云南省高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 極限與導(dǎo)數(shù)

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1、極限與導(dǎo)數(shù) l 高考風(fēng)向標(biāo) 數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例，數(shù)列的極限．函數(shù)的極限，極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)． 導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本導(dǎo)數(shù)公式．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值． l 典型題選講 例１求函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值. 講解　我們知道，在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值，于是，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得 令 化簡(jiǎn)為　　 解得． 當(dāng)單調(diào)增加；當(dāng)單調(diào)減少． 所以為函數(shù)的極大值． 又因?yàn)椤∷浴楹瘮?shù)在[0，2]上的最小值

2、，為函數(shù)在[0，2]上的最大值． 點(diǎn)評(píng)　本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的最大值、最小值以及綜合運(yùn)算能力． 例２設(shè)函數(shù) （1）求導(dǎo)數(shù); 并證明有兩個(gè)不同的極值點(diǎn); （2）若不等式成立，求的取值范圍． 講解　 （I） 因此是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn). （II）因 又由（I）知 代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡(jiǎn)得 點(diǎn)評(píng)　本題是２００４年重慶高考第２０題．我們可以看到由于導(dǎo)數(shù)的引入，使得三次函數(shù)成為高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一． 例３　設(shè)函數(shù) 其中常數(shù)m為整數(shù)． 　

3、(1) 　當(dāng)m為何值時(shí),??； (2) 　定理：　若函數(shù)g(x) 在[a, b ]上連續(xù),且g(a) 與g(b)異號(hào),則至少存在一點(diǎn)x0∈(a,b),使g(x0)=0. 試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)m>1時(shí),方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根． 講解　（１）函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù)，且 ． 當(dāng)x∈(-m,1-m)時(shí),　，f(x)為減函數(shù),　f(x)>f(1-m)； 當(dāng)x∈(1-m, +∞)時(shí),　 ，f(x)為增函數(shù),　f(x)>f(1-m)． 根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且 對(duì)x∈(-m,

4、+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m， 故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，f(x) ≥1-m≥0． (２)由（I）知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1-m)=1-m<0, 函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù)． ， 由所給定理知，存在唯一的，而當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)， 類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的， 故當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根． 點(diǎn)評(píng)　本題是２００４年廣東高考第２１題，試題當(dāng)中的定理是高等數(shù)學(xué)中的基本知識(shí)，這種給出新的情景，由此來(lái)考查學(xué)習(xí)的潛能，需要讀者在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)多多重視．

5、 例４?。?）求證； （2） 求證 ． 講解　　想辦法構(gòu)造函數(shù)，妙用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)證明不等式． （1）令， 由 知， ． 于是，原不等式等價(jià)于． 一方面，令 ， 則有，當(dāng) ，有 從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有，即得　　 ． 另一面，令 ，則有 ，當(dāng)時(shí)，有，從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有 ，即得． 綜上可知 　　?。? （2）聯(lián)系不等式（１）和（２），就會(huì)發(fā)現(xiàn)，令 時(shí)，不等式也成立，于是代入，將所得各不等式相加，得　　 ， 即 　　　　． 點(diǎn)評(píng)　本題的解答中構(gòu)造的函數(shù)與２００４年高考全國(guó)２壓卷題中顯示的函數(shù)f(x)=ln(1+x

6、)－x沒(méi)有什么區(qū)別．有著高等數(shù)學(xué)背景的、如同２００４年江蘇卷的壓軸題相近的不等式證明題似乎是高考命題的又一新的開(kāi)挖點(diǎn)，昆明市第一次統(tǒng)測(cè)21題就是典型例子． 例５× 過(guò)點(diǎn)作曲線（，，）的切線切點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)在軸上的投影是點(diǎn)；又過(guò)點(diǎn)作曲線的切線切點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)在軸上的投影是點(diǎn)；……；依此下去，得到一系列點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是． （1）求證：，； （2）求證：； （3）求證：（注：）． 講解：（１）為了求切線的斜率，只要對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得． 若切點(diǎn)是，則切線方程是． 當(dāng)時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，即，得；　　　　　　 當(dāng)時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，即，得． 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，． （２）應(yīng)用二項(xiàng)式定理，

7、得 　　　　　　　　　?。　　? （３）記，則， 兩式錯(cuò)位相減，得 ， 　　　　　　， 故 　　　?。　　　　　　? 點(diǎn)評(píng)：本題綜合解析幾何、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、二項(xiàng)式定理、不等式等知識(shí)點(diǎn)，在解答時(shí)，需要較強(qiáng)的思維能力和排除萬(wàn)難的吃苦精神．將函數(shù)與數(shù)列相綜合也是高考命題的一個(gè)關(guān)注的方向，而數(shù)列的不等式證明又是?？疾凰サ脑掝}． l 針對(duì)性演練 1. 的值為（ ）． A． B.0 C． D.1 2. 的值等于（　　）． 　?。粒　　　　　。拢　　。茫　　　　。?/p>

