2020高考數(shù)學總復習 第三十四講 基本不等式及其應用 新人教版

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1、第三十四講　基本不等式及其應用 班級________　姓名________　考號________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)．) 1．“a>0且b>0”是“≥”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案：A 2．設a、b∈R＋，且a＋b＝4，則有(　　) A.≥　　　　　　　　 B.＋≥1 C.≥2 D.≥ 解析：由a，b∈R*，且a＋b＝4得2≤4?≤2，≥，又由≤＝，即≤.由此可知，A，C，D都不正確，

2、則只有B正確，故選B. 答案：B 3．設0

3、cosαcosβ＋sinαsinβ ＝(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝cos(α－β)． ∵cos(α－β)≤1，∴mx＋ny的最大值為. 答案：A 評析：此題若使用均值不等式，即mx＋ny≤＋＝，會錯選B，因為上述不等式“＝”不能取得． 5．設a>b>c>0，則2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　) A．2 B．4 C．2 D．5 解析：原式＝a2＋＋＋a2－10ac＋25c2＝a2＋＋(a－5c)2≥a2＋＋0≥4，當且僅當b＝a－b、a＝5c且a2＝，即a＝2b＝5c＝時“＝”都成立，故原式的最小值為4，選B. 答案：B 6．已知x

4、>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：依題意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，x＋2y≥4，當且僅當x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1時取等號，故x＋2y的最小值是4，選B. 答案：B 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．在“＋＝1”中的“__”處分別填上一個自然數(shù)，使它們的和最小，并求出其和的最小值．________ 分析：.本題條件、結(jié)論皆開放，可設所要填寫的兩數(shù)分別為x，y，再利用均值定理去探索． 解析：設這兩

5、個自然數(shù)分別為x，y， 則有x＋y＝(x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25， 當且僅當＝，且＋＝1，即x＝10，y＝15時等號成立，故分別填10和15，其和的最小值為25. 答案：10　15　25 評析：本題解答的關(guān)鍵是將已知中的“1”代換．應用均值定理求函數(shù)的最值時，必須注意“一正二定三相等”． 8．若a，b是正常數(shù)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，則＋≥，當且僅當＝時取等號．利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)＝＋(x∈)的最小值為________，取最小值時x的值為________． 解析：f(x)＝＋≥＝25. 當且僅當＝，即x＝時上式取最小值，即[f(x)min]＝25.

6、答案：25　 9．(精選考題·重慶)已知t>0，則函數(shù)y＝的最小值為________． 解析：依題意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，此時t＝1，即函數(shù)y＝(t>0)的最小值是－2. 答案：－2 10．(精選考題·浙江)若正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________． 解析：由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或者t≥3，故xy的最小值為18. 答案：18 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．) 11．設a、b、c為正數(shù)，求證＋＋≥a＋b＋c 分析：通過觀察可得

7、： ·＝c2，·＝b2，·＝a2 從而利用基本不等式即可． 證明：∵a、b、c均是正數(shù) ∴，，均是正數(shù) ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b 三式相加得：2≥2(a＋b＋c) ∴＋＋≥a＋b＋c 評析：先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)，(注意限制條件)通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用基本不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法． 12．設函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)． (1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)當0

8、 由于x∈[0，＋∞)，所以x＋1>0，>0.所以f(x)≥2－1. 當且僅當x＋1＝，即x＝－1時，f(x)取得最小值，最小值為2－1. (2)因為f(x)＝x＋＝x＋1＋－1，(此時再利用(1)的方法，等號取不到) 設x1>x2≥0，則f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·. 由于x1>x2≥0，所以x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1.所以(x1＋1)(x2＋1)>1.而00. 即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以f(x)min＝f(0)＝a. 評析：(2)問中因等

9、號不能取到，所以考慮使用函數(shù)單調(diào)性，由此提醒我們時刻注意三個條件，在變形時拆分項及配湊因式是常用的方法． 13．某廠為適應市場需求，投入98萬元引進世界先進設備，并馬上投入生產(chǎn)，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始，每年所需費用會比上一年增加4萬元．而每年因引入該設備可獲得年利潤為50萬元．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決以下問題： (1)引進該設備多少年后，開始盈利？ (2)引進該設備若干年后，有兩種處理方案： 第一種：年平均利潤達到最大值時，以26萬元的價格賣出． 第二種：盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出．問哪種方案較為合算？ 解：開始盈利就是指所獲利潤大于投資總數(shù)，據(jù)此建立不

10、等式求解；所謂方案最合理，就是指賣出設備時的年平均利潤較大，因此只需將兩種方案的年平均利潤分別求出，進行比較即可． (1)設引進該設備x年后開始盈利．盈利額為y萬元． 則y＝50x－98－＝－2x2＋40x－98，令y>0，得10－