（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)求正切函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函數(shù)y＝tan x的奇偶性，并會(huì)判斷簡(jiǎn)單三角函數(shù)的奇偶性.3.掌握正切函數(shù)的單調(diào)性，并掌握其圖象的畫法． 知識(shí)點(diǎn)一　正切函數(shù)的性質(zhì) 思考1　正切函數(shù)的定義域是什么？ 答案　. 思考2　誘導(dǎo)公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z說(shuō)明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)？ 答案　 周期性． 思考3　誘導(dǎo)公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z說(shuō)明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)？

2、 答案　 奇偶性． 思考4　從正切線上看，在上正切函數(shù)值是增大的嗎？ 答案　是． 梳理　函數(shù)y＝tan x的圖象與性質(zhì)見(jiàn)下表： 解析式 y＝tan x 圖象 定義域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇 單調(diào)性 在開(kāi)區(qū)間(k∈Z)內(nèi)都是增函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)二　正切函數(shù)的圖象 思考1　利用正切線作正切函數(shù)圖象的步驟是什么？ 答案　根據(jù)正切函數(shù)的定義域和周期，首先作出區(qū)間上的圖象．作法如下： (1)作平面直角坐標(biāo)系，并在平面直角坐標(biāo)系y軸的左側(cè)作單位圓． (2)把單位圓的右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線． (3)描點(diǎn)(橫坐標(biāo)是一個(gè)周

3、期的8等分點(diǎn)，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線的長(zhǎng)度)． (4)連線，得到如圖①所示的圖象． (5)根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，就可以得到正切函數(shù)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ(k∈Z)的圖象，把它稱為正切曲線(如圖②所示)．可以看出，正切曲線是被相互平行的直線x＝＋kπ，k∈Z所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的． 思考2　我們能用“五點(diǎn)法”簡(jiǎn)便地畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，你能類似地畫出正切函數(shù)y＝tan x，x∈的簡(jiǎn)圖嗎？怎樣畫？ 答案　能，三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：，(0,0)，，兩條平行線：x＝，x＝－. 梳理　(1)正切函數(shù)的圖象 (2)正切函數(shù)的圖象特征 正切曲線是

4、被相互平行的直線x＝＋kπ，k∈Z所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的． 1．函數(shù)y＝tan x在其定義域上是增函數(shù)．(　×　) 提示　y＝tan x在開(kāi)區(qū)間(k∈Z)上是增函數(shù)，但在其定義域上不是增函數(shù)． 2．函數(shù)y＝tan x的圖象的對(duì)稱中心是(kπ，0)(k∈Z)．(　×　) 提示　y＝tan x圖象的對(duì)稱中心是(k∈Z)． 3．正切函數(shù)y＝tan x無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．(　√　) 4．正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．(　×　) 提示　正切函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不能寫成閉區(qū)間，當(dāng)x＝±時(shí)，y＝tan x無(wú)意義. 類型一　正切函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題 例1　(1)函數(shù)y＝3tan的定義

5、域?yàn)開(kāi)_______． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn)　正切函數(shù)的定義域 答案　 解析　由－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z， 即函數(shù)的定義域?yàn)? (2)求函數(shù)y＝tan2＋tan＋1的定義域和值域． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn)　正切函數(shù)的值域 解　由3x＋≠kπ＋，k∈Z， 得x≠＋，k∈Z， 所以函數(shù)的定義域?yàn)? 設(shè)t＝tan， 則t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥， 所以原函數(shù)的值域是. 反思與感悟　(1)求定義域時(shí)，要注意正切函數(shù)自身的限制條件，另外解不等式時(shí)，要充分利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線． (2)處理正切函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意正

6、切函數(shù)自身值域?yàn)镽，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某種函數(shù)的值域求解． 跟蹤訓(xùn)練1　求函數(shù)y＝＋lg(1－tan x)的定義域． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn)　正切函數(shù)的定義域 解　由題意得即－1≤tan x<1. 在內(nèi)，滿足上述不等式的x的取值范圍是. 又y＝tan x的周期為π， 所以函數(shù)的定義域是(k∈Z)． 類型二　正切函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 命題角度1　求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例2　求函數(shù)y＝tan的單調(diào)區(qū)間及最小正周期． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　判斷正切函數(shù)的單調(diào)性 解　y＝tan＝－tan， 由kπ－