8、． 3. 已知等于（　?。? 　?。粒薄　　　　　。拢瓻　　　　?。茫　　　　　。模? 4. f / (3)= —2,　f(3)=2，則（　?。? 　　　A.－4 　B. 0 C.8 D.不存在 5. 下列函數(shù)在x ＝０處連續(xù)的是（　　）． 　　?。粒　　　　　。拢? 　　?。茫　　　　　　　　　　　。模? 6. 如圖，正方形上連接等腰直角三角形，直角三角形邊上再連接正方形，……，無(wú)限重復(fù).設(shè)正方形原面積為……，三角形的面積為，……，當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)為2時(shí)，這些正方形和三角形的面積總和為（ ）　 A．10　　　　　B．11

9、　　　　　 C．12　　　　　 D．13 7. 函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，則為R上的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)是的（ ）． 　?。粒浞植槐匾獥l件 Ｂ．必要不充分條件 　?。茫湟獥l件 Ｄ．既不充分又不必要條件 8. 已知函數(shù)，則等于（ ）． 　?。粒? B． C． D． 9. 已知函數(shù)既存在極大值又存在最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。? 　?。痢　　　　　　　　　　　　　。拢? 　?。茫?　　　　 D. 10. 點(diǎn)P

10、是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（ ）． 　　　A.1 B. C. D. x y O A x y O B x y O C x y O D x y O 11. 設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f ￠(x)可能為（　?。? f(x) 12. 若點(diǎn)Ｐ在曲線上移動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｐ的切線的傾斜角為，則的取值范圍是（　?。? 　　?。粒　　　　　　　　　　　。拢? 　　　Ｃ．　　　　　　　　　　?。茫? 13.

11、 如圖P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個(gè)更小半圓（其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑）得圓形P3，P4，…..，Pn，…,記紙板Pn的面積為，則= _. P1 P2 P3 P4 14. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，且若存在，則__________. 15. 曲線的切線中，斜率最小的切線方程是　　　　 　　　?。硏－y－11＝０. １６．某汽車啟動(dòng)階段的路程函數(shù)為，則秒時(shí)，汽車的瞬時(shí)速度是 . 　　　　　　　　4. 17．已知.設(shè)P：，Q：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立. 如果P

12、和Q有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍. 18. 已知函數(shù)，] （1）判斷的單調(diào)性；（2）求；（3）求出該函數(shù)的值域. 19．已知函數(shù) （1）若，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說(shuō)明理由； （2）若函數(shù)在[0，2]上是增函數(shù)，是方程=0的一個(gè)根，求證：； （3）若函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)連線斜率小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 20．甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠. 由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價(jià)格）， （1）

13、將乙方的年利潤(rùn)w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量； （2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？ 21．已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)． （１）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A； （２）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． ２２．如圖，A、B為函數(shù)圖像上兩

14、點(diǎn)，且AB∥x軸，點(diǎn)M（1，m）（m>3）是△ABC邊AC的中點(diǎn)． （1）設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，△ABC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式； （2）求函數(shù)的最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)． 參考答案 １．A.?。玻瓺.３．C.４．C.５．A. ６．A. ７．B.８．D. ９．B. １０．B. １１．D. １２．B. 13．．14．1．　15．３x－y－11＝０．16． 4． 17. ．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故函?shù)在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴在的最小值為．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立.．如果P正確，且Q不正確，則．如果P不正確，且Q正確，則．所以的取值范圍為． 18. (1

15、).在是減函數(shù).(2) .(3)由(1) (2)知值域?yàn)? 19. （1）不能． （2）略． （3） 20．（1）因?yàn)橘r付價(jià)格為s元/噸,所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為：. 由，令得. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以時(shí)， 取得最大值.（可略） 因此乙方取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量（噸）. （2）設(shè)甲方凈收入為元，則. 將代入上式，得到甲方凈收入與賠付價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式 .又，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，所以時(shí)，取得最大值. 因此甲方向乙方要求賠付價(jià)格（元/噸）時(shí)，獲最大凈收入。 21．（１）f＇(x)== ，∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)， ∴f＇(x)≥0對(duì)x∈[－

16、1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立. ① 設(shè)(x)=x2－ax－2，(1)=1－a－2≤0， ① (－1)=1+a－2≤0. －1≤a≤1， ∵對(duì)x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)， f＇(1)=0．∴A={a|－1≤a≤1}. （２）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0 ∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實(shí)根，有x1+x2=a， x1x2=－2， 從而|x1－x2|==. ∵－1≤a≤1，∴|x1－x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈

17、A及t∈[－1，1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立m≥2或m≤－2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}. ２２．（1）設(shè)B，A，，M是△ABC邊AC的中點(diǎn)，則 ， 所以　． （2）∵，M（1，m）是△ABC邊AC的中點(diǎn)， ∴　　　　　　∴． 當(dāng)時(shí)， ． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，S的最大值是，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是． 當(dāng)m>9時(shí)，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證：在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)， 故時(shí)，，此時(shí)．