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1、第5講 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
一、高考要求
函數(shù)的綜合應(yīng)用在高考中的分值大約為20分左右，題型的設(shè)置有小題也有大題，其中大題有簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用題、函數(shù)與其它知識(shí)綜合題，也有復(fù)雜的代數(shù)推理題，可以說函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是高考考查的主要著力點(diǎn)之一．
二、兩點(diǎn)解讀
重點(diǎn)：①函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性；②函數(shù)與不等式結(jié)合；③函數(shù)與方程的綜合；④函數(shù)與數(shù)列綜合；⑤函數(shù)與向量的綜合；⑥利用導(dǎo)數(shù)來刻畫函數(shù)．
難點(diǎn)：①新定義的函數(shù)問題；②代數(shù)推理問題，常作為高考?jí)狠S題．
三、課前訓(xùn)練
1．已知a?R，函數(shù)，x?R為奇函數(shù)，則 （ B ）
（A）－1 （B）0 （C）
2、1 （D）
2． “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（ A ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
3．若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則的值為 2
4．已知，，則 -8 ．
四、典型例題
例1 設(shè)函數(shù)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若，
，則的取值范圍是 （ ）
（A） （B）且 （C）或 （D）
解：∵以3為周期，所以，又是R上的奇函數(shù)，
∴，則，再由，可得，即 ，解之得，故選D
例2 設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使
3、成立的x的取值范圍為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：∵是R上的增函數(shù)，∴，即x > f(1).
又，∴，故選A．
例3 已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則函數(shù)
f(x)的解析式為 ．
解：∵，∴方程即為，
則．因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以b = - 4時(shí)x=0，符合題意．∴
例4 對(duì)a，b?R，記函數(shù)（x?R）
的最小值是 ．
解： 化簡(jiǎn)得：
在坐標(biāo)系中作出的圖象，可知：當(dāng)，時(shí)為增函數(shù)，；當(dāng)，時(shí)為減函數(shù)?！?。綜上，
例5 對(duì)定義域是，的函數(shù)
4、，，規(guī)定：
函數(shù)
（Ⅰ）若函數(shù)，，寫出函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）求問題（1）中函數(shù)的值域；
（Ⅲ）若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，及一個(gè)的值，使得，并予以證明．
解：(Ⅰ)
(Ⅱ) 當(dāng)≠1時(shí), = =（—1）++2 ．①若>1時(shí), 則≥4，其中等號(hào)當(dāng)時(shí)成立；②若<1時(shí)， 則≤ 0，其中等號(hào)當(dāng)=0時(shí)成立．所以函數(shù)的值域是(-∞，0]{1}[4，+∞)．
(Ⅲ)令，，
則
=，
∴．
例6 設(shè)，若，，求證：
（Ⅰ）方程有實(shí)根，且；
（Ⅱ）設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則；
（Ⅲ）方程在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．
解：（Ⅰ）若，則，，與已知矛盾，∴．方程=0的判別式由條件，消去b，得，故方程有實(shí)根．由，得，由條件消去，
得，故．
（Ⅱ）由條件知，，∴
?！?，所以，故．
（Ⅲ）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（
在的兩邊乘以，得<<，又因?yàn)閒(0)>0，f(1)＞0，而f()=，所以方程在區(qū)間（（內(nèi)分別有一實(shí)根．故方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根
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