（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象（二）學案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象（二）學案 新人教A版必修2 學習目標　1.會用“五點法”畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.2.能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，確定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的物理意義，能指出簡諧運動中的振幅、周期、相位、初相． 知識點一　“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象 思考1　用“五點法”作y＝sin x，x∈[0,2π]時，五個關鍵點的橫坐標依次取哪幾個值？ 答案　依次為0，，π，，2π. 思考2　用“五點法”作y＝A

2、sin(ωx＋φ)時，五個關鍵的橫坐標取哪幾個值？ 答案　用“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的簡圖，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五個關鍵點的橫坐標依次為－，－＋，－＋，－＋，－＋. 梳理　用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象的步驟 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐標系中描出各點． 第三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖象． 知識點二　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性質(zhì) 名稱

3、 性質(zhì) 定義域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 對稱性 對稱中心(k∈Z) 對稱軸 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 當φ＝kπ(k∈Z)時是奇函數(shù)； 當φ＝kπ＋(k∈Z)時是偶函數(shù) 單調(diào)性 通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間 知識點三　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中參數(shù)的物理意義 1．函數(shù)y＝－2sin的振幅是－2.(　×　) 提示　振幅是2. 2．函數(shù)y＝sin的初相是.(　×　) 提示　初相是－. 3．函數(shù)y＝sin的圖象的對稱軸方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　√　) 提示　令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即

4、f(x)的圖象的對稱軸方程是x＝＋kπ，k∈Z. 類型一　用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 例1　已知函數(shù)f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五點法畫出它在一個周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象． 考點　正弦函數(shù)的圖象 題點　五點法作正弦函數(shù)圖象 解　(1)列表： x － ＋ 0 π 2π f(x) 3 6 3 0 3 (2)描點畫圖： 反思與感悟　(1)用“五點法”作圖時，五點的確定，應先令ωx＋φ分別為0，，π，，2π，解出x，從而確定這五點． (2)作給定區(qū)間上y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，若x∈[m，n]，

5、則應先求出ωx＋φ的相應范圍，在求出的范圍內(nèi)確定關鍵點，再確定x，y的值，描點、連線并作出函數(shù)的圖象． 跟蹤訓練1　已知f(x)＝1＋sin，畫出f(x)在x∈上的圖象． 考點　正弦函數(shù)的圖象 題點　五點法作正弦函數(shù)圖象 解　(1)∵x∈，∴2x－∈. 列表如下： x － －π － π 2x－ －π －π － 0 π f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2 (2)描點，連線，如圖所示． 類型二　由圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，求A，ω，φ的值，并確定其函數(shù)解析

6、式． 考點　求三角函數(shù)的解析式 題點　根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解析式 解　方法一　(逐一定參法) 由圖象知振幅A＝3， 又T＝－＝π，∴ω＝＝2. 由點可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，得φ＝，∴y＝3sin. 方法二　(待定系數(shù)法) 由圖象知A＝3，又圖象過點和，根據(jù)五點作圖法原理(以上兩點可判為“五點法”中的第三點和第五點)，有解得 ∴y＝3sin. 方法三　(圖象變換法) 由T＝π，點，A＝3可知， 圖象是由y＝3sin 2x向左平移個單位長度而得到的， ∴y＝3sin，即y＝3sin. 反思與感悟　若設所求解析式為

7、y＝Asin(ωx＋φ)，則在觀察函數(shù)圖象的基礎上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ. (1)由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|. (2)由函數(shù)圖象與x軸的交點確定T，由T＝，確定ω. (3)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的兩種方法 ①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，ω已知)或代入圖象與x軸的交點求解．(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上) ②五點對應法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口．“五點”的ωx＋φ的值具體如下： “第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0； “第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ＝；

8、 “第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π； “第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ＝； “第五點”為ωx＋φ＝2π. 跟蹤訓練2　(2018·牌頭中學月考)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象(部分)如圖，則f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2sin(x∈R) B．f(x)＝2sin(x∈R) C．f(x)＝2sin(x∈R) D．f(x)＝2sin(x∈R) 考點　求三角函數(shù)的解析式 題點　根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解析式 答案　A 類型三　函數(shù)y＝Asin，|φ|<性質(zhì)的應用 例3　設函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函

9、數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸是直線x＝. (1)求φ的值； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋－，k∈Z， 令＋－＝，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－. (2)由(1)知，f(x)＝sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)．同理可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)． 當2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)取得最大值1； 當2x－＝2k

