2020高考數(shù)學(xué)熱點集中營 熱點18 概率與統(tǒng)計大題 新課標(biāo)

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1、 【兩年真題重溫】 下面試驗結(jié)果： 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (Ⅰ) 分別估計用配方，配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； (Ⅱ) 已知用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值的關(guān)系式為 ． (Ⅱ) 用配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)落入?yún)^(qū)間，，的

2、頻率分別為，，，因此 ，，． 即的分布列為： 則的數(shù)學(xué)期望． 得到下面試驗結(jié)果： 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (Ⅰ) 分別估計用配方，配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； (Ⅱ) 已知用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤（單位：元）與

3、其質(zhì)量指標(biāo)值的關(guān)系式為 ，估計用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤． 樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 是否需要志愿 性別 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （1） 估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； （2） 能否有99％的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ （3） 根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由. 0．050 0.010 0.001 3.841

4、6.635 10.828 附： 【解析】命題意圖：本題主要考查統(tǒng)計學(xué)知識，考查利用數(shù)學(xué)知識研究實際問題的能力以及相應(yīng)的運算能力. (2) ， 由于所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān). ……8分 （3）由于（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時,先確定該地區(qū)老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單反隨即抽樣方法更好. ……12分 【命題意圖猜想】 【最新考綱解讀】 (1)獨立性檢驗 了解獨立性檢驗(只要

5、求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用． (2)假設(shè)檢驗 了解假設(shè)檢驗的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用． (3)回歸分析 了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用． 【回歸課本整合】 ④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將S加上間隔k，得到第2個個體編號S＋k，再將(S＋k)加上k，得到第3個個體編號S＋2k，這樣繼續(xù)下去，獲得容量為n的樣本．其樣本編號依次是：S，S＋k，S＋2k，…，S＋(n－1)k. 4.繪制頻率分布直方圖 把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組距，然后以線段為底作一矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組上的頻率．這些矩形

6、就構(gòu)成了頻率分布直方圖.在頻率分布直方圖中，縱軸表示“頻率/組距”，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用小矩形的面積表示，各小矩形的面積總和等于1. 5．莖葉圖 7．方差、標(biāo)準(zhǔn)差 (1)設(shè)樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn樣本平均數(shù)為，則s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析．其基本步驟是：①畫散點圖，②求回歸直線方程，③用回歸直線方程作預(yù)報． (1)回歸直線：觀察散點圖的特征，如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． (2)回歸直線方程的求法——最小二乘法．

7、 11.（理）離散型隨機變量的分布列 1. 2.超幾何分布： 設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(n≤N)，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率P(X＝m)＝(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個)，稱這種離散型隨機變量的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N、M、n的超幾何分布．超幾何分布給出了求解這類問題的方法，可以當(dāng)公式直接運用求解． 3.二項分布： 如下： … … … … 由于恰好是二項展開式 中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量服從二項分布，

8、記作，其中，為參數(shù)，并記＝．… 2.二項分布的期望與方差：若，則 ， 【方法技巧提煉】 1.三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等 從總體中逐個抽取 ? 總體中的個體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進行抽取 各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 例1 某中學(xué)有員工人，其中中高級教師人，一般教師人，管理人員人，行政每個個體抽到的

9、概率為． （3）（分層抽樣法）四類人員的人數(shù)比為，又,，所以從中高級教師、一般教師、管理人員、行政人員中分別抽取人、人、人、人，每個個體抽到的概率為． 點評：此類通過三個抽樣方法進行解析，體會之間的不同點. 7．回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出回歸直線方程． 8．獨立性檢驗是一種假設(shè)檢驗，在對總體的估計中，通過抽取樣本，構(gòu)造合適的隨機變量，對假設(shè)的正確性進行判斷． （2）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎，用表示獲獎的人數(shù)，求的分

10、布列及的值． 解析：（1）設(shè)“世博會會徽”卡有張，由，得，故“海寶”卡有4張，抽獎?wù)攉@獎的概率為； （2）～的分布列為； 0 1 2 3 4 ∴，． 【點評】此題第二問的關(guān)鍵分析出滿足二項分布，從而化解計算.體現(xiàn)在期望和方差的計算. 解析：(Ⅰ) 某職員被聘用的概率為. (Ⅱ)若4位職員中恰有2人被聘用的概率由于當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時，解得. 4為職員中被聘用人數(shù)的取值為0、1、2、3， 0 1 2 3 4 由于服從二項分布，所以=2. 【點評】此題巧妙在第二問中涉及到的最值問題

