2020高中數學 第八章 圓錐曲線教案 對稱問題教案教學案 蘇教版

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1、圓錐曲線教案 對稱問題教案 ? 教學目標 1．引導學生探索并掌握解決中心對稱及軸對稱問題的解析方法． 2．通過對稱問題的研究求解，進一步理解數形結合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力． 3．通過對稱問題的探討，使學生會進一步運用運動變化的觀點，用轉化的思想來處理問題． 教學重點與難點 兩曲線關于定點和定直線的對稱知識方法是重點．把數學問題轉化為對稱問題，即用對稱觀點解決實際問題是難點． 教學過程 師：前面學過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質．今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關對稱的問題．大家想一想：點P(x，y)、P′(x′，y′)關于點Q(x0，y0)對稱，那么它們的坐

2、標應滿足什么條件？ 師：P(x，y)，P′(x′，y′)關于原點對稱，那么它們的坐標滿足什么條件？ 生：P和P′的中點是原點．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關于x軸對稱，它們的坐標又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′． 師：若P和P′關于y軸對稱，它們的坐標有什么關系？ 生：y=y′且x=-x′． 師：若P和P′關于直線y=x對稱，它們的坐標又會怎樣？ 生：y=x′且x=y′． 生：它們關于直線y=x對稱． 師：若P與P′關于直線Ax+By+C=0對稱，它們在位置上有什么特征？ 生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側． 師：還有補充嗎？ 生

3、：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直． 師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側且與直線垂直就能對稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？ 生：就是P與P′的中點落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P′的中點坐標滿足直線方程Ax+By+C=0． 師：下面誰來總結一下，兩點P(x，y)、P′(x′，y′)關于直線Ax+By+C=0對稱應滿足的條件？ 生：應滿足兩個條件．第一個條件是PP′的連線垂直于直線Ax+By+C=0，第二個條件是P，P′的中點應落在直線Ax+By+C=0上

4、． 師：這兩個條件能否用方程表示呢？ (在黑板上可畫出圖形(如圖2-72)，可直觀些) 生：方程組： 師：這個方程組成立說明了什么？它能解決什么問題？ 生：方程組中含有x′，y′，也可認為這是一個含x′，y′的二元一次方程組．換句話說，給定一個點P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點關于直線Ax+By+C=0的對稱點P′(x′，y′)的坐標． 師：今后有很多有關對稱問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題． 例1? 已知直線l1和l2關于直線2x-2y+1=0對稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2

5、的方程． (選題目的：熟悉對稱直線方程) 師：哪位同學有思路請談談． 生：先求出已知兩直線的交點，設l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點斜式求得l2的方程． (讓這位同學在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正．) 由點斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？ 生：在直線l1上任取一點，求出這點關于2x-2y+1=0對稱的點，然后再利用交點，兩點式可求出l2的直線方程。 (讓這位學生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯誤，大家訂正．) 解? 由方程組： 師：還有別的解法嗎？ 生：在l2上任取一點P(x，y)，則P

6、點關于2x-2y+1=0對稱的點P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問題就解決了． 師：請你到黑板上把解題過程寫出來． 解? 設P(x，y)為l2上的任意一點， 則P點關于直線2x-2y+1=0對稱，點P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)， 又因為P′(x′，y′)在直線l1：3x-2y+1=0上， 所以3·x′-2y′+1=0． 即l2的方程為：4x-6y+3=0． 師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關于一條直線對稱的曲線方程呢？ 引申：已知：曲線C：y=x2

7、，求它關于直線x-y-2=0對稱的曲線方程． (選題目的：進一步熟悉對稱曲線方程的一般方法．) 師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生：第二種和第三種方法還能適用． 師：誰來試一試？ 生：可先在y=x2上任取一點P0(x0，y0)，它關于直線的對稱點P′(x1，y1)，可得它們的交點，從中解出x0，y0代入曲線y=x2即可(如圖2-76)． (讓學生把他的解法寫出來．) 解? 設P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點，它關于直線x-y-2=0對稱的點為P′(x1，y1)，因此，連結P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點的直線方程為y-y0=-(x-x0)．

8、 師：還有不同的方法嗎？ 生：用兩點關于直線對稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫在黑板上． 生：解：設M(x，y)為所求的曲線上任一點，M0(x0，y0)是M關于直線x-y-2=0對稱的點，所以M0定在曲線C：y=x2上． 代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個例子． 點出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經過的路程．(如圖2-77) 師：解這題的關鍵是什么？ 生：關鍵是找到x軸的交點． 師：有辦法找到交點嗎？ 生：沒人回答． 師：交點不好找，那么我們先假設M就是交點，利用交點M對解決這個問題有什么幫助嗎？ 生：

