2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 文 1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcos A＝(2c－a)cos B. (1)求B； (2)若b＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)． [解]　(1)由bcos A＝(2c－a)cos B， 得2ccos B＝bcos A＋acos B. 由正弦定理可得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C， 因?yàn)閟in C≠0，所以cos B＝. 因?yàn)?＜B＜π，所以B＝. (2)因?yàn)镾△ABC＝acsin B＝，所以ac＝4. 又13＝a2＋c2

2、－2accos B＝a2＋c2－ac， 所以a2＋c2＝17， 所以a＋c＝5， 故△ABC的周長(zhǎng)為5＋. (教師備選) 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由． [解]　(1)證明：由題設(shè)anan＋1＝λSn－1， 知an＋1an＋2＝λSn＋1－1.兩式相減得，an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)存在．由a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝

3、λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得，{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝1＋(n－1)·4＝4n－3； {a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝3＋(n－1)·4＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在λ＝4，使得{an}為等差數(shù)列． 2．如圖63，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝2，現(xiàn)將△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在線段AB上． (1)證明：AP⊥PB； (2)求三棱錐P-EBC的表面積． 圖63 [解]　(1)由題知PE⊥平面ABC，又

4、BC?平面ABC， ∴PE⊥BC； 又AB⊥BC且AB∩PE＝E，∴BC⊥平面PAB； 又AP?平面PAB，∴BC⊥AP； 又AP⊥CP且BC∩CP＝C，∴AP⊥平面PBC； 又PB?平面PBC，所以AP⊥PB. (2) 在△PAB中，由(1)得AP⊥PB，AB＝4，AP＝2， ∴PB＝2，PE＝＝，∴BE＝3， ∴S△PEB＝×3×＝. 在△EBC中，EB＝3，BC＝2，∴S△EBC＝×3×2＝3， 在△PEC中，EC＝＝，∴S△PEC＝××＝， ∴S△PBC＝BC·PB＝×2＝2， 所以三棱錐P-EBC的表面積為 S＝S△PEB＋S△EBC＋S△PEC＋S△PBC

5、＝＋3＋＋2＝. 3．為了解某班學(xué)生喜愛(ài)打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表： 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 合計(jì) 男生 5 女生 10 合計(jì) 50 已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的概率為. (1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； (2)是否有99.5%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由； (3)已知喜愛(ài)打籃球的10位女生中，A1，A2，A3還喜歡打羽毛球，B1，B2，B3還喜歡打乒乓球，C1，C2還喜歡踢足球，現(xiàn)在從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的8位女生中各選出1位進(jìn)行其他

6、方面的調(diào)查，求B1和C1不全被選中的概率． 下面的臨界值表供參考： P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d) [解]　(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下： 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 合計(jì) 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計(jì) 30 20 50 (2)有，理由：∵K2＝≈8.333>7.879， ∴有99.5%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球

7、與性別有關(guān)． (3)從10位女生中選出喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的各1位，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件如下： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3, C1)，(A3，B3，C2)，基本事件的總數(shù)為18，用M表示“B1，C1不全被選中”這一事件，則其對(duì)立

8、事件表示“B1，C1全被選中”這一事件，由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3個(gè)基本事件組成，所以P()＝＝，由對(duì)立事件的概率公式得P(M)＝1－P()＝1－＝. (教師備選) 如圖所示，一個(gè)正三棱錐A-BCD的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，過(guò)B作與側(cè)棱AC，AD相交的截面BEF.求： (1)截面三角形周長(zhǎng)的最小值； (2)截面三角形周長(zhǎng)最小時(shí)的面積． [解]　(1)如圖①所示，若使截面三角形的周長(zhǎng)最小，則將三棱錐的側(cè)面展開(kāi)后，使三角形的三邊在一條直線上． 圖① 在圖中，△ABB′為等腰三角形，故△ABE≌△AB′F， ∴AE＝AF，∴△

9、AEF為等腰三角形， 又A-BCD為正三棱錐， ∴EF∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴△ABC∽△BCE∽△AEF， ∴AE＝a，EF＝a， ∴BB′＝BE＋EF＋FB′＝a， ∴截面三角形周長(zhǎng)的最小值為a. (2)如圖②所示，取EF的中點(diǎn)G，連接BG. 圖② 由(1)知，在圖中，BE＝BF＝a， 故△BEF為等腰三角形， 高BG＝＝a， ∴S△BEF＝BG·EF ＝·a·a＝a2. 4．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的普通方程為＋＝1，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系

10、，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－1＝0. (1)求曲線C1、C2的參數(shù)方程； (2)若點(diǎn)M、N分別在曲線C1、C2上，求|MN|的最小值． [解]　(1)依題意，曲線C1的參數(shù)方程為(α是參數(shù))， 因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－1＝0，化簡(jiǎn)可得直角坐標(biāo)方程： x2＋y2＋2x－1＝0，即(x＋1)2＋y2＝2, 所以曲線C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù))． (2)設(shè)點(diǎn)M(4cos α，2sin α)，易知C2(－1,0)， ∴|MC2|＝ ＝ ＝＝≥， ∴當(dāng)cos α＝－時(shí)，|MC2|min＝， ∴|MN|min＝|MC2|min－r＝－.

11、 [選修4－5：不等式選講] 已知a，b，c均為正數(shù)，函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－5|. (1) 求不等式f(x)≤10的解集； (2)若f(x)的最小值為m，且a＋b＋c＝m，求證：a2＋b2＋c2≥12. [解]　(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－5|≤10 等價(jià)于或 或 解得－3≤x≤－1或－1＜x＜5或5≤x≤7， 所以不等式f(x)≤10的解集為{x|－3≤x≤7}． (2)因?yàn)閒(x)＝|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)|＝6，所以m＝6，即a＋b＋c＝6. ∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，c2＋b2≥2cb， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋ac＋bc)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2， ∴a2＋b2＋c2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝2時(shí)等號(hào)成立．