11、.把概率問題和函數(shù)最值問題聯(lián)系到一起.利用了均值不等式求最值，確定P的值. 【考場經(jīng)驗分享】 7. 概率計算題的核心環(huán)節(jié)就是把一個隨機事件進行類似本題的分拆，這中間有三個概念，事件的互斥，事件的對立和事件的相互獨立，在概率的計算中只要弄清楚了這三個概念，根據(jù)實際情況對事件進行合理的分拆，就能把復(fù)雜事件的概率計算轉(zhuǎn)化為一個個簡單事件的概率計算，達到解決問題的目的． 8．在解含有相互獨立事件的概率題時，首先把所求的隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，其次將分拆后的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積，這兩個事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來就是按照相關(guān)的概率值進行計算的問題了，如果某些相

12、互獨立事件符合獨立重復(fù)試驗概型，就把這部分歸結(jié)為用獨立重復(fù)試驗概型，用獨立重復(fù)試驗概型的概率計算公式解答． 【新題預(yù)測演練】 1.[2020·江西卷文] 為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖1－1所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為，則(　　) 圖1－1 A．me＝m0＝ B．me＝m0< C．me

13、006＋0.012)×10＝40(名)．又＝，即x＝600. 【答案】0.5　0.53　 【解析】＝＝＝0.5；＝＝3. ＝＝0.01，＝－＝0.5－0.01×3＝0.47，【答案】 C　 【解析】 對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r1>0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關(guān)，即r2<0. ∴r2<0

14、回歸方程為(　　) A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176 【答案】 C　 10. [2020·山東卷] 某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元),4,2,3,5銷售額y(萬元),49,26,39,54根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 【答案】B　 【解析】＝＝3.5，＝＝42，由于回歸方程過點(，)，所以42＝9.4×3.5＋，解得＝9.1，故回歸方程為 ＝9.4x＋9.1，所以當(dāng)x＝6

15、時，y＝6×9.4＋9.1＝65.5. 圖1－4 11.[2020·陜西卷] 設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖1－4)，以下結(jié)論中正確的是(　　) A．x和y的相關(guān)系為直線l的斜率 B．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 C．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 D．直線l過點(，) 【答案】 D　 Y的均值E(Y)＝E(X＋15)＝E(X)＋15＝4×＋15＝． …12分 （文）為了檢測某批棉花的質(zhì)量，質(zhì)檢人員隨機抽取6根，其平均纖維長度為25mm。用表

16、示第n根棉花的纖維長度，且前5根棉花的纖維長度如下表： （1）求X6及這6根棉花的標(biāo)準(zhǔn)差s； （2）從這6根棉花中，隨機選取2根，求至少有1根的長度在區(qū)間（20，25）內(nèi)的概 解：（Ⅰ）由題意， ＝25，X6＝40． …2分 s2＝＝49， s＝7． …5分 至少有1根的長度在區(qū)間(20，25)內(nèi)的概率為1－P＝．…12分 13.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 解： （Ⅰ）K2＝≈2.932＞2.706， 由此可知，有90%的把握認為對這一問題的看法與性別有關(guān)． …3分 （Ⅱ）（?。┯涱}設(shè)事件為A，則

17、 所求概率為P(A)＝＝． …7分 附： 解：（Ⅰ）K2＝≈2.932＞2.706， 由此可知，有90%的把握認為對這一問題的看法與性別有關(guān)． …5分 （Ⅱ）記反對“男女同齡退休”的6男士為ai，i＝1，2，…，6，其中甲、乙分別為a1，a2，從中選出2人的不同情形為： a1a2，a1a3，a1a4，a1a5，a1a6， a2a3，a2a4，a2a5，a2a6， a3a4，a3a5，a3a6， a4a5，a4a6， a5a6， …9分 共15種可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9種， 所求概率為P＝＝． …