10、π－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)取得最小值－1. 反思與感悟　有關函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)的問題，要充分利用正弦曲線的性質(zhì)，要特別注意整體代換思想． 跟蹤訓練3　已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)上最高點為(2，)，該最高點與相鄰的最低點間的曲線與x軸交于點(6,0)． (1)求函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)在x∈[－6,0]上的值域． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　(1)由題意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16，即＝16，∴ω＝， ∴y＝sin. 又圖象過最高點(2，)，∴sin＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴

11、φ＝＋2kπ，k∈Z， 由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin. (2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1. 即函數(shù)在x∈[－6,0]上的值域為[－，1]. 1．已知簡諧運動f(x)＝2sin的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相φ分別為(　　) A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　A 解析　由題意知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|<，所以φ＝，T＝＝6，故選A. 2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象如圖，則它的振

12、幅A與最小正周期T分別是(　　) A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝ C．A＝，T＝ D．A＝，T＝ 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　D 解析　由題圖可知A＝(3－0)＝， 設周期為T，則T＝－＝，得T＝. 3．下列表示函數(shù)y＝sin在區(qū)間上的簡圖正確的是(　　) 考點　正弦函數(shù)的圖象 題點　五點法作正弦函數(shù)圖象 答案　A 解析　將y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所有點向右平移個單位長度即可得到y(tǒng)＝sin的圖象，依據(jù)此變換過程可得到A中圖象是正確的．也可以分別令2x－＝0，，π，，2π得到五個關

13、鍵點，描點連線即得函數(shù)y＝sin的圖象． 4．若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) 考點　三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換 題點　三角函數(shù)圖象的平移變換 答案　B 解析　由題意將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sin， 由2x＋＝kπ＋，k∈Z， 得函數(shù)的對稱軸為x＝＋(k∈Z)，故選B. 5．關于函數(shù)f(x)＝2sin，以下說法： ①其最小正周期為； ②圖象關于點對稱； ③直線x＝－是其

14、一條對稱軸． 其中正確說法的序號是________． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案?、佗冖? 解析　T＝＝；當x＝時，f＝2sin＝2sin＝0，所以圖象關于點對稱，x＝－時，f(x)＝2sin＝2sin＝2，所以直線x＝－是其一條對稱軸． 1．利用“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，要先令“ωx＋φ”這一個整體依次取0，，π，π，2π，再求出x的值，這樣才能得到確定圖象的五個關鍵點，而不是先確定x的值，后求“ωx＋φ”的值． 2．由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象確定解析式關鍵在于確定參數(shù)A，ω，φ的值． (1)一般可

15、由圖象上的最大值、最小值來確定|A|. (2)因為T＝，所以往往通過求得周期T來確定ω，可通過已知曲線與x軸的交點從而確定T，即相鄰的最高點與最低點之間的距離為；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T. (3)從尋找“五點法”中的第一個零點(也叫初始點)作為突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)為例，位于單調(diào)遞增區(qū)間上離y軸最近的那個零點最適合作為“五點”中的第一個點． 3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)時，注意采用整體代換的思想，如函數(shù)在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)時取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)時取得最小值． 一、選擇題

16、1．函數(shù)y＝2sin的周期、振幅、初相分別是(　　) A.，2， B．4π，－2，－ C．4π，2， D．2π，2， 考點　求三角函數(shù)的解析式 題點　函數(shù)中參數(shù)的物理意義 答案　C 解析　由函數(shù)解析式，得A＝2，ω＝，φ＝，T＝＝4π. 2．如圖所示，函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 考點　求三角函數(shù)的解析式 題點　根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解析式 答案　D 解析　由圖知T＝4×＝π，∴ω＝＝2. 又當x＝時，y＝1，經(jīng)驗證，可得D項解析式符合題目要求． 3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的最

17、小正周期為π，則該函數(shù)的圖象(　　) A．關于點對稱 B．關于直線x＝對稱 C．關于點對稱 D．關于直線x＝對稱 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　A 4．若函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)對任意x都有f＝f，則有f等于(　　) A．3或0 B．－3或0 C．0 D．－3或3 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　D 解析　由f＝f知，x＝是函數(shù)的對稱軸，解得f＝3或－3，故選D. 5．把函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐

