（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象（一）學案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象（一）學案 新人教A版必修2 學習目標　1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A對圖象的影響.2.掌握y＝sin x與y＝Asin(ωx＋φ)圖象間的變換關系，并能正確地指出其變換步驟． 知識點一　φ(φ≠0)對函數(shù)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響 思考1　如何由y＝f(x)的圖象變換得到y(tǒng)＝f(x＋a)的圖象？ 答案　向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|個單位長度． 思考2　如何由y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝sin的圖象？ 答案　向左平移個單位長度．

2、 梳理　如圖所示，對于函數(shù)y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的圖象，可以看作是把y＝sin x的圖象上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平行移動|φ|個單位長度而得到的． 知識點二　ω(ω＞0)對函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響 思考1　函數(shù)y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分別是什么？ 答案　2π，π，4π. 思考2　當三個函數(shù)的函數(shù)值相同時，它們x的取值有什么關系？ 答案　當三個函數(shù)的函數(shù)值相同時，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍． 思考3　函數(shù)y＝sin ωx

3、的圖象是否可以通過y＝sin x的圖象得到？ 答案　 可以，只要“伸”或“縮”y＝sin x的圖象即可． 梳理　如圖所示，函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的圖象上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到． 知識點三　A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響 思考　對于同一個x，函數(shù)y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函數(shù)值有何關系？ 答案　對于同一個x，y＝2sin x的函數(shù)值是y＝sin x的函數(shù)值的2倍，而y＝sin x的函數(shù)值是y＝sin x的函數(shù)值的. 梳理

4、　如圖所示，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0

5、n 2＝sin的圖象． 2．要得到函數(shù)y＝sin的圖象，可把函數(shù)y＝sin(－x)的圖象向左平移個單位長度得到．(　×　) 提示　y＝sin，故要得到y(tǒng)＝sin的圖象，可把函數(shù)y＝sin(－x)的圖象向右平移個單位長度． 3．把函數(shù)y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象．(　×　) 提示　應得到y(tǒng)＝sin x的圖象． 4．函數(shù)y＝cos的圖象是由函數(shù)y＝cos x的圖象向右平移個單位長度得到的．(　√　) 提示　由平移的規(guī)律可知其正確. 類型一　平移變換 例1　函數(shù)y＝sin的圖象可以看作是由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的

6、？ 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 解　函數(shù)y＝sin的圖象，可以看作是把曲線y＝sin x上所有的點向右平移個單位長度而得到的． 引申探究 1．若將本例中y＝sin改為y＝cos，其它不變，又該怎樣變換？ 解　y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x上所有的點向左平移個單位長度得到． 2．若將本例改為：函數(shù)y＝sin的圖象可由y＝sin 2x的圖象經(jīng)過怎樣變換得到？ 解　y＝sin＝sin，可由y＝sin 2x的圖象向右平移個單位長度得到． 反思與感悟　對平移變換應先觀察函數(shù)名是否相同，若函數(shù)名不同則先化為同名函數(shù)．再觀察

7、x前系數(shù)，當x前系數(shù)不為1時，應提取系數(shù)確定平移的單位和方向，方向遵循左加右減，且從ωx→ωx＋φ的平移量為個單位長度． 跟蹤訓練1　將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　A 解析　依題意將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到 y＝sin 2＝sin. 類型二　伸縮變換 例2　將函數(shù)y＝sin圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的5倍，可得到函數(shù)__________的圖象．

8、 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的伸縮變換 答案　y＝sin 引申探究 若將本例中“橫坐標伸長為原來的5倍”改為“縱坐標伸長為原來的5倍”，其它條件不變，則可得到函數(shù)解析式為________． 答案　y＝5sin 反思與感悟　對于函數(shù)y＝sin x，若橫坐標伸長為原來的ω(ω>1)倍，則得到函數(shù)y＝sin .若縱坐標伸長為原來的A(A>1)倍，則得到函數(shù)y＝Asin x，兩者可理解為橫向伸縮是反比例伸縮變換，縱向伸縮是正比例伸縮變換． 跟蹤訓練2　(2017·合肥高一檢測)把y＝sin x的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)得到的解析式是_

9、_______． 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的伸縮變換 答案　y＝sin 2x 類型三　圖象變換的綜合應用 例3　把函數(shù)y＝f(x)的圖象上的各點向右平移個單位長度，然后把橫坐標伸長到原來的2倍，再把縱坐標縮短到原來的倍，所得圖象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　y＝2sin y＝3sin y＝3sin y＝3sin＝3sin＝3cos x. 所以f(x)＝3cos x. 反思與感悟　(1)已知變換途徑及變換后的函數(shù)解析式，求變換前函數(shù)圖象的解析式，宜采用逆

10、變換的方法． (2)已知函數(shù)f(x)圖象的伸縮變換情況，求變換前后圖象的解析式．要明確伸縮的方向及量，然后確定出A或ω即可． 跟蹤訓練3　將函數(shù)y＝2sin的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值為(　　) A. B. C. D. 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　B 解析　因為函數(shù)y＝2sin的圖象向左平移m個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值為，故選B. 1．將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應

11、的函數(shù)為(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　D 解析　函數(shù)y＝2sin的周期為T＝＝π，向右平移個周期，即向右平移個單位長度后，得到圖象對應的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D. 2．要得到y(tǒng)＝sin的圖象，只要將函數(shù)y＝sin 的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　C 3．要得到函數(shù)y

12、＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　A 解析　y＝cos＝sin ＝sin＝sin. 由題意知，要得到y(tǒng)＝sin的圖象， 只要將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度． 4．將函數(shù)y＝sin(－2x)的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為__________________． 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　y＝－co