18、12分 解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖，有“高個子”8人，“非高個子”12人， 用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是， （Ⅱ）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？ 解：（Ⅰ）8名男志愿者的平均身高為 ；…3分 12名女志愿者身高的中位數(shù)為175. …………6分 15.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 （理）某班甲、乙兩名同學(xué)參加l00米達標(biāo)訓(xùn)練，在相同條件下兩人l0次訓(xùn)練的成績(單位：秒)如下： 解：(Ⅰ) 莖葉圖 ……………………

19、2分 和………………2分 從統(tǒng)計圖中可以看出，乙的成績較為集中，差異程度較小，應(yīng)選派乙同學(xué)代表班級參加比賽更好；………………4分 （Ⅱ）設(shè)事件A為：甲的成績低于12.8，事件B為：乙的成績低于12.8， 則甲、乙兩人成績至少有一個低于秒的概率為：；……………8分(此部分，可根據(jù)解法給步驟分:2分) （Ⅲ）設(shè)甲同學(xué)的成績?yōu)?，乙同學(xué)的成績?yōu)椋? 則，……………10分 得， 如圖陰影部分面積即為，則 .…………12分 （文）某班甲、乙兩名同學(xué)參加l00米達標(biāo)訓(xùn)練，在相同條件下兩人l0次訓(xùn)練的成績(單位：秒)如下： (I)請畫出適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖；如果從甲、乙兩名同學(xué)中選一名

20、參加學(xué)校的100米比賽，從成績的穩(wěn)定性方面考慮，選派誰參加比賽更好，并說明理由(不用計算，可通過統(tǒng)計圖直接回答結(jié)論)． (Ⅱ)經(jīng)過對甲、乙兩位同學(xué)的若干次成績的統(tǒng)計，甲、乙的成績都均勻分布在[11．5，14．5]之間，現(xiàn)甲、乙比賽一次，求甲、乙成績之差的絕對值小于0．8秒的概率． 解：( ……4分或 …………4分 從統(tǒng)計圖中可以看出，乙的成績較為集中，差異程度較小，應(yīng)選派乙同學(xué)代表班級參加比賽更好；……6分 （Ⅱ）設(shè)甲同學(xué)的成績?yōu)?，乙同學(xué)的成績?yōu)椋瑒t,……………8分 得，如圖陰影部分面積即為，…………10分 則 .……………12分 16.【北京市朝陽區(qū)2020學(xué)年

21、度高三年級期末統(tǒng)一考試】 （理） （Ⅰ）求某個家庭得分為的概率？ （Ⅱ）若游戲規(guī)定：一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品．請問某個家庭獲獎的概率為多少？ （Ⅲ）若共有5個家庭參加家庭抽獎活動．在（Ⅱ）的條件下，記獲獎的家庭數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． . ………………………………… 11分 所以分布列為： 0 1 2 3 4 5 所以． 所以的數(shù)學(xué)期望為． ……………………………………………… 13分 17.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)

22、期期末檢測】 （理）甲、乙兩名籃球運動員在四場比賽中的得分數(shù)據(jù)以莖葉圖記錄如下： 甲 乙 1 8 6 0 0 2 4 4 2 3 0 （Ⅰ）求乙球員得分的平均數(shù)和方差； （Ⅱ）甲球員四場比賽得分為20,20,26,32，分別從兩人得分中隨機選取一場的 得分，共有16種情況： 得分和Y的分布列為： Y 38 44 50 56 62 …………11分

23、 數(shù)學(xué)期望 ………………13分 （文）甲、乙兩名籃球運動員在四場比賽中的得分數(shù)據(jù)以莖葉圖記錄如下： 甲 乙 1 8 6 0 0 2 4 4 2 3 0 （Ⅰ）求乙球員得分的平均數(shù)和方差； （Ⅱ）甲球員四場比賽得分為20,20,26,32，分別從兩人得分中隨機選取一場的 得分，共有16種情況： 18.【河北省石家莊市2020屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】 （理）某工科院校對A,B兩個專業(yè)的男女生人數(shù)進行調(diào)查，得到如下的列