7、Z)， 所以函數(shù)y＝tan的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z，周期T＝＝2π. 反思與感悟　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間的求法是把ωx＋φ看成一個(gè)整體，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．當(dāng)ω<0時(shí)，先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值再求單調(diào)區(qū)間． 跟蹤訓(xùn)練2　(2017·太原高一檢測(cè))求函數(shù)y＝3tan的單調(diào)區(qū)間． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　判斷正切函數(shù)的單調(diào)性 解　y＝3tan＝－3tan， 由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，得 －＋

8、(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan________tan. 考點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用 答案　(1)<　(2)< 解析　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y＝tan x在(0°，90°)上單調(diào)遞增，32°<35°， ∴tan 32°

9、性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)； (2)運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練3　比較大?。簍an_______tan. 考點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用 答案　> 解析　∵tan＝－tan＝tan ， tan＝－tan＝tan . 又0＜＜＜，y＝tan x在內(nèi)單調(diào)遞增， ∴tan ＜tan ，∴tan＞tan. 類型三　正切函數(shù)綜合問(wèn)題 例4　設(shè)函數(shù)f(x)＝tan. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期，對(duì)稱中心； (2)作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 解　(1)∵ω＝，∴最小正

10、周期T＝＝＝2π. 令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的對(duì)稱中心是(k∈Z)． (2)令－＝0，則x＝；令－＝，則x＝； 令－＝－，則x＝；令－＝，則x＝； 令－＝－，則x＝－. ∴函數(shù)y＝tan的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，在這個(gè)交點(diǎn)左，右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是x＝－，x＝，從而得到函數(shù)y＝f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖(如圖)． 反思與感悟　熟練掌握正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決正切函數(shù)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵，正切曲線是被相互平行的直線x＝＋kπ，k∈Z隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成，y＝tan x的對(duì)稱中心為，k∈Z. 跟蹤訓(xùn)練4　畫出f(x)＝tan |x|的圖

11、象，并根據(jù)其圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、周期性、奇偶性． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 解　f(x)＝tan |x|化為f(x)＝ 根據(jù)y＝tan x的圖象，作出f(x)＝tan |x|的圖象，如圖所示， 由圖象知，f(x)不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為，(k∈N)；單調(diào)減區(qū)間為，(k＝0，－1，－2，…). 1．函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 考點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　判斷正切函數(shù)的單調(diào)性 答案　C 2．函數(shù)y＝tan x＋是(　　)

12、A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 考點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的奇偶性 答案　A 解析　函數(shù)的定義域是，且tan(－x)＋＝－tan x－＝－，所以函數(shù)y＝tan x＋是奇函數(shù)． 3．(2017·紹興柯橋區(qū)期末)函數(shù)y＝3tan的最小正周期是(　　) A. B. C. D．5π 考點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　A 4．將tan 1，tan 2，tan 3按大小順序排列為_(kāi)_______．(用“<”連接) 考點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性 答案

13、　tan 2

14、0)的最小正周期為T＝. (3)正切函數(shù)在(k∈Z)上單調(diào)遞增，不能寫成閉區(qū)間，正切函數(shù)無(wú)單調(diào)減區(qū)間. 一、選擇題 1．函數(shù)y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一個(gè)對(duì)稱中心是(　　) A．(0,0) B. C. D．(π，0) 考點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的對(duì)稱性 答案　C 2．函數(shù)f(x)＝2tan(－x)是(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．奇函數(shù)，也是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) 考點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的奇偶性 答案　A 解析　因?yàn)閒(－x)＝2tan x＝－2tan(－x)＝－f(x)，且f(x)的

15、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)＝2tan(－x)是奇函數(shù)． 3．已知函數(shù)y＝tan ωx在內(nèi)是減函數(shù)，則(　　) A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1 考點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　B 解析　∵y＝tan ωx在內(nèi)是減函數(shù)，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0. 4．下列各點(diǎn)中，不是函數(shù)y＝tan的圖象的對(duì)稱中心的是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的對(duì)稱性 答案　C 解析　令－2x＝，k∈Z，得x＝－. 令k＝0，得x＝； 令k＝1，得x＝－；

