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1、吉林省延吉市金牌教育中心高中數(shù)學 第三章 熱點專題五 對稱問題 新人教A版必修2
在解析幾何中，對稱問題有兩大類，一類是中心對稱，一類是軸對稱．
1．中心對稱．
(1)兩點關于點對稱，設P1(x1，y1)，P(a，b)，則P1(x1，y1)關于P(a，b)對稱的點為P2(2a－x1,2b－y1)，即P為線段P1P2的中點．特別地，P(x，y)關于原點對稱的點為P′(－x，－y)．
(2)兩直線關于點對稱，設直線l1，l2關于點P對稱，這時其中一條直線上任一點關于點P對稱的點在另外一條直線上．必有l(wèi)1∥l2，且P到l1，l2的距離相等．
2．軸對稱．
(1)兩點關于直線對稱，設P
2、1，P2關于直線l對稱，則直線P1P2與l垂直，且P1P2的中點在l上．
(2)兩直線關于直線對稱，設l1，l2關于直線l對稱．①三條直線l，l1，l2共點，且l上任意點到l1，l2的距離相等，并且l1，l2中一條直線上任意一點關于l對稱的點在另外一條直線上；②l1∥l2∥l且l1到l的距離等于l2到l的距離．
已知直線l：y＝3x＋3，試求：
(1)點P(4,5)關于直線l的對稱點的坐標；
(2)直線y＝x－2關于直線l對稱的直線l1的方程；
(3)直線l關于點A(3,2)對稱的直線方程．
解析：(1)設點P關于直線l的對稱點為P′(x′，y′)，則PP′的中點M在l上，且
3、直線PP′垂直于l，即
解得
∴P′點的坐標為(－2,7)．
(2)由已知，要求的直線l1過y＝3x＋3與y＝x－2的交點，設其方程為(y－3x－3)＋λ(y－x＋2)＝0.
l上點(0,3)到y(tǒng)－x＋2＝0的距離d＝＝，
l1的方程化為(1＋λ)y－(3＋λ)x＋2λ－3＝0，
點(0,3)到l1的距離為
d＝＝＝，
∴2λ2＋8λ＋10＝λ2×2，解得λ＝－，
∴符合條件的直線方程為－y－x－＝0，
即7x＋y＋22＝0.
(3)設直線l關于點A(3,2)對稱的直線為l3，則直線l上任一點P(x1，y1)關于點A的對稱點P3(x3，y3)一定在直線l3上，反之也成
4、立．
∴解得
代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.
即l3的方程為3x－y－17＝0.
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8．求直線m：2x＋y－4＝0關于直線l：3x＋4y－1＝0對稱的直線l′的方程．
解析：解法一：設直線l′上的動點P(x，y)，直線m上的點Q(x0,4－2x0)，且P、Q兩點關于直線l：3x＋4y－1＝0對稱，則有
消去x0，得2x＋11y＋16＝0.
解法二：由m：2x＋y－4＝0知A(2,0)，B(0,4)為m上的點，設A、B關于l的對稱點為A′(a，b)、B′(a′，b′)，則有
解得
即A′.
解得
即B′.
∴kl′＝＝－.
∴l(xiāng)′的方程為y＋＝－，
即2x＋11y＋16＝0.
9．從點A(－4,1)出發(fā)的一束光線l，經過直線l1：x－y＋3＝0反射，反射光線恰好通過點B(1,6)，求入射光線l所在的直線方程．
解析：設B(1,6)關于直線l1的對稱點為B′(x0，y0)，
則
解得
∴直線AB′的方程為＝，即3x－7y＋19＝0.
∴直線l的方程為3x－7y＋19＝0.
吉林省延吉市金牌教育中心高中數(shù)學 第三章 熱點專題五 對稱問題 新人教A版必修2