18、標不變，然后再向左平移個單位長度，得到一個最小正周期為2π的奇函數(shù)g(x)，則ω和φ的值分別為(　　) A．1， B．2， C.， D.， 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　B 解析　依題意得f(x)第一次變換得到的函數(shù)解析式為m(x)＝2cos， 則函數(shù)g(x)＝2cos. 因為函數(shù)的最小正周期為2π，所以ω＝2， 則g(x)＝2cos. 又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以φ＋＝kπ＋，k∈Z， 又0<φ<π，則φ＝. 6.函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈

19、Z C.，k∈Z D.，k∈Z 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　D 解析　由圖象知，周期T＝2＝2， ∴＝2，∴ω＝π. 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得 2k－0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)f(x)的圖象，只需將g(x)＝sin ωx的圖象(　　) A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長

20、度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　C 解析　根據(jù)函數(shù)圖象可得f(x)＝sin，為了得到函數(shù)f(x)的圖象，只需將g(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度． 8．設函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，它的周期是π，則(　　) A．f(x)的圖象過點 B．f(x)在上是減函數(shù) C．f(x)的一個對稱中心是 D．f(x)的最大值是A 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　C 解析　由題意得ω＝2，且2×＋φ＝＋kπ，k∈Z， 即φ

21、＝－＋kπ，k∈Z，又∵|φ|<， 故當k＝1時，φ＝，則f(x)＝Asin. 則f(0)＝A，故A錯；對于B和D，由于A的符號不能確定，所以B和D都錯；對于C，當x＝時，2x＋＝π，故C正確． 二、填空題 9．把函數(shù)y＝2sin的圖象向左平移m個單位長度，所得的圖象關于y軸對稱，則m的最小正值是________． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　 解析　把y＝2sin的圖象向左平移m個單位長度，則y＝2sin，其圖象關于y軸對稱， ∴m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z. ∴取k＝1，m的最小正值為. 10．已知函數(shù)y＝sin(ω

22、x＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的圖象如圖所示，則φ＝________. 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　 解析　由圖象知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的周期為 2＝，∴＝，∴ω＝. ∵當x＝時，y有最小值－1， ∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 又－π≤φ<π，∴φ＝. 11．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖所示，f＝－，則f(0)＝________. 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　 解析　由題圖可知＝－＝，T＝， ∴f(0)＝f，注意到＝，也即和關于對稱，于是f(0)＝f＝－

23、f＝. 三、解答題 12．已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一個最高點的坐標為，此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點，若φ∈. (1)試求這條曲線的函數(shù)表達式； (2)用“五點法”畫出(1)中函數(shù)在[0，π]上的圖象． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　(1)由題意知A＝，T＝4×＝π， ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)． 又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵φ∈，∴φ＝， ∴y＝sin. (2)∵0≤x≤π，∴≤2x＋≤， 列出x，y的對應值表： x 0 π π π

24、 π 2x＋ π π 2π y 1 0 － 0 1 描點，連線，如圖所示． 13．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象與y軸的交點為(0,1)，它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為(x0,2)和(x0＋2π，－2)． (1)求f(x)的解析式及x0的值； (2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　(1)由題意作出f(x)的簡圖如圖． 由圖象知A＝2，由＝2π，得T＝4π. ∴4π＝，即ω＝，∴f(x)

25、＝2sin， ∴f(0)＝2sin φ＝1， 又∵|φ|<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin. ∵f(x0)＝2sin＝2， ∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z， ∴x0＝4kπ＋，k∈Z， 又(x0,2)是y軸右側(cè)的第一個最高點， ∴x0＝. (2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (3)∵－π≤x≤π， ∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1， ∴－≤f(x)≤2， 故f(x)的值域為[－，2]． 四、探究與拓展 14．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)

26、為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG是邊長為2的等邊三角形，則f(1)的值為(　　) A．－ B．－ C. D．－ 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　D 解析　由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且0<φ<π，可得φ＝.由圖象及已知可得函數(shù)的最小正周期為4，得ω＝.由△EFG的邊FG上的高為，可得A＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝cos π＝－. 15．(2018·牌頭中學月考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小值為－2，周期為π，且它的圖象經(jīng)過點(0，－)． 求：(1)函數(shù)f(x)的表達式； (2)求其單調(diào)遞增區(qū)間． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　(1)∵函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小值為－2，周期是π，且它的圖象經(jīng)過點(0，－)， ∴A＝2，ω＝＝2，－＝2sin φ， ∴sin φ＝－， 又|φ|<，∴φ＝－， ∴f(x)＝2sin， 綜上所述，f(x)＝2sin. (2)當－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z時，函數(shù)單調(diào)遞增， 此時－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.