2020高考數(shù)學(xué) 專題練習(xí) 七 空間向量與立體幾何 理

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1、高考專題訓(xùn)練七空間向量與立體幾何班級(jí)_姓名_時(shí)間：45分鐘分值：75分總得分_一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)填在答題卡上1在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，的值為()A.B.C. D.解析：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則C(0,1,0)，M，D1(0,0,1)，N，cos，sin，.故選B.答案：B2(2020全國(guó))已知直二面角l，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則D到平面ABC的距離等于()A.

2、B.C. D1解析：由2()22222221|21，所以|CD|.過(guò)D作DEBC于E，則DE面ABC，DE即為D到平面ABC的距離在RtBCD中，BC2BD2CD23，BC.DEBCBDCD，DE.答案：C3在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn)，ABAC1，PA2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析：以A為原點(diǎn)，AB、AC、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由ABAC1，PA2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F(xiàn)，(0,0,2)，設(shè)面

3、DEF的法向量為n(x，y，z)，則由得取z1，則n(2,0,1)，設(shè)PA與平面DEF所成角為，則sin，PA與平面DEF所成角為arcsin，故選C.答案：C4如圖所示，AC1是正方體的一條體對(duì)角線，點(diǎn)P、Q分別為其所在棱的中點(diǎn)，則PQ與AC1所成的角為()A.B. C.D.解析：如圖，設(shè)底面中心為O，在對(duì)角面ADC1B1中，取AB1的中點(diǎn)為T，TDPQ，從而TD與AC1所成的角為所求由相似可得AMD，故選D.答案：D5如下圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面MBD的距離是()A.a B.aC.a D.a解析：A到面MBD的距離由等積變形可得V

4、AMBDVBAMD.易求da.答案：D6已知平面與所成的二面角為80，P為，外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的一條直線與，所成的角都是30，則這樣的直線有且僅有()A1條B2條 C3條D4條解析：如右圖，過(guò)P作、的垂線PC、PD，其確定的平面與棱l交于Q，過(guò)P的直線與、分別交于A、B兩點(diǎn)，若二面角為80，AB與平面、成30，則CPD100，AB與PD、PC成60，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)P點(diǎn)與直線PD、PC所成角為60的直線有幾條60，60，這樣的直線有4條答案：D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡上7(2020全國(guó))已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，

5、且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于_解析：如圖，以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為3.A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(xiàn)(0,3,2)(0,3,1)，(3,3,2)設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，令y1，z3，x1，n(1,1，3)又(0,0,3)為面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)平面AEF與平面ABC所成的二面角為cos|cosn，|sintan.答案：8已知l1，l2是兩條異面直線，、是三個(gè)互相平行的平面，l1、l2分別交、于A、B、C和D、E、F，AB4，BC12，DF10，又l1與成30角，則與間的距離是

6、_；DE_.解析：由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得與間距離為6.由面面平行的性質(zhì)定理可得，即.DE2.5.答案：62.59坐標(biāo)平面上有點(diǎn)A(2,3)和B(4，1)，將坐標(biāo)平面沿y軸折成二面角AOyB，使A，B兩點(diǎn)的距離為2，則二面角等于_解析：如圖，ADBC，BCCD，BC平面ACD，BCAC，AB2，BC4，AC2，AD2，CD4，cos.答案：12010已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則直線DA1與AC間的距離為_(kāi)解析：設(shè)n是A1D和AC的公垂線段上的向量，則n()()10，1.又n()()0，1.n.故所求距離為d.答案：三、解答題：本大題共2小題，共25分解

7、答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟11(12分)(2020天津)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長(zhǎng)解：方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，)(1)易得(，)，(2，0,0)于是cos，.所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦

8、值為.(2)易知(0,2，0)，(，)，設(shè)平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，則即不妨令x，可得m(，0，)，同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量n(x，y，z)，則即不妨令y，可得n(0，)，于是cosm，n.從而sinm，n.所以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3)由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得N，設(shè)M(a，b,0)，則，由MN平面A1B1C1，得即解得故M，因此，所以線段BM的長(zhǎng)|.方法二：(1)由于ACA1C1.故C1A1B1是異面直線AC與A1B1所成的角因?yàn)镃1H平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H，可得A1C1B1C13.因此cosC1A1B1.所以

9、異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為.(2)連接AC1，易知AC1B1C1，又由于AA1B1A1，A1C1A1C1，所以AC1A1B1C1A1，過(guò)點(diǎn)A作ARA1C1于點(diǎn)R，連接B1R，于是B1RA1C1，故ARB1為二面角AA1C1B1的平面角在RtA1RB1中，B1RA1B1sinRA1B12.連接AB1，在ARB1中，AB14，ARB1R，cosARB1，從而sinARB1.所以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3)因?yàn)镸N平面A1B1C1，所以MNA1B1，取HB1中點(diǎn)D，連接ND.由于N是棱B1C1的中點(diǎn)，所以NDC1H且NDC1H.又C1H平面AA1B1B，所以ND平面AA1B1B

10、，故NDA1B1.又MNNDN，所以A1B1平面MND，連接MD并延長(zhǎng)交A1B1于點(diǎn)E，則MEA1B1，故MEAA1.由，得DEB1E，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)F，可得BFB1E，連接NE.在RtENM中，NDME，故ND2DEDM，所以DM，可得FM，連接BM，在RtBFM中，BM.12(13分)(2020上海)已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)(1)設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為，二面角AB1D1A1的大小為.求證：tantan；(2)若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高解：設(shè)正四棱柱的高為h.(1)證明：連接AO1，AA1底面A1B1C1D1于A1，AB1與底面A1B1C1D1所成的角為AB1A1，即AB1A1.AB1AD1，O1為B1D1中點(diǎn)，AO1B1D1，又A1O1B1D1，AO1A1是二面角AB1D1A1的平面角，即AO1A1tanh，tanhtan.(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)(1,0，h)，(0,1，h)，(1,1,0)設(shè)平面AB1D1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，即z1，得n(h，h,1)點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為d，則h2.