9、既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx． 師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？ 生：可以先找A關于x軸的對稱點A′(0，-2)，由對稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉化為|A′M|+|MD|即|A′D|． 師：|A′D|怎么求呢？ 生：|A′D|實際上是過A′點到圓切線的長，要求切線長，只需先連結半徑CD，再連結A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77) (讓這位學生把解答寫在黑板上．) 解? 已知點A關于x軸的對稱點為A′(0，-2)

10、，所求的路程即為 師：巧用對稱性，化簡了計算，很好．哪位同學能把這個題適當改一下，變成另一個題目． 生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點，在x軸上，求一點P，使得|AP|+|PD|為最短． 師：誰能解答這個問題？ 生：先過A(0，2)關于x軸的對稱點A′(0，-2)， 連結A′D與x軸相交于點P，P為所求(如圖2-78)． 師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？ 生：因為A，A′關于x軸對稱，所以|AP|=|A′P|，這時|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當P點在x軸其他位置上時，如在P′處，那么，連結AP′、A′P′和P′D．這時|AP′|+|P′D|=|A′

11、P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于第三邊)．所以|A′D|為最短．即P為所求． 師：這題還能不能再做些變形，使之成為另一個題目？ x軸和圓C上的動點，求|AM|+|MP|的最小值． 師：哪位同學能夠解決？ 生：先作A點關于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結A′和圓心C，A′C交x軸于M點，交圓于P點，這時|AM|+|MP|最小(如圖2-79)． 師：你怎樣想到先找A點關于x軸的對稱點A′的呢？ 生：由前題的結論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最?。? 師：很好，大家一起動筆算一算(同時讓這位學生上前面書寫)．

12、 生：解A點關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點，因為A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|= 師：我們一起看下面的問題． 例3? 若拋物線y=a·x2-1上總存在關于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍． 師：這題的思路是什么？ 生：如圖2-80，設A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關于直線x=- 師：很好，誰還有不同的解法嗎？ 生：曲線y=ax2-1關于直線x+y=0對稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方 師：今天我們討論了有關點，直線，曲線關于定點，定直線，對稱的問題．解決這些問題的關鍵所在就是牢

13、固掌握靈活運用兩點關于定直線對稱的思想方法，結合圖象利用數形結合思想解決問題． 作業(yè)： 1．一個以原點為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關于直線l對稱，求直線l的方程． (2x-y+5=0) 2．ABCD是平行四邊形，已知點A(-1，3)和C(-3，2)，點D在直線x-3y-1=0上移動，則點B的軌跡方程是 ______． (x-3y+20=0) 3．若光線從點A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點B(3， 9)，則此光線所經過的路程的長是______． (12) 4．已知曲線C：y=-x2+x+2關于點(a，2a)對稱的曲線是C′，若C與C′有兩個

14、不同的公共點，求a的取值范圍．(-2＜a＜1) 設計說明 1．這節(jié)課是一節(jié)專題習題課，也可以認為是復習題，通過討論對稱問題把有關的知識進行復習，最重要的是充分突出以學生為主體．讓學生討論和發(fā)言，就是讓學生參加到數學教學中來，使學生興趣盎然，思維活躍，同時對自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學生的主動性，有利于培養(yǎng)學生的獨立思考的習慣，發(fā)展學生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數學教學中要有一定的時間讓學生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力． 2．這節(jié)課自始至終貫穿數形結合的數學思想，讓學生在腦海里留下一個深刻的印象，就是對稱問題，歸根結底都可以化成點關于直線的對稱

15、問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個交點，這種從形到數，再由數到形的轉化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時水平才能提高得較快． 3．習題課的一個中心就是解題，怎樣才能讓學生做盡可能少的題，從而讓學生掌握通理通法，這是一個值得研究和探討的問題．本節(jié)課采取了讓學生把題目進行一題多變，一題多解，從中使學生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達到盡可能做少量的題，而達到獲取盡可能多的知識、方法和規(guī)律的目的，真正提

16、高學生的分析問題、提出問題、解決問題的能力．解決當前學生課業(yè)負擔過重的問題，根除題海戰(zhàn)術給學生帶來的危害． 4．本課的例題選擇可根據自己所教學生的實際情況，下面幾個備用題可供參考． 題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點A作這圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求點M在直線l上移動時，△MAQ垂心的軌跡方程． (選題目的：熟練用代入法求動點的軌跡方程，活用平幾簡化計算．) 解? 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且 題目2若拋

17、物線y=x2上存在關于直線y=m(x-3)對稱的兩點，求實數m的取值范圍． 解? (如圖2-82)設拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于直線 (選題目的：結合對稱問題，訓練反證法的應用．) 此題證法很多．下面給一種證法供參考． 證明? 如圖2-83，若P、Q兩點關于y=x對稱，可設P(a，b)、 5．本教案作業(yè)4，5題的參考解答： 4題．解設P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點，它關于點(a，2a)的對稱點是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯(lián)立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1． 5題略解：如圖2-84，F(xiàn)1(-5，2)，F(xiàn)2(-1，2)，F(xiàn)1關于直線x-y=1的對稱點為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，