．設(shè)OG＝x，則BC＝2x，DG＝5－x，S△ABC＝2x·3x·＝3x2，則所得三棱錐的體積V＝×3x2×＝x2×＝×.令f(x)＝25x4－10x5，x∈，則f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)>0，即x4－2x3<0，得0