16、 令k＝2，得x＝－.故選C. 5．函數(shù)f(x)＝tan ωx (ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝所得的線段長(zhǎng)為，則f的值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D. 考點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性 答案　A 解析　由題意，得T＝＝，∴ω＝4. ∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0. 6．函數(shù)y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在區(qū)間內(nèi)的圖象是(　　) 考點(diǎn)　正切函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正切函數(shù)的圖象 答案　D 解析　當(dāng)

17、<時(shí)，tan x>sin x，y＝2sin x<0.故選D. 7．(2017·舟山模擬)已知函數(shù)f(x)＝，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．f(x)的周期是 B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0} C．直線x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸 D．f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z 考點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　函數(shù)f(x)的周期為2π，A錯(cuò)；f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)，B錯(cuò)；當(dāng)x＝時(shí)，x－＝≠，k∈Z， ∴x＝不是f(x)的對(duì)稱軸，C錯(cuò)； 令kπ－

18、遞減區(qū)間是，k∈Z，D正確． 二、填空題 8．函數(shù)f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期為2π，則f＝________. 考點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性 答案　1 解析　由已知＝2π，所以ω＝， 所以f(x)＝tan， 所以f＝tan＝tan ＝1. 9．比較大小：tan________tan . 考點(diǎn)　正切函數(shù)的單調(diào)性 題點(diǎn)　正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 答案　< 解析　tan＝tan ，tan＝tan ， 又y＝tan x在內(nèi)單調(diào)遞增， 所以tan

19、域?yàn)開(kāi)___________． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn)　正切函數(shù)的值域 答案　[－4,4] 解析　∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，則t∈[－1,1]， ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴當(dāng)t＝－1，即x＝－時(shí)，ymin＝－4， 當(dāng)t＝1，即x＝時(shí)，ymax＝4. 故所求函數(shù)的值域?yàn)閇－4,4]． 11．已知函數(shù)f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，給出下列結(jié)論： ①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1； ④>0；⑤f>. 當(dāng)f(x)＝tan x時(shí)，正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______． 考點(diǎn)

20、　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 答案?、佗? 解析　由于f(x)＝tan x的周期為π，故①正確；函數(shù)f(x)＝tan x為奇函數(shù)，故②不正確；f(0)＝tan 0＝0，故③不正確；④表明函數(shù)為增函數(shù)，而f(x)＝tan x為區(qū)間上的增函數(shù)，故④正確；⑤由函數(shù)f(x)＝tan x的圖象可知，函數(shù)在區(qū)間上有f>，在區(qū)間上有f<，故⑤不正確． 三、解答題 12．判斷函數(shù)f(x)＝lg的奇偶性． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性 題點(diǎn)　正切函數(shù)的奇偶性 解　由>0，得tan x>1或tan x<－1. ∴函數(shù)定義域?yàn)椤?k∈Z)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． f(－x)＋f(x)＝

21、lg ＋lg ＝lg＝lg 1＝0. ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)． 13．畫出函數(shù)y＝|tan x|的圖象，并根據(jù)圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 解　由y＝|tan x|，得 y＝ 其圖象如圖所示． 由圖象可知，函數(shù)y＝|tan x|是偶函數(shù)， 單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)， 單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)，周期為π. 四、探究與拓展 14．函數(shù)y＝sin x與y＝tan x的圖象在區(qū)間[0,2π]上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？ 考點(diǎn)　正切函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正切函數(shù)的圖象 解　因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí)，tan x

22、>x>sin x， 所以當(dāng)x∈時(shí)，y＝sin x與y＝tan x沒(méi)有公共點(diǎn)，因此函數(shù)y＝sin x與y＝tan x在區(qū)間[0,2π]內(nèi)的圖象如圖所示， 觀察圖象可知，函數(shù)y＝tan x與y＝sin x在區(qū)間[0,2π]上有3個(gè)交點(diǎn)． 15．設(shè)函數(shù)f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，且圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 考點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正切函數(shù)的綜合應(yīng)用 解　(1)由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝， 即＝. 因?yàn)棣?0，所以ω＝2， 從而f(x)＝tan(2x＋φ)． 因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因?yàn)?<φ<，所以φ＝， 故f(x)＝tan. (2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ<2x