備戰(zhàn)高考數學“3+1”保分大題強化練理

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1、備戰(zhàn)高考數學“3+1”保分大題強化練理 “3＋1”保分大題強化練(一) 前3個大題和1個選考題不容有失 1．已知函數f (_ )＝sin _ 3＋cos _ 3，_ ∈[0，π]，設f (_ )的最大值為M ，記f (_ )取得最 大值時_ 的值為θ. (1)求M 和θ； (2)在△ABC 中，內角A ，B ，C 所對的邊分別是a ，b ，c ，若a ＝22，b ＝210，B ＝θ，求c 的值． 解：(1)由已知，得f (_ )＝sin _ 3＋cos _ 3 ＝2sin _ 3＋π 4 . 因為0≤_ ≤π，所以π4≤_ 3＋π4≤7π 12 . 所以當

2、_ 3＋π4＝π2，即_ ＝3π 4 時，f (_ )取得最大值2， 故M ＝2，θ＝3π4 . (2)由余弦定理b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ， 得c 2 －2×22×? - -－ 22×c ＋(22)2＝(210)2 ， 即c 2＋4c －32＝0，解得c ＝4或c ＝－8(舍去)． 故c ＝4. 2.如圖，四棱錐P -ABCD 的底面是平行四邊形，PD ⊥AB ，O 是AD 的中點，BO ＝CO . (1)求證：AB ⊥平面PAD ； (2)若AD ＝2AB ＝4，PA ＝PD ，點M 在側棱PD 上，且PD ＝3MD ，二面角P -B

3、C -D 的大小為45°，求直線BP 與平面MAC 所成角的正弦值． 解：(1)證明：在平行四邊形ABCD 中，設N 是BC 的中點，連接ON ， 因為O 是AD 的中點，所以AB ∥ON . 又BO ＝CO ，所以ON ⊥BC ，所以AB ⊥BC . 又在平行四邊形ABCD 中，BC ∥AD ，所以AB ⊥AD . 又AB ⊥PD ，且PD ∩AD ＝D ，AD ?平面PAD ，PD ?平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD . (2)由(1)知AB ⊥平面PAD ，又AB ?平面ABCD ， 于是平面PAD ⊥平面ABCD ，連接PO ，PN ， 由PA ＝PD ，可得PO ⊥

4、AD ，則PO ⊥BC ， 又ON ⊥BC ，PO ∩NO ＝O ， 所以BC ⊥平面PNO ，所以PN ⊥BC ， 故二面角P -BC -D 的平面角為∠PNO ，則∠PNO ＝45°. 由此得PO ＝AB ＝2. 以O 為坐標原點，ON ，OD ，OP 所在直線分別為_ 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A (0，－2,0)，B (2，－2,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，由PD ＝3MD 可得M ? - -0，43，23， 所以AC →＝(2,4,0)，AM →＝? --0，103，23，BP → ＝(－2,2,2)． 設平面MAC 的法向

5、量為n ＝(_ ，y ，z )， 則-? - n ·AC →＝0， n ·AM →＝0 即? - - 2_ ＋4y ＝0， 10y ＋2z ＝0， 令y ＝1，得-? - _ ＝－2， z ＝－5， 所以n ＝(－2,1，－5)為平面MAC 的一個法向量． 設直線BP 與平面MAC 所成的角為θ， 則sin θ＝|BP → ·n ||BP →|·|n |＝|4＋2－10|23·30＝10 15， 故直線BP 與平面MAC 所成角的正弦值為 5 . 3．20__年夏季畢業(yè)的某大學生準備到貴州非私營單位求職，為了了解工資待遇情況，他在貴州省統(tǒng)計局的官網上，查

6、詢到2021年至20__年非私營單位在崗職工的年平均工資近似值(單位：萬元)，如下表： 年份 2021 2021 2021 2021 20__ 20__ 20__ 20__ 20__ 20__ 序號_ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年平均 工資y /萬元 2.5 2.9 3.2 3.8 4.3 5.0 5.5 6.3 7.0 7.5 (1)請根據上表的數據，利用線性回歸模型進行擬合，求y 關于_ 的線性回歸方程y ＝b ^ _ ＋a ^(a ^，b ^ 的計算結果根據四舍五入精確到小數點后第二位)； (2)如果該大學生對年平均工資的期望值為8.5萬元