24、聯(lián)表： (I)能否在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下，認為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系呢? (II)從專業(yè)A中隨機抽取2名學(xué)生，記其中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和均值． 注： 解:（Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，…………3分 由于， 因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系. ……………6分 （Ⅱ）專業(yè)A中女生12人，男生38人 ;; 所以X的分布列為： X 0 1 2 P ……………10分 均值為：.………………12分 （文）某工科院校對A,B兩個專業(yè)的男女生人數(shù)進行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：

25、 (I) 從B專業(yè)的女生中隨機抽取2名女生參加某項活動，其中女生甲被選到的概率是多少？ (II)能否在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下，認為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系呢? 注： 解：（Ⅰ）設(shè)B專業(yè)的4名女生為甲、乙、丙、丁，隨機選取兩個共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，?。?，（丙，?。?種可能，……………2分 其中選到甲的共有3種可能，……………4分 則女生甲被選到的概率是.……………6分 （Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，………9分 由于，因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系.…………12分 表1 成

26、績分組 人數(shù) 3 m 8 6 表2 成績分組 人數(shù) 2 5 n 5 分別估計男生和女生的平均分數(shù)，并估計這450名學(xué)生的平均分數(shù).（精確到0.01） 解析：（I）由抽樣方法知，被抽取的男生人數(shù)為， （I）求抽取的男生與女生的人數(shù)？ （II）從男生和女生中抽查的結(jié)果分別如下表1和表2； 表1 成績分組 人數(shù) 3 m 8 6 表2 成績分組 人數(shù) 2 5 n 5 分別估計男生和女生的平均分數(shù)，并估計這450名學(xué)生的平均分數(shù)。（精確到0.01） 20

27、.【山西省高三第二次四校聯(lián)考】 （1）根據(jù)已知條件填寫下面表格： 組 別 1 2 3 4 5 6 7 8 樣本數(shù) 20. 解：(1)由條形圖得第七組頻率為則． ∴第七組的人數(shù)為3人． - -------1分 組別 1 2 3 4 5 6 7 8 樣本數(shù) 2 4 10 10 15 4 3 2

28、 --------4分 （文）甲乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間他們參加5次預(yù)賽成績記錄如下： 甲： 78 76 74 90 82 乙： 90 70 75 85 80 （1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)； （2）從甲乙兩人所得成績中各隨機抽取一個，所有情況如下： （78，90） （78，70） （78，75） （78，85） （78，80） （76，90） （76，70） （76，75） （76，85） （76，80） （74，90） （74，70） （74，7

29、5） （74，85） （74，80） （90，90） （90，70） （90，75） （90，85） （90，80） （82，90） （82，70） （82，75） （82，85） （82，80） 共有25種，而甲大于乙的情況有12種，．． ………………8分 （3），，而，． ，，選甲參加更合適．………………12分 解：（Ⅰ）由圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為 ， ………2分 ∴　健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是 ．　

30、 ………4分 （Ⅱ）隨機變量Y的所有可能取值為0,1,2． ………5分 P(Y=0)=, P(Y=1)= , P(Y=2)= ． ……8分 所以Y的分布列為 Y 0 1 2 P …………………………………………11分 ∴　E（Y）=0×+1×+2×= ． ………………………………13分 （文）已知A、B、C三個箱子中各裝有2個完全相同的球，每個箱子里的球，有一個球標(biāo) 種，事件的基本結(jié)果有1種，所以， ，，，． ……………………10分 故所摸出的兩球號碼之和為4、為5的概

31、率相等且最大． 答：猜4或5獲獎的可能性最大． ……………………12分 的分布列和數(shù)學(xué)期望。 所以的分布列為 0 1 2 3 P ……… 10 分 ………12 分 （文）一個盒子中裝有4張卡片，每張卡片上寫有1個數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4，現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片. （1）若一次從中隨機抽取3張卡片，求3張卡片上數(shù)字之和大于或等于7的概率； （2）若第一次隨機抽1張卡片，放回后再隨機抽取1張卡片，求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字2的概率． 共7個. …………………………………………………………………………………10分 所以所求事件的概率為. ………………………………………………12分 . ………………………………………10分 隨機變量的分布列為： 因為 ， 所以 隨機變量的數(shù)學(xué)期望為. ………………………………………13分