13、s 2x 解析　y＝sin(－2x)y＝sin， 即y＝sin＝－sin＝－cos 2x. 5．將函數(shù)f(x)＝cos 2x的圖象縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，再向左平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g＝________. 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案?。? 解析　將函數(shù)f(x)＝cos 2x的圖象縱坐標伸長到原來的2倍，所得圖象對應的解析式為y＝2cos 2x， 則g(x)＝2cos 2＝2cos， 故g＝2cos＝－2. 1．由y＝sin x的圖象，通過變換可得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象

14、，其變化途徑有兩條 (1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)． (2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)． 注意：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：(1)是先相位變換后周期變換，平移|φ|個單位長度．(2)是先周期變換后相位變換，平移個單位長度，這是很易出錯的地方，應特別注意． 2．類似地，y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象也可由y＝cos x的圖象變換得到. 一、選擇題 1．(2017·湖州期末)要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的

15、圖象(　　) A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度 C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　A 解析　因為函數(shù)y＝sin＝sin， 所以只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向右平移個單位長度即可． 2．若把函數(shù)y＝sin的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后，得到y(tǒng)＝sin x的圖象，則m的最小值為(　　) A. B. C. D. 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　C 解析　依題意，y＝sin＝sin x， ∴m－＝2kπ(k

16、∈Z)，∴m＝＋2kπ(k∈Z)， 又m>0，∴m的最小值為. 3．為得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝sin x的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　C 解析　y＝cos＝sin ＝sin， 所以只需將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移個單位長度． 4．把函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)是(　　) A．非奇非偶函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) C．奇函數(shù) D．偶函數(shù) 考點　三角函數(shù)

17、圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　D 解析　y＝sin的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)＝sin＝sin＝－cos 2x的圖象，y＝－cos 2x是偶函數(shù)． 5．(2017·荊州高一檢測)把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是(　　) 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　B 解析　把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得y1＝cos x＋1，向右平移1個單位長度，得y2＝cos(x－1)

18、＋1，再向下平移1個單位長度，得y3＝cos(x－1)．令x＝0，得y3>0，令x＝＋1，得y3＝0，觀察即得答案． 6．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象上所有的點向左平移個單位長度．若所得圖象與原圖象重合，則ω的值不可能等于(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　B 解析　對于B選項，f(x)＝sin(6x＋φ)的圖象向左平移個單位長度，得y＝sin＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)的圖象． 7．為了得到函數(shù)y＝2sin，x∈R的圖象，只需把函數(shù)y＝2sin x，x∈R的圖象

19、上所有的點(　　) A．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變) B．向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變) C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變) D．向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變) 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　C 解析　先將y＝2sin x，x∈R的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝2sin，x∈R的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)y＝2sin，x∈R的圖象． 二、

20、填空題 8．函數(shù)y＝sin的圖象可以看作把函數(shù)y＝sin 2x的圖象向________平移________個單位長度得到的． 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　右　 9．將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的解析式為________． 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　y＝cos 解析　由題意得所得圖象對應的解析式為y＝cos 2＝cos. 10．將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到y(tǒng)＝sin

21、x的圖象，則f＝________. 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　 解析　y＝sin x的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再對每一點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)＝sin的圖象，即為f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象，所以f(x)＝sin，f＝. 11．要得到y(tǒng)＝sin的圖象，需將函數(shù)y＝cos的圖象上所有的點至少向左平移________個單位長度． 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　 解析　cos＝sin，將y＝sin的圖象上所有的點向左平移φ(φ>0)個單位長度得y＝sin的圖象

22、． 令＋＝2kπ＋，k∈Z.∴φ＝4kπ－，k∈Z. ∴當k＝1時，φ＝是φ的最小正值． 12．某同學給出了以下判斷： ①將y＝cos x的圖象向右平移個單位長度，得到y(tǒng)＝sin x的圖象； ②將y＝sin x的圖象向右平移2個單位長度，可得到y(tǒng)＝sin(x＋2)的圖象； ③將y＝sin(－x)的圖象向左平移2個單位長度，得到y(tǒng)＝sin(－x－2)的圖象； ④函數(shù)y＝sin的圖象是由y＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度而得到的． 其中正確的結論是______．(將所有正確結論的序號都填上) 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案?、?/p>

23、③ 三、解答題 13．使函數(shù)y＝f(x)的圖象上的每一點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的倍，然后再將其圖象沿x軸向左平移個單位長度得到的曲線與y＝sin 2x的圖象相同，求f(x)的表達式． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　方法一　(正向變換) y＝f(x)y＝f(2x) y＝f，即y＝f， ∴f＝sin 2x. 令2x＋＝t，則2x＝t－， ∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin. 方法二　(逆向變換) 根據(jù)題意，y＝sin 2x y＝sin 2＝sin y＝sin. 四、探究與拓展 14．(2017·紹興柯橋區(qū)期末)將函數(shù)

24、f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象關于直線x＝對稱，則|φ|的最小值為________． 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　 解析　f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移個單位長度后得到sin，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到sin，此函數(shù)圖象關于x＝對稱， 所以令x＝得sin＝sin＝±1， 所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，得φ＝－＋kπ，k∈Z，則|φ|的最小值為. 15．已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx，其中常數(shù)ω>0. (1)若y

25、＝f(x)在上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍； (2)令ω＝2，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，區(qū)間[a，b](a，b∈R且a0，根據(jù)題意有 解得0<ω≤. 所以ω的取值范圍為. (2)由題意知f(x)＝2sin 2x，g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1， 由g(x)＝0得，sin＝－， 解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z， 即g(x)的零點相離間隔依次為和，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30個零點，則b－a的最小值為14×＋15×＝.