7、，請利用(1)的結論，預測20__年非私營單位在崗職工的年平均工資(單位：萬元．計算結果根據四舍五入精確到小數點后第 二位)，并判斷20__年平均工資能否達到他的期望． 參考數據：∑i ＝1 10 _ i y i ＝311.5，∑i ＝1 10 _ 2 i ＝385，∑i ＝1 10 (_ i －_ )(y i －y )＝47.5. 附：對于一組具有線性相關的數據：(_ 1，y 1)，(_ 2，y 2)，…，(_ n ，y n )，其回歸直線y ＝ b ^ _ ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估計分別為b ^ ＝ ∑i ＝1 n _ i y i －n _ ·y

8、 ∑i ＝1 n _ 2 i －n _ 2 ＝ ∑i ＝1 n (_ i －_ )(y i －y )∑i ＝1 n (_ i －_ ) 2 ，a ^＝ y －b ^ _ . 解：(1)由已知，得_ ＝5.5，y ＝4.8. b ^ ＝ ∑i ＝1 10 (_ i －_ )(y i －y ) ∑i ＝1 10 _ 2 i －10·_ 2 ＝47.5 385－10×5.5 2≈0.58， 所以a ^＝y(tǒng) －b ^ _ ＝4.8－0.58×5.5＝1.61， 故y 關于_ 的線性回歸方程為y ^ ＝0.58_ ＋1.61. (2)由(

9、1)知y ^ ＝0.58_ ＋1.61， 當_ ＝12時，y ^ ＝0.58×12＋1.61＝8.57＞8.5. 所以，預測20__年非私營單位在崗職工的年平均工資為8.57萬元，達到了他的期望． 選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答) 4．[選修4－4：坐標系與參數方程] 在平面直角坐標系_Oy 中，曲線C 的參數方程為- ? _ ＝2＋3cos α，y ＝3sin α (α為參數)， 直線l 的參數方程為? - - _ ＝t cos β， y ＝t sin β(t 為參數，0≤β 的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C 的極坐標方程； (2)已知直

10、線l 與曲線C 相交于A ，B 兩點，且|OA |－|OB |＝2，求β. 解：(1)由曲線C 的參數方程可得其普通方程為(_ －2)2 ＋y 2 ＝3， 即_ 2 ＋y 2 －4_ ＋1＝0， 所以曲線C 的極坐標方程為ρ2 －4ρcos θ＋1＝0. (2)由直線l 的參數方程可得直線l 的極坐標方程為θ＝β(ρ∈R )． 因為直線l 與曲線C 相交于A ，B 兩點， 所以設A (ρ1，β)，B (ρ2，β)(ρ1>ρ2)， 聯(lián)立得-? - ρ2 －4ρcos θ＋1＝0，θ＝β， 可得ρ2 －4ρcos β＋1＝0， 因為Δ＝16cos 2β－4>0，所以c

11、os 2 β>14 ， 所以|OA |－|OB |＝ρ1－ρ2＝(ρ1＋ρ2)2 －4ρ1ρ2＝16cos 2 β－4＝2， 解得cos β＝± 22，所以β＝π4或3π4 . 5．[選修4－5：不等式選講] 已知函數f (_ )＝|2_ －1|. (1)解不等式f (_ )＋f (_ ＋1)≥4； (2)當_ ≠0，_ ∈R 時，證明：f (－_ )＋f ? - -1_ ≥4. 解：(1)不等式f (_ )＋f (_ ＋1)≥4等價于|2_ －1|＋|2_ ＋1|≥4， 等價于--? _ 或--? －12 ≤_ ≤12， 2≥4 或--? _ >12， 4_ ≥4， 解得_ ≤－1或_ ≥1， 所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)證明：當_ ≠0，_ ∈R 時， f (－_ )＋f ? --1_ ＝|－2_ －1|＋-- - 2 _ －1， 因為|－2_ －1|＋---2_ －1≥-- -2_ ＋2_ ＝2|_ |＋2 |_ | ≥4，當且僅當 --? (2_ ＋1)? --2_ －1≥0， 2|_ |＝2|_ | ， 即_ ＝±1時等號成立， 所以f (－_ )＋f ? - -1_ ≥4. 第 9 頁 共